On écrit la séquence des premiers chiffres des puissances entières positives de 5 : 5, 2, 1, 6, 3, 1, 7, 3... On en extrait une sous-séquence quelconque de k termes consécutifs que l’on écrit en
renversant l’ordre. Celle-ci apparaît toujours dans la séquence des premiers chiffres des puissances entières de 2. Bizarre,bizarre ? comme l’a dit Archibald.***
Démontrer que cette propriété n’a rien de bizarre.
Exemple : la sous-séquence 6, 1, 2, 5 constituée à partir des quatre premiers chiffres de la séquence des puissances de 5 lus de droite à gauche se retrouve dans la séquence des premiers chiffres des puissances suivantes de 2 : 26 , 27 , 28 , 29 = 64, 128, 256, 512.
Nous noterons log le logarithme décimal et [ ] la partie entière par défaut.
Le développement en fraction continue d’un irrationnel permet d’en déterminer les meilleures approximations rationnelles ; ainsi, en développant log5, on peut trouver une infinité de couples d’entiers (n,m), tels que m-n*log5=e>0 (les valeurs de e sont alternées, mais l’on ne conserve qu’un couple sur deux), avec e<1/n ; m=[n*log5], m/n=7/10, 137/196, etc... Les suite des entiers m et n tendent vers l’infini, tandis que celle des e tend vers 0.
Comme log5+log2=1, pour tout entier p<m, p*log2-(n-p)*log5+m-p=e, soit 2p 10m-p /5n-p =f , avec f=10e , la suite des f tendant vers 1.
Pour p>3, k=[p*log2]≥1, 10k<2p<10k+1 , p-k est une fonction croissante de p ; si q=[2p/10k], une puissance de 2 ne pouvant être multiple de 10k, la différence est divisible par 2k , et 1-q*10k/2p >1/2p-k .
Pour tout P>3, avec K=[P*log 2], on peut trouver, par développement en fraction continue de log5, un couple (m,n) comme défini ci-dessus, tel que 1-1/f<1/2P-K , donc pour tout 3<p≤P, 1-q*10k/2p >1/2p-k >1/2P-K >1-1/f, donc
q*10k <5n-p /10m-p <2p , 5n-p et 2p commencent par le même chiffre, ce qui démontre la propriété.
