Universit´e de Rouen M1 MFA
Ann´ee 2005-2006
´Equations aux d´eriv´ees partielles et analyse num´erique Contrˆole continu du 16 d´ecembre 2006, dur´ee 1h30
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Exercice 1. Soit l’intervalleI=]0,1[ et soitf un ´el´ement deL2(I). Consid´erons le probl`eme aux limites avec conditions de Neumann homog`ene
P(f)
(u−u00+u0=f dansI, u0(0) =u0(1) = 0.
(a) Donner la formulation variationnellePV(f) du probl`emeP(f).
(b) Soita(u, v) la forme bilin´eaire d´efinie surH1(I) par
a(u, v) = Z
I
u(x)v(x)dx+ Z
I
u0(x)v0(x)dx+ Z
I
u0(x)v(x)dx.
-i- La forme bilin´eaireaest-elle sym´etrique ? (il ne suffit pas ici d’´ecrire oui ou bien non, toute r´eponse devra ˆ
etre justifi´ee, i.e. montrer qu’effectivementaest sym´etrique ou bien exhiber un contre-exemple) -ii- Montrer que la forme bilin´eaireaest continue et coercive surH1(I).
-iii- Montrer l’existence et l’unicit´e d’une solution variationnelle udePV(f).
(c) Montrer que siu∈ C2(I) est solution variationnelle dePV(f) alorsuv´erifie l’´equation diff´erentielle u−u00+u0=f p.p. dans I, u0(0) =u0(1) = 0.
(d) On souhaite ´ecrire la m´ethode des ´el´ements finis P1 pour le probl`emePV(f). On prendraf ≡1 pour simplifier.
Etant donn´´ en∈N, on poseh= n+11 et on consid`ere le cas de nœuds ´equidistants xi=ih pour 0≤i≤n+ 1.
Le sous-espaceVh des ´el´ements finis sera un sous-espace vectoriel deH1(I) compos´e des fonctions continues sur [0,1], affines sur chacun des intervalles [xi, xi+1] ; la base sera compos´ee des fonctions canoniquesωi deVh.
-i- Pr´eciser le sous-espace vectorielVh, sa dimension et dessiner les fonctions de base.
-ii- Montrer que le probl`eme discret “trouveruhdansVh tel quea(uh, v) =R
Ωf vdx,∀v∈Vhadmet une unique solution, not´eeuh, dansVh.
-iii- ´Ecrire le syst`eme lin´eaire associ´e au probl`eme discret, sous la formeAhUh=Fh. Calculer les coefficients de la matriceAh et du vecteurFh, pr´eciser la taille des objets.
-iv- La matriceAh est-elle sym´etrique ? -v- Pourquoi la matriceAh est-elle inversible ?
-vi- Quel est le comportement deku−uhkH1(I)quand htend vers 0 ? -vii- Si de plus on sait queu∈ C2(I), estimer l’erreurku−uhkH1(I).
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