D1819 Virage à angle droit
Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
On note a, b, c les longueurs des côté BC, CA, AB, comme d'habitude.
La droite joignant les centres des cercles (PDG) et (PEF) est orthogonale à l'axe radical des deux cercles.
On est donc ramené à démontrer que cet axe radical est la droite (AP).
1) Coordonnées des points D, E, F, G
La droite a pour équation : x(xyz), où est une constante.
En posant 1, l'équation s'écrit : x(yz)
On en déduit les coordonnées des points D et E :
0 D
0 E
Si l'on note (,,) les coordonnées de P, on obtient :
P
F
G
2) Axe radical des cercles (PDG) et (PEF)
Les équations des cercles (PDG) et (PEF) sont respectivement : 0
) wz vy ux ( ) z y x ( xy c zx b yz
a2 2 2
0 ) z ' w y ' v x ' u ( ) z y x ( xy c zx b yz
a2 2 2
L'axe radical des deux cercles a pour équation : (uu')x(vv')y(ww')z0
En écrivant que les coordonnées de P, D, G vérifient l'équation du premier cercle, on trouve que les constantes u, v, w sont solutions du système suivant :
2 2 2
2 2
2
2 2
2
c ) (
b ) (
a w ) (
v u
c v u
c b
a w v
u
En écrivant que les coordonnées de P, E, F vérifient l'équation du second cercle, on trouve que les constantes u', v', w' sont solutions du système suivant :
) (
c b
) (
a ' w '
v ) (
' u
b ' w ' u
c b
a ' w ' v ' u
2 2
2 2
2
2
2 2
2
Le premier système permet d'obtenir u et le second u'.
On trouve la même valeur pour u et u' :
a2 b2 c2
u' u
On en déduit que l'axe radical passe par A.
D'autre part l'axe radical passe par P et cet axe est donc bien la droite (AP).
