I OBJECTIF Etudier des cas où lim
x → +∞ f(x) = ± ∞ et où « la courbe Cf se rapproche d'une droite » appelée asymptote.
Si f(x) = ax + b + ϕ(x) avec lim
x → +∞ϕ(x) = 0.
alors la droite ∆ d'équation y = ax + b est asymptote à C f en + ∞
Position de C f par rapport à ∆ : ϕ(x) est l'écart yM – yP. si ϕ(x) > 0 C f est au-dessus de ∆ ;
si ϕ(x) < 0 C f est au-dessous de ∆.
1 Montrer que la courbe représentative de la fonction f : x →x2 + 2x − 2
2x admet en ± ∞ une asymptote ∆..
Etudier les positions de Cf et ∆.
2 Etudier la limite en + ∞ de la fonction f : x → x2 + 6x + 1 – (x + 3) . Que peut-on en déduire pour la courbe Cf ? II OBJECTIF Etudier des cas où lim
x → ± ∞ f(x) = ± ∞ et où la courbe Cf se "rapproche" d'une autre courbe
1 l° Le plan est muni d'un repère orthonormal. Tracer la courbe représentative (Cg) de la fonction g définie par g (x) = x2 – x.
2° Soit P la fonction définie par : P(x) = 2x3 + 3x2 – 5. Factoriser P(x). Etudier le signe de P(x) suivant les valeurs de x.
3° Etudier la fonction f définie sur IR par : f (x) = x3− x + 4
x+ 1 . On appelle (C f) sa courbe représentative.
Montrer que, pour tout x de IR – {− 1} on peut écrire : f (x) = ax2 + bx + c
x + 1 où a, b et c sont trois réels. Montrer que (C f) et (C g) sont asymptotes au voisinage de + ∞ et de – ∞. Etudier la position de (C f) par rapport à (C g). Tracer les deux courbes .
2 Soit les fonction f et g définies par : f(x) = x4 + 6x2 +3 g(x) = x2 + 3. Soit (Cf ) et (Cg ) leurs courbes représentatives.
1° Montrer que (Cf ) et (Cg) sont asymptotes au voisinage de + ∞ et de – ∞.
2° Étudier la position de (Cf ) par rapport à (Cg).
III OBJECTIF Etudier des cas où lim
x → ±∞ f(x) = ± ∞ et où la courbe Cf n’a pas d’asymptote.
1 Etudier le comportement en + ∞ des fonctions : f : x → x2−1
x ; g : x →x
2 + x ; h : x → 2 x − 1 Calculer en + ∞ les limites de f(x), g(x) , h(x) et les limites de f(x)
x , g(x) x , h(x)
x .
x → +∞lim f(x)
x = + ∞ f(x) tend vers + ∞ « plus vite que x » . On dit que C f admet une branche parabolique de direction (Oy).
lim
x → +∞
g(x) x = 1
2 g(x) tend vers + ∞ « comme x
2 » On dit que C g admet une branche parabolique de direction ∆ : " y = x 2. "
x → +∞lim h(x)
x = 0 h(x) tend vers + ∞ « moins vite » que x . On dit que C h admet une branche parabolique de direction (Ox).
Lorsque lim
x → +∞
f(x)
x = ± ∞Cf admet une branche parabolique de direction (Oy) (type x2) Lorsque lim
x → +∞
f(x)
x = a a:≠ 0 ) s'il n'y a pas d'asymptote, on dit que Cf admet une branche parabolique de direction ∆ : "y = ax"
Lorsque lim
x → +∞ f(x) = ± ∞ et lim
x → +∞
f(x)
x = 0 Cf admet une branche parabolique de direction (Ox) (type x) Interprétation géométrique de lim
x → +∞
f(x)
x . Soit A(a, b) un point du plan, et M(x,f(x)) un point de la courbe Cf . La droite (AM) a pour pente : f(x) – b
x – a . Dans le cas où lim
x → +∞f(x) = + ∞ cette pente a la même limite (éventuelle) en + ∞ que le quotient f(x)
x . Ainsi, la limite de f(x)
x , si elle existe, est la limite de la pente de la droite (AM) , où A est un point fixé quelconque . 2 On considère la fonction numérique f : x → cos x – x.
1° Etudier les limites en + ∞ de f(x) et de f(x)
x . Montrer que la courbe représentative Cf de f n'admet pas d’asymptote en + ∞. 2° Démontrer l’encadrement : − x – 1 ≤ f(x) ≤− x + 1 de f pour les grandes valeurs de x.
3 Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = 4x2 + 2x + 1 et C f sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère.
1° Etude de f en + ∞. Soit M un point de C f dont l'abscisse est strictement positive. Exprimer en fonction de x le coefficient directeur α(x) de la droite (OM). Démontrer que lim
x → +∞α(x) = 2 et lim
x → +∞f(x) − 2x =1
2. Que peut-on dire de la droite ∆: y = x + 1 2 ? 2° Etude de f en − ∞. Déterminer limx → –∞f(x). Démontrer que lim
x → –∞
f(x)
x = a. Déterminer alors lim
x → –∞ f(x) – ax.
