Triangle moyen et droite OK
Soit le triangle ABC moyen en A, c’est-`a-direBC2= AB AC, non isoc`ele.
Γ cercle circonscrit de centreO,G est le barycentre etK le point de Lemoine.
Q1/ Montrer que OK est parall`ele `a la bissectrice ext´erieure enA.
Q2/A0 =BK∩CG,A00=BG∩CK. Montrer queA0 etA00appartiennent
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a la bissectrice int´erieure enA
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Lemme: (AC > AB) La droite sym´etrique deBC par rapport `a la bissec- trice int´erieure enAcoupeΓenD (du mˆeme cˆot´e que B) et enE.
Si BD est parall`ele `a AC,ABC est moyen.
Dans ce cas, ABCDest un trap`eze isoc`ele, doncAD = BC. La sym´etrique deBC coupeAC enB0, sym´etrique deB.
DB\0C = π−CBA\ = π−CQA ⇒C,B0,P et Qsont co-cycliques.
Donc DB0 est l’image de Γ dans l’inversion de centreA et de rayon AD, ce qui prouve queBC2 =AB AC.
On a aussiAE =BC,ABECest un trap`eze isoc`ele etECest parall`ele `aAB.
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Q1/La tangente `aΓenC etBDse coupent enM. La tangente enB etEC se coupent en N. L est l’intersection BC ∩DE sur la bissectrice int´erieure (c’´etaitP pr´ec´edemment). B0 est le sym´etrique deBpar rapport `a AL.
Le th´eor`eme de Pascal appliqu´e au pentagoneBDECAconsid´er´e comme hexagone inscrit dans Γ avec C point double, montre que M B0 est parall`ele `a AB.
ABM B0 est donc un losange etM appartient `aAL. On montre de la mˆeme fa¸con queN appartient aussi `aAL. (n.b. M etN sont conjugu´es isogonaux).
On sait que l’axe de perspective deABCet de son triangle tangentiel (ladroite de Lemoine)P QR est la polaire deK par rapport `a Γ, donc perpendiculaire
`
a OK (l’axe de Brocard).
Q0 =CN ∩QR,R0 =BM∩QR
Les parall´elismesBM kAC et CN kABentraˆınent CA
CQ = M B
M R0 = AB
AR = CN CQ0
et CA=CN ⇒ CQ= CQ0
P QRest parall`ele `a ALM N, ce qui prouve queOK est parall`ele `a la bissec- trice ext´erieure enA.
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Q2/ Si X et X0 sont conjugu´es isogonaux, Y = BX ∩ CX0 et Y0 = BX0 ∩CX sont ´egalement conjugu´es. Si X ou Y appartient `a une bissec- trice int´erieure deABC, son conjugu´e appartient aussi `a la mˆeme bissectrice.
Le lieu des points X tels queY et Y0 appartiennent `a la bissectrice int´erieure enAest l’ellipse passant parIetIa(centres des cercles inscrit et exinscrit; les 4 points confondus), et parBetC o`u elle est tangente `aAB etAC (siX est enB,X0 est ind´etermin´e surAC,Y est enAetY0ind´etermin´e surBC). La droiteXX0 passe par le pˆole de la bissectrice par rapport `a l’ellipse.
Quand ABC est moyen en A, les points M et N, l’intersection U des tan- gentes `aΓenBetCetV =BM∩CN forment un quadrupletX/X0/Y /Y0.
AU passe par K (propri´et´e connue). Sa sym´etrique AV (U et V conjugu´es) passe parG(GetKconjugu´es). CBest la polaire deApar rapport `a l’ellipse, doncGU etKV se coupent enLsurBC.
⇒ GK passe par le pˆole de la bissectriceAL:
G/K/A0/A00 forment un quadrupletX/X0/Y /Y0, C.Q.F.D.
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