Classe de première 10 Lundi 2 avril 2012 Devoir surveillé de mathématiques n°7
Dans les deux exercices il y a des questions plus ou moins difficiles, mais l’ordre des questions n’est pas l’ordre de difficulté. Vous pouvez si nécessaire admettre le résultat d’une question et continuer l’exercice.
Exercice 1 (11 points)
On définit la suite ܷ = (ݑ) par ݑ =
మାଷାଶ pour tout ݊ ∈ ࡺ
1. Calculer ݑ, ݑଵ, ݑଶ. La suite ܷ est-elle arithmétique ? géométrique ? 2. Démontrer que la suite ܷ est majorée par 3 et minorée par 0.
3. Démontrer que pour tout ݊ ∈ ࡺ, ݑ =
ାଵ−
ାଶ. 4. Étudier la limite de la suite (ݑ).
5. Démontrer que la suite (ݑ) est décroissante.
6. Pour tout ݊ ∈ ࡺ, on pose ܵ = ݑ+ ݑଵ + ⋯ + ݑ. Calculer ܵ, ܵଵ, ܵଶ. 7. Démontrer que la suite (ܵ) est croissante.
8. À l’aide de la question 3, démontrer que, pour tout ݊ ∈ ࡺ, ܵ = 6 −
ାଶ. 9. En déduire la limite de la suite (ܵ).
Exercice 2 (9 points)
On définit la suite ܷ = (ݑ) par ݑ = 1 et pour tout ݊, ݑାଵ = 2ݑ+ ݊ + 1.
1. Calculer ݑଵ, ݑଶ, ݑଷ. La suite ܷ est-elle arithmétique ? géométrique ? 2. On pose maintenant ݒ = ݑ+ ݊ + 2. Calculer ݒ, ݒଵ, ݒଶ, ݒଷ. 3. Démontrer que, pour tout ݊, ݒାଵ = 2ݒ.
4. En déduire l’expression de ݒ en fonction de ݊.
5. Démontrer que, pour tout ݊, ݑ = 3 × 2 − ݊ − 2.
6. Étudier le sens de variation de ܷ.
7. Calculer ܵ = ݑ+ ݑଵ+ ݑଶ+ ⋯ + ݑ
Correction du DS suites Exercice 1 :
1. ݑ =
మାଷାଶ donc ݑ =
ଶ = 3, ݑଵ =
= 1, ݑଶ =
ଵଶ= ଵ
ଶ. Comme ݑଶ− ݑଵ = −ଵ
ଶ et ݑଵ− ݑ = −2, elle n’est pas arithmétique. De même ௨మ
௨భ= ଵ
ଶ et ௨భ
௨బ = ଵ
ଷ, elle n’est pas géométrique.
2. Pour tout ݊ ∈ ࡺ, ݊ଶ+ 3݊ + 2 ≥ 2 donc 0 < ଵ
మାଷାଶ≤ ଵ
ଶ et par multiplication par 6 0 < ݑ ≤ 3. La suite ܷ est bien majorée par 3 et minorée par 0.
3. Si on met au même dénominateur
ାଵ−
ାଶ, on obtient :
ାଵ−
ାଶ=(ାଶ)ି(ାଵ)
(ାଵ)(ାଶ) =
మାଷାଶ= ݑ. 4. Comme ݊ + 1 et ݊ + 2 tendent vers +∞,
ାଵ−
ାଶ tend vers 0. ݑ a pour limite 0.
5. Le plus simple est de s’intéresser à la fonction ݂(ݔ) =
௫మାଷ௫ାଶ. Sa dérivée est
݂ᇱ(ݔ) = ି(ଶ௫ାଷ)
(௫మାଷ௫ାଶ)మ est négative sur [0 ; +∞[. La fonction ݂ est donc décroissante sur [0 ; +∞[ et la suite (ݑ) est donc décroissante.
6. ܵ = ݑ+ ݑଵ + ⋯ + ݑ donc ܵ = ݑ = 3, ܵଵ = ݑ + ݑଵ = 4 et ܵଶ = 4,5.
7. ܵାଵ− ܵ = ݑାଵ > 0 donc la suite (ܵ) est croissante.
8. D’après la question 3, ݑ =
ଵ−
ଶ, ݑଵ =
ଶ−
ଷ, ݑଶ =
ଷ−
ସ, …, ݑ =
ାଵ−
ାଶ. Quand on fait la somme terme à terme, presque toutes les fractions s’éliminent car elles sont à la fois en + et en -. Il ne reste que ܵ = 6 −
ାଶ. Exercice 2
1. ݑଵ = 2ݑ+ 0 + 1 = 3, ݑଶ = 2ݑଵ+ 1 + 1 = 8, ݑଷ = 2ݑଶ+ 2 + 1 = 19. Comme dans l’exercice précédent, elle n’est ni arithmétique, ni géométrique.
2. ݒ = ݑ+ 0 + 2 = 3, ݒଵ = ݑଵ + 1 + 2 = 6, ݒଶ = ݑଶ+ 2 + 2 = 12, ݒଷ = ݑଷ + 3 + 2 = 24.
3. Pour tout ݊, ݒାଵ = ݑାଵ+ (݊ + 1) + 2 = 2ݑ+ ݊ + 1 + ݊ + 1 + 2 ce qui donne ݒାଵ = 2ݑ + 2݊ + 4 = 2(ݑ + ݊ + 2) = 2ݒ.
4. La suite (ݒ) est donc géométrique de raison 2, donc pour tout ݊, ݒ = 3 × 2. 5. Comme ݒ = ݑ+ ݊ + 2, on a ݑ = ݒ− ݊ − 2 = 3 × 2− ݊ − 2.
6. ݑାଵ− ݑ = 3 × 2ାଵ− (݊ + 1) − 2 − (3 × 2− ݊ − 2) = 3 × 2ାଵ− 3 × 2− 1.
On peut donc écrire ݑାଵ− ݑ = 3 × 2(2 − 1) − 1 = 3 × 2− 1. Comme pour tout ݊, 2 ≥ 2, 3 × 2 ≥ 3 et ݑାଵ− ݑ ≥ 2 La suite ܷ est croissante.
7. ܵ = ݑ+ ݑଵ+ ݑଶ+ ⋯ + ݑ = ݒ− 2 + ݒଵ − 3 + ݒଶ− 4 + ⋯ + ݒ− (݊ + 2). Cette somme se décompose en la somme d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique : ݒ+ ݒଵ+ ⋯ + ݒ = 3ଶశభିଵ
ଶିଵ = 3 × 2ାଵ− 3 et −2 − 3 − 4 − ⋯ − (݊ + 2) = −(ଶାାଶ)(ାଵ)
ଶ = −(ାଵ)(ାସ)
ଶ (il y a ݊ + 1 termes, le premier est 2 et le dernier ݊ + 2). On a finalement ܵ = 3 × 2ାଵ− 3 −(ାଵ)(ାସ)
ଶ
