A557. La séquence d’Archibald
On écrit la séquence des premiers chiffres des puissances entières positives de 5 : 5,2,1,6,3,1,7,3...
On en extrait une sous-séquence quelconque dek termes consécutifs que l’on écrit en renver- sant l’ordre. Celle-ci apparaît toujours dans la séquence des premiers chiffres des puissances entières de 2. Bizarre,bizarre ? comme l’a dit Archibald.***
Démontrer que cette propriété n’a rien de bizarre.
Exemple : la sous-séquence 6,1,2,5 constituée à partir des quatre premiers chiffres de la sé- quence des puissances de 5 lus de droite à gauche se retrouve dans la séquence des premiers chiffres des puissances suivantes de 2 : 26=64, 27=128, 28=256, 29=512.
*** Pour mémoire un extrait du dialogue entre Archibald Soper et Irwin Molyneux dans le film « Drôle de drame » de Marcel Carné :
- IM : Oui, vous regardez votre couteau et vous dîtes bizarre,bizarre. Alors je croyais que ...
- AS : Moi, j’ai dit bizarre, bizarre, comme c’est étrange ! Pourquoi aurais je dit bizarre, bizarre ? - IM : Je vous assure mon cher cousin, que vous avez dit bizarre, bizarre.
- AS : Moi, j’ai dit bizarre, comme c’est bizarre !
Solution de Claude Felloneau
Pour tout entier natureln, on noteanle premier chiffre de 5netbncelui de 2n.
Soientnetkdeux entiers naturels aveck>1, il s’agit de démontrer qu’il existe un entier naturel mtel que pour tout entier natureli tel que 06i6k−1, on a :
an+k−i=bm+i.
Remarquons d’abord que sia,b,c, d,e sont des entiers naturels tels quea×10c =b×10d+e avece<10d,a>1 etb>1 alorsaetbont le même premier chiffre.
Il suffit donc d’établir qu’il existe trois entiers naturelsm,p,qtels que : (1) 2m×10q=5n+k×10p+a0 aveca0<10p. En effet, pour tout entier natureli compris entre 0 etk−1, on a alors :
2m+i×10q=5n+k−i×10p+i+ai avecai=2ia0<10p+i.
Les entiers 2m+i et 5n+k−i ont donc les mêmes premiers chiffres. Ainsian+k−i =bm+i. Comme (1) équivaut à
log³ 5n+k´
<mlog2+q−p<log³
5n+k+1´
il suffit d’établir que l’ensembleAdes réels de la formeulog2+v oùuest un entier naturel etv un entier relatif est une partie dense deRpour justifier l’existence des entiers naturelsm,petq
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vérifiant (1).
L’ensemble des éléments strictement positifs deAest non vide (il contient log 2) et minoré donc possède une borne inférieurea.
Sia>0, commea6log 2<1, il existe un entier naturel non nulq tel queaq61<a(q+1).
Soit (xk) une suite décroissante d’éléments de Aqui converge versa. On désigne paruk et vk des entiers tels queuk∈N,vk∈Zetxk=uklog2+vk.
On a
a(q+1)−1= lim
k→+∞
¡(q+1)xk−1¢ . Commeq+1∈Netxk∈A, (q+1)xk−1∈A.
De plus (q+1)xk−1>(q+1)a−1>0, donc (q+1)xk−1>apar définition dea. On en déduit par passage à la limite quea(q+1)−1>adoncaq>1 et finalementaq=1.
La suite¡
q xk−1¢
est une suite décroissante d’éléments deAqui converge vers 0 donc il existe un entierK tel que pour toutk>K,q xk−1<a.
Commeq xk−1>q a−1=0 et q xk−1∈A, on en déduit (par déf dea) queq xK −1=0, donc xK =a. Ainsia∈Adoncas’écrit sous la formeαlog 2+βavecα∈Netβ∈Z.
De plus, comme 0<a<1,αest supérieur ou égal à 1.
Comme log 2∈A,a6log 2 donc il existe un entier naturelr tel quer a6log 2<(r+1)a.
(r+1)a−log 2=((r+1)α−1)log 2+(r+1)βdonc (r+1)a−log 2∈Acar (r+1)α−1>r+1−1=r. De plus, (r+1)a−log 2>0 et (r+1)a−log 2<(r+1)a−r a=a, ce qui contredit la définition de a. Ainsia=0.
SoitIun intervalle ouvert non vide etxun élément deI.
L’ensemble des éléments deAqui sont strictement inférieurs àxest non vide (il contient [x]−1) et majoré parx, donc il admet une borne supérieures.
Sis<x, commex−s>0 eta=0, il existe un élémentydeAtel que 0<y<x−s.
Par définition des, il existe un élémentzdeAtel ques−y<z6s.
On a alorss<z+y<s+x−s=xety+z∈A. Cela contredit la définition des. Doncs=x.
PuisqueI est une intervalle ouvert contenantx=s, par définition des,I contient au moins un élément deA.
FinalementAest donc dense dansR. L’intervalle¤
log¡ 5n+k¢
, log¡
5n+k+1¢£
contient donc un élémentx=mlog2+v de Aavecm∈N etv∈Z.
En posantp= |v|etq= |v| +v, on obtient deux entiers naturelspetq tels que log
³ 5n+k
´
<mlog2+q−p<log
³
5n+k+1
´ .
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