Universit´e Paris Diderot Arithm´etique
Master de Math´ematiques Ann´ee 2011-12
L. Merel
EXAMEN du 30 mai 2012
Dur´ee : 3 h
L’usage de tout appareil ´electronique et de tout document autre que des notes de cours est interdit.
Exercice 1
1. D´ecomposer 2012 en produit de facteurs premiers.
2. Quel est l’ordre du groupe (Z/2012Z)∗ ?
3. Soit x ∈ (Z/2012Z)∗. Montrer que x engendre (Z/2012Z)∗ si et seulement si x modulo 4 engendre (Z/4Z)∗et xmodulo 503 engendre (Z/503Z)∗.
4. Montrer que tout ´el´ement de (Z/2012Z)∗ est d’ordre 1, 2, 251 ou 502. Combien y a-t-il d’´el´ements de chaque ordre ?
5. Combien le groupe (Z/2012Z)∗ compte-t-il de caract`eres ?
6. Combien le groupe (Z/2012Z)∗ compte-t-il de caract`eres quadratiques (c’est-`a-dire `a valeurs dans {−1,1})? Lesquels sont pairs ?
7. Combien le groupe (Z/2012Z)∗ compte-t-il de caract`eres primitifs ?
8. Soitpun nombre premier. Montrer quepp−1 ≡1 (mod 2012) si et seulement sipp−1 ≡1 (mod 503), ou encore si et seulement si l’ordre depdans (Z/503Z)∗ divisep−1.
9. En d´eduire quepp−1≡1 (mod 2012) si et seulement sip≡ ±1 (mod 503) ou si p≡1 (mod 251).
10. En d´eduire la densit´e de l’ensemble de nombres premiers{p/pp−1≡1 (mod 2012)}.
Exercice 2 Pour n entier >0, posons σ(n) =P
d|n,d>0d (c’est la somme des diviseurs positifs de n). Consid´erons la s´erie de DirichletD(s) =P∞
n=1σ(n)n−s. Notonsζ la fonction de Riemann.
1. Soientnet mdeux entiers premiers entre eux. Montrer queσ(nm) =σ(n)σ(m).
2. Soientpun nombre premier eteun entier≥0. Montrer queσ(pe) = (pe+1−1)/(p−1).
3. Soitnun entier≥1 de d´ecomposition en produit de facteurs premiers donn´ee parn=Qk
i=1peii.Exprimer σ(n) et calculerσ(2012).
4. Montrer qu’on a l’identit´e de s´eries de DirichletD(s) =ζ(s)ζ(s−1).
5. En d´eduire que la s´erie D converge sur le demi-plan {s ∈ C/<(s) > 2} et que D se prolonge en une fonction m´eromorphe surC.
6. Quels sont les pˆoles de D ? Montrer que ses z´eros sont entiers <0 ou de partie r´eelle dans l’intervalle ]0,2[.
7. Pourk entier≥1, notonspk lek-`eme nombre premier. Montrer quepk est ´equivalent `a klog(k) lorsque ktend vers l’infini.
8. Posonsnk =p1p2...pk. Montrer que la suite (σ(nk)/nk)k≥1tend vers l’infini.
9. Soitun nombre r´eel>0. Montrer que σ(n)/n1+→0 lorsquentend vers l’infini.
10. Posons ∆(s) = (2π)−sΓ(s)D(s). Montrer qu’on a ∆(s) =−∆(2−s).
