X LES BONS COUPS DE BILI-N´ EAIRE THE KID POUR AM ´ ELIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE

Dans la suite, sauf mention du contraire,< ., . >est un produit scalaire sur leR-espace vectorielEet∥.∥est la norme associ´ee.

< ., . > est un produit scalaire surRⁿ. C’est le produit scalaire canonique deRⁿ.

C 2

E=Mn,1(R). SiX =

< ., . > est un produit scalaire surE. C’est le produit scalaire canonique deMn,p(R).

C 4

E=Rn[X]. Si P =

C 6

In´egalit´e de Cauchy-Schwarz xet y sont deux ´el´ements deE.

1. |< x, y >|6∥x∥ ∥y∥ et (< x, y >)²6∥x∥²∥y∥². 2. |< x, y >|=∥x∥ ∥y∥ si et seulement si (x, y) est li´ee.

C 7

In´egalit´e de Cauchy-Schwarz dans Rⁿ

x= (x1, x2, . . . , xn) ety= (y1, y2, . . . , yn) sont deux ´el´ements deRⁿ.

Soitf et gdeux fonctions num´eriques continues sur [a, b].

2. Un droite vectorielle deE contient exactement deux vecteurs unitaires qui sont oppos´es.

C 13

Identit´es remarquables xety sont deux ´el´ements deE.

∥x+y∥²=∥x∥²+ 2< x, y >+∥y∥². ∥x−y∥²=∥x∥²−2< x, y >+∥y∥².

C 15

Identit´es de polarisation xety sont deux ´el´ements deE.

< x, y >= 1 2

[∥x+y∥²− ∥x∥²− ∥y∥²]

. < x, y >=1 2

[∥x∥²+∥y∥²− ∥x−y∥²] .

< x, y >= 1 4

[∥x+y∥²− ∥x−y∥²] .

C 16

Identit´es du parrall´elogramme xety sont deux ´el´ements deE.

∥x+y∥²+∥x−y∥²= 2∥x∥²+ 2∥y∥².

C 17

Th´eor`eme de Pythagore. xet ysont deux ´el´ements de E.

xety sont orthogonaux si et seulement si∥x+y∥²=∥x∥²+∥y∥².

C 18

Si (x1, x2, . . . , xn) est une famille d’´el´ements de E deux `a deux orthogonaux :

∥x1+x2+· · ·+xn∥²=∥x1∥²+∥x2∥²+· · ·+∥xn∥².

C 19

1. E^⊥={0E}. Autrement dit un vecteur deE est nul si et seulement il appartient `aE^⊥. 2. {0_E}^⊥ =E.

C 20

SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE.

• F^⊥ est un sous-espace vectoriel deE.

• F∩F^⊥={0E}.

• F ⊂F^⊥⊥.

• F ⊂GdonneG^⊥⊂F^⊥.

• SiF etGsont orthogonaux alorsF∩G={0_E}.

• F et Gsont orthogonaux⇐⇒F ⊂G^⊥ ⇐⇒ G⊂F^⊥.

C 21

F etGsont deux sous-espaces vectoriels deE respectivement engendr´es par (u1, u2, . . . , up) et (v₁, v₂, . . . , v_q).

P

1. F^⊥ ={x∈E| ∀i∈[[1, p]], < x, ui>= 0}.

P

2. F et Gsont orthogonaux si et seulement si :∀(i, j)∈[[1, p]]×[[1, q]], < ui, vj>= 0.

C 22

F etGsont deux sous-espaces d’un espace pr´ehilbertien r´eelE.

• (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥ etF^⊥+G^⊥⊂(F∩G)^⊥.

• SiE est de dimension finie:F^⊥+G^⊥ = (F∩G)^⊥.

C 23

SoitF un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidienE .

• E=F⊕F^⊥ et F^⊥⊥=F .

• F^⊥ est l’unique suppl´ementaire deF orthogonal `aF.

orthogonal `a F.

C 24

• L’ensembles des matrices sym´etriques de Mn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension n(n+ 1)

2 ·.

• L’ensembles des matrices antisym´etriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension n(n−1) si n>1. 2

• Le sous-espace vectoriel des matrices sym´etriques deMn(K) et le sous-espace vectoriel des matrices antisym´etriques deMn(K) sont suppl´ementaires dansMn(K).

C 25

DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, l’orthogonal du sous-espace vectorielSn(R) des matrices sym´etriques deMn(R) est le sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisym´etriques deMn(R).

