A557 – La séquence d’Archibald [**** à la main]
On écrit la séquence des premiers chiffres des puissances entières positives de 5 :
5, 2, 1, 6, 3, 1, 7, 3... On en extrait une sous-séquence quelconque de k termes consécutifs que l’on écrit en renversant l’ordre. Celle-ci apparaît toujours dans la séquence des premiers chiffres des puissances entières de 2. Bizarre, bizarre ? comme l’a dit Archibald.***
Démontrer que cette propriété n’a rien de bizarre.
Exemple : la sous-séquence 6, 1, 2, 5 constituée à partir des quatre premiers chiffres de la séquence des puissances de 5 lus de droite à gauche se retrouve dans la séquence des premiers chiffres des puissances suivantes de 2 :26,27,28,29 = 64, 128, 256, 512.
*** Pour mémoire un extrait du dialogue entre Archibald Soper (Louis Jouvet) et Irwin Molyneux (Michel Simon) dans le film Drôle de drame (Marcel Carné 1937) :
- IM : Oui, vous regardez votre couteau et vous dites bizarre, bizarre. Alors je croyais que...
- AS : Moi, j'ai dit bizarre, bizarre, comme c'est étrange ! Pourquoi aurais-je dit bizarre, bizarre ?
- IM : Je vous assure mon cher cousin, que vous avez dit bizarre, bizarre.
- AS : Moi, j'ai dit bizarre, comme c'est bizarre ! Solution proposée par Paul Voyer
On remarque que les premiers termes de la séquence "5" sont les premiers chiffres des quotients de 1024 par les puissances successives de 2 : 5, 2, 1, 6, 3, 1
Cela cesse avec le chiffre suivant, 8 au lieu de 7, provenant du "24" de 1024.
Les seules valeurs de n<1000 et N pour 100xx... http://oeis.org/A000079/b000079.txt 196 1004336…
392 1008691…
681 100329…
877 100764…
Si au lieu de 1024 on part de
2681=10032913020226237310869197622070557910061530690809581488606035047662224 110216294903018315384440590765432325303757053790498770584583633048750167493 382743608188543746320969475933440520778435368952314936164352
qui a 2 zéros après le "1" initial, les 312 premières divisions (entières) par des puissances successives de 2 ont les mêmes premiers chiffres que les puissances successives de 5, les deux séquences sont identiques.
La 313ème valeur diffère (5.9925… vs 6.0123…)
n=2136 (valeur estimée avec EXCEL puis affinée avec Wolfram Alpha)
22136=1000162894137615530888091524610427029881068516256550643793960897876239 722976672209820824222389411431383715824901416862971536409772436865007337819 438868840407717539004563377198486759507245633746331646390926879958539150397 304550831637322322392615530874123914106896012271092166592955790163196164049 702536144217870
donne une séquence de 678 éléments corrects.
Pour une séquence plus longue, il faut donc chercher N=2n=10000xx… avec m zéros après le
"1" initial.
Si m est suffisant, on retrouvera toute séquence [p, p+k-1] à la fois dans la séquence des multiples de 5 et dans la séquence des quotients par 2.
Il suffit donc de pouvoir générer N en fonction de (p+k-1).
Le logarithme de N vaut n*log10(2), et doit être de la forme xxx.000000xx
n≈N/log10(2) est un entier formé des q premiers chiffres significatifs de 1/log10(2).
Avec q assez grand, on sait obtenir une valeur de log10(N) de la forme 10000….xxx avec un nombre m arbitrairement grand de zéros après le "1" initial, ce qui répond au besoin.
