D1817. Retour à la source
Dans un cercle (Γ) on trace une corde AB de milieu M, distincte de son diamètre.
Soit un point courant C de l'arc (γ) de ce cercle tel que le triangle ABC est toujours acutangle.
Dans le triangle ABC,on trace les hauteurs AD et BE qui se coupent en l'orthocentre H.
Les cercles circonscrits aux triangles ABH et DEM se coupent aux points P et Q tels que P est du même côté que A par rapport à la droite CH.
Les droites HP et MQ sont concourantes en un point X. Les droites HQ et MP sont concourantes en un point Y.
Déterminer les lieux de X et de Y quand C parcourt l'arc (γ).
Le cercle DEM est le cercle d'Euler. Le cercle de diamètre AB passe par D et E. L'inversion de pôle M de puissance MA² laisse invariant les points D et E, et transforme le cercle d'Euler, qui passe par le pôle, en la droite DE. Les cercles ACB et AHB sont égaux et symétriques par rapport à la droite AB. L'inversion de pôle M les échange. Les points P et Q situés sur les cercles AHB et DEM ont leurs inverses situés sur le cercle ACB et sur la droite ED. La droite ED coupe le cercle ACB en deux points X1 et Y1 qui sont respectivement les inverses de Q et P dans l'inversion de pôle M de puissance MA².
Soit F le pied de la hauteur issue de C, l'inversion de pôle H et de puissance
HC ⃗ . HF ⃗
échange le cercle d'Euler FPEDQM et le cercle circonscrit ABC , le cercle AHB et la droite ED. Les points inverses des points P et Q (intersections du cercle d'Euler et du cercle AHB) sont les intersections X2 et Y2 du cercle ACB et de la droite ED : X2 inverse de P, et Y2 inverse de Q.X1 et X2 sont confondus, Y1 et Y2 sont confondus .
Les droites PH et MQ se coupent en X , QH et MP en Y, X et Y se déplacent sur le cercle ACB.
Le point C ne décrit qu'un arc A'B' = (γ) du cercle (Γ), où AA' et BB' sont perpendiculaires à AB.
Les positions limites du segment ED quand C est en A' ou en B' sont les segments A XL ou B YL avec XL symétrique de A par rapport à A'B et YL symétrique de B par rapport à AB'
Le lieu de X est le petit arc B XL et le lieu de Y est le petit arc A YL du cercle (Γ).