Dans Mn(R), pour le produit scalaire canonique, l’orthogonal du sous-espace vectoriel An(R) des matrices anti-sym´etriques deMn(R) est le sous-espace vectorielSn(R) des matrices sym´etriques deMn(R).

Le sous-espace vectoriel des matrices sym´etriques deMn(R) et le sous-espace vectoriel des matrices antisym´etriques deMn(R) sont suppl´ementaires et orthogonaux dansMn(R) muni du produit scalaire canonique.

Mn(R) =Sn(R)

⊕⊥

An(R).

C 26

1. Toute famille orthogonale constitu´ee de vecteurs non nuls est libre.

2. Toute famille orthonorm´ee est libre.

C 27

Tout espace vectorieleuclidienposs`ede une base orthonorm´ee.

C 28

SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonorm´ee deE. Soitxun ´el´ement deE.

3. Dans les espaces vectoriels r´eels usuels, le produit scalaire canonique est celui qui rend la base canonique orthonorm´ee.

C 31

Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonorm´ee

B= (e1, e2, . . . , en) est une baseorthonorm´eede l’espace vectoriel euclidien (E, < ., . >) etf est un endomorphisme deE. (E1, E2, . . . , En) est la base canonique deMn,1(R).

La matrice def dans la baseBest (

< ei, f(ej)>) .

C 32

Matrice orthogonale P est une matrice de Mn(R). Les assertions suivantes sont ´equivalentes : i)P orthogonale.

i’)P v´erifieP^tP =^tP P =I_n. ii)P v´erifieP^tP =In. iii) P v´erifie^tP P =In.

iv)P est inversible et son inverse est sa transpos´ee.

v)∀X ∈ Mn,1(R), ∥P X∥=∥X∥ (∥.∥est la norme euclidienne deMn(R)).

vi) Les colonnes de P constituent une famille orthonorm´ee deMn,1(R) muni du produit scalaire canonique.

vii) Les colones de P constituent une base orthonorm´ee deMn,1(R) muni du produit scalaire canonique.

viii) Les lignes deP constituent une famille orthonorm´ee deM1,n(R) muni du produit scalaire canonique.

ix) Les lignes de P constituent une base orthonorm´ee de M1,n(R) muni du produit scalaire canonique.

C 33

SoitB= (e₁, e₂, . . . , e_n) etB^′= (e^′₁, e^′₂, . . . , e^′_n) deux bases orthonorm´ees deE.

La matrice de passageP deB`a B^′ est orthogonale.

C 34

SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonorm´ee deE. Soit B^′= (e^′1, e^′2, . . . , e^′n) unefamilled’´el´ements de E.

SoitP la matrice de la familleB^′ dans la baseB.

B^′ est une base orthonorm´ee deE si et seulement siP est une matrice orthogonale.

C 35

1. Le produit de deux matrices orthogonales deMn(R) est une matrice orthogonale deMn(R).

2. L’inverse d’une matrice orthogonale de Mn(R) est une matrice orthogonale deMn(R).

C 36

Les seules valeurs propres possibles dansRd’une matrice orthogonale deMn(R) sont−1 et 1.

C 37

F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE distinct de{0E} etE.

Si B^′ est une base orthonorm´ee de F et B^′′ est une base orthonorm´ee de F^⊥ alorsB^′∪ B^′′ est une base orthonorm´ee deE.

C 38

F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienEdistinct de{0_E}et deE. Soit (e₁, e₂, . . . , e_p) une base orthonorm´ee deF.

1. (e₁, e₂, . . . , e_p) se compl`ete en une base orthonorm´ee (e₁, e₂, . . . , e_n) deE.

2. F^⊥ est le sous-espace vectoriel de E engendr´e par (ep+1, ep+2, . . . , en). Mieux (ep+1, ep+2, . . . , en) est une base orthonorm´ee de F^⊥.

1. L’orthogonal de la droite vectorielle engendr´ee para₁e₁+a₂e₂+· · ·+a_ne_n est l’hyperplan d’´equationa₁x₁+ a₂x₂+· · ·+a_nx_n= 0 dansB.

2. L’orthogonal de l’hyperplan d’´equationa1x1+a2x2+· · ·+anxn= 0 dansBest la droite vectorielle engendr´ee para1e1+a2e2+· · ·+anen.

C 40

Aspect th´eorique de l’orthonormalisation de Schmidt Soit (u1, u2, . . . , un) une basequelconquedeE.

Il existe une base orthonorm´ee deE et une seule (w₁, w₂, . . . , w_n) telle que pour toutkappartenant `a [[1, n]] : 1. Vect(w1, w2, . . . , wk) = Vect(u1, u2, . . . , uk).

