D1817. Retour ` a la source
Dans un cercle (Γ) on trace une corde AB de milieu M, distincte de son diam`etre.
Soit un point courant C de l’arc (γ) de ce cercle tel que le triangle ABC est tou- jours acutangle.
Dans le triangle ABC,on trace les hauteurs AD et BE qui se coupent en l’orthocentre H.
Les cercles circonscrits aux triangles ABH et DEM se coupent aux points P et Q tels que P est du mˆeme cˆot´e que A par rapport `a la droite CH.
Les droites HP et MQ sont concourantes en un point X. Les droites HQ et MP sont concourantes en un point Y.
D´eterminer les lieux de X et de Y quand C parcourt l’arc (γ).
Le cercle circonscrit `a DEM est le cercle d’Euler (Γ1) de ABC, homoth´etique de Γ (centre H, rapport 1/2). Le cercle circonscrit `a ABH est Γ2, sym´etrique deΓ par rapport `a AB. En outre, le cercleΓ3 de diam`etre AB passe par D et E.
Red´efinissons X et Y comme intersections de ED avecΓ.
L’inversion de centre M et de rayon MA transforme Γ en Γ2 (en raison de la sym´etrie), et transforme la droite ED en Γ1. Elle transforme X et Y en les
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intersections de Γ1 avec Γ2, c’est-`a-dire respectivement Q et P, ce qui prouve les alignements MQX et MPY.
Le point J intersection des axes radicaux Γ/Γ2 (AB),Γ1/Γ2 (PQ) et Γ1/Γ3
(ED) montre que P, Q, X et Y sont co-cycliques (cercle Γ4).
Les hauteurs du triangle ABC montrent les ´egalit´es : CE.CA=CD.CB =CH.CF
Il existe donc une inversion de centre C qui ´echangeΓ1 etΓ2; les points com- muns aux 2 cercles, P et Q, donnent le rayon d’inversion (CP). Elle ´echange en outre la droite ED avecΓ(donc X et Y sont invariants dans l’inversion et C est le centre deΓ4), et elle ´echange la droite YQ avec le cercleΓ5circonscrit `a CYQ.
F appartient `aΓ5puisqueCH.CF =CP2, ce qui prouve que YQ passe par H.
Par sym´etrie des rˆoles, PX passe aussi par H.
En conclusion, le lieu de X et de Y est la partie deΓcorrespondant `a l’acutanglabilitude de ABC, c’est-`a-dire quand ABC est rectangle en A ou en B. Quand ABC est rectangle en A, BC est un diam`etre deΓ, Y est en A et X est sym´etrique de A par rapport `a BC.
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