2. < wk, uk>est strictement positif.

(w1, w2, . . . , wn) est LA base orthonorm´ee d´eduite de (u1, u2, . . . , un) par le proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt.

C 41

Aspect pratique de l’orthonormalisation de Schmidt Soit (u₁, u₂, . . . , u_n) une base quelconque de E.

I Pour construire cette base orthogonale (v1, v2, . . . , vn) `a partir de (u1, u2, . . . , un) on proc`ede de la mani`ere suivante.

• On posev₁=u₁.

• Supposons que l’on ait construit (v1, v2, . . . , vk−1) famille orthogonale deE telle que : Vect(v1, v2, . . . , vk−1) = Vect(u1, u2, . . . , uk−1) (k∈[[1, n−1]]).

On construit alorsv_k. Pour cela on posev_k=u_k+λ₁v₁+λ₂v₂+· · ·+λ_k−1v_k−1. En ´ecrivant quevk est orthogonal `avi on calculeλi pour toutidans [[1, k−1]].

On obtient alorsvk=uk−

k−1

∑

i=1

< uk, vi>

< v_i, v_i> vi =uk−

k−1

∑

i=1

< uk, vi>

∥v_i∥² vi. I On pose∀k∈[[1, n]], wk= 1

∥v_k∥vk. (w1, w2, . . . , wn) est l’unique base orthonorm´ee deE telle que : 1. Vect(w₁, w₂, . . . , w_k) = Vect(u₁, u₂, . . . , u_k).

2. < wk, uk>est strictement positif.

C 42

F est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidienE. pF est la projection orthogonale surF. Si xet y sont deux ´el´ements deE:

pF(x) =y ⇐⇒

{y∈F

x−y∈F^⊥ ⇐⇒

{y∈F

∀z∈F, < x−y, z >= 0

C 43

F est un sous-espace vectoriel deE et (u₁, u₂, . . . , u_p) est une base orthonorm´ee de F . pF est la projection orthogonale surF. Pour tout ´el´ement xdeE:

pF(x) =

∑p k=1

< x, uk > uk

C 44

E est un espace vectoriel euclidien etBest unebase orthonorm´eedeE.

F est un sous-espace vectoriel deE et (u1, u2, . . . , up) est une base orthonorm´ee deF.

C 45

D est une droite vectorielle deE etpD est la projection orthogonale surD.

Si uest un vecteur unitaire de D, pour tout ´el´ementxdeE: p_D(x) =< x, u > u.

Si uest un vecteur non nul de D, pour tout ´el´ementxdeE: pD(x) =< x, u >

∥u∥² u .

C 46

E est un espace vectoriel euclidien de dimensionnsup´erieure ou ´egale `a 2. H est un hyperplan deE etpH

est la projection orthogonale sur H.

Si uest un vecteur unitaire orthogonal `a H, pour tout ´el´ement xdeE: pH(x) =x−< x, u > u . Si uest un vecteur non nul orthogonal `a H, pour tout ´el´ement xdeE: pH(x) =x−< x, u >

∥u∥² u .

C 47

D est une droite vectorielle deE etsD est la sym´etrie vectorielle orthogonale par rapport `aD.

Si uest un vecteur unitaire de D, pour tout ´el´ementxdeE: sD(x) = 2< x, u > u−x.

C 48

E est un espace vectoriel euclidien de dimensionnsup´erieure ou ´egale `a 2. H est un hyperplan deEetsH

est la sym´etrie vectorielle orthogonale par rapport `aH.

Si uest un vecteur unitaire orthogonal `a H, pour tout ´el´ement xdeE: s_H(x) =x−2< x, u > u .

C 49

Recherche pratique d’une projection orthogonale (E, < ., . >) est un espace vectoriel euclidien (ou un pr´ehilbertien....).

Ceci donne un syst`eme lin´eaire dep´equations `a pinconnues que l’on r´esout.

Ce syst`eme s’´ecrit matriciellementAX=B o`u A= (< ui, uj >),X =

(u₁, u₂, . . . , u_p)). Le syst`eme admet donc une solution et une seule (ce qui n’est pas un scoop...).

I Ne pas oublier de regarder au pr´ealable si F est un hyperplan. Dans ce cas on d´etermine p_F⊥ (F^⊥ est une droite vectorielle...) et on utilisepF = IdE−p_F⊥.

C 50

Th´eor`eme de meilleure approximation

SoitF un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidien E etpF (resp. p_F⊥) la projection orthogonale surF (resp. F^⊥).

Soitxun ´el´ement deE.

1. • ∀z∈F, ∥x−p_F(x)∥6∥x−z∥.

• Sit est un ´el´ement de F tel que :∀z∈F, ∥x−t∥6∥x−z∥alorst=pF(x).

2. Autrement dit Min

z∈F∥x−z∥ existe et vaut ∥x−pF(x)∥. De plus pF(x) est l’unique ´el´ement de F qui r´ealise ce minimum.

pF(x) est donc l’unique ´el´ement deF tel qued(x, F) =∥x−pF(x)∥.

La projection orthogonale dexsurF est la meilleure approximationdexpar un ´el´ement de F.

3. d²(x, F) =∥x−pF(x)∥²=∥x∥²− ∥pF(x)∥²=∥x∥²−< x, pF(x)>=∥p_F⊥(x)∥².

C 51

La formulation du programme... Caract´erisation de la projection orthogonale par minimisation de la norme.

SoitF un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel euclidien E et p_F la projection orthogonale surF. xety sont deux ´el´ements deE.

y=pF(x)⇐⇒y∈F et∥x−y∥= Inf

z∈F∥x−z∥ ou y=pF(x)⇐⇒y∈F et∥x−y∥= Min

z∈F∥x−z∥.

C 52

M´ethode des moindres carr´es.

A est un ´el´ement de Mn,p(R) etB un ´el´ement deMn,1(R). On suppose que le rang de A est p .

∥.∥ est la norme deMn,1(R) associ´ee au produit scalaire canonique.

1. Min

X∈Mp,1(R)∥AX−B∥ existe.

2. Il existe un unique ´el´ement X0 deMp,1(R) tel que ∥AX0−B∥= Min

X∈Mp,1(R)∥AX−B∥. 3. ^tAAest inversible.

4. X0= (^tAA)⁻¹(^tAB) ou^tAAX0=^tAB.

C 53

Caract´erisations des matrices sym´etriques

SoitAune matrice de Mn(R). < ., . >est le produit scalaire deMn,1(R).

1. ∀X ∈ Mn,1(R), ∀Y ∈ Mn,1(R), < AX, Y >=< X,^tAY >.

2. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

i) Aest sym´etrique.

ii) ∀X ∈ Mn,1(R), ∀Y ∈ Mn,1(R), < AX, Y >=< X, AY >.

iii) ∀X ∈ Mn,1(R), ∀Y ∈ Mn,1(R), ^tY AX=^tXAY.

C 54

Caract´erisation des endomorphismes sym´etriques

E est de dimensionn(n∈N^∗),B= (e1, e2, . . . , en) est une base deE etf un endomorphisme deE.

f est sym´etrique si et seulement si : ∀(i, j)∈[[1, n]]², < f(ei), ej >=< ei, f(ej)>.

C 55

Caract´erisation fondamentale des endomorphismes sym´etriques

E est de dimension n(n∈N^∗),B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonorm´ee deE et f un endomorphisme de E.

f est un endomorphisme sym´etrique deE si et seulement si sa matriceAdans la baseBest sym´etrique (^tA=A).

C 56

L’ensemble des endomorphismes sym´etriques deE est un sous-espace vectoriel deL(E).

Si E est de dimensionnnon nul, l’ensemble des endomorphismes sym´etriques deE est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension n(n+ 1)

2 ·

C 57

Sif est un endomorphisme sym´etrique et bijectif deE,f⁻¹est un endomorphisme sym´etrique (et bijectif) deE.

C 58

f est un endomorphismesym´etriquedeE.

Si F est un sous-espace vectoriel deE stable parf,F^⊥ est stable parf.

C 59

Soitf un endomorphisme sym´etrique de l’espace pr´ehilbertienE .

• Kerf et Imf sont orthogonaux.

• (Imf)^⊥ = Kerf et Imf ⊂(Kerf)^⊥.

C 60

Soitf un endomorphisme sym´etrique d’un espace vectoriel euclidien E.

• (Imf)^⊥= Kerf et Imf = (Kerf)^⊥.

• Kerf et Imf sont suppl´ementaires et orthogonaux.

C 61

Caract´erisations des projections orthogonales again 1. pest une projection (ou un projecteur) de E.

pest une projection orthogonale (ou un projecteur orthogonal) si et seulementpest un endomorphisme sym´etrique.

2. pest un endomorphisme deE (ou une application deE dansE...).

pest une projection orthogonale deE si et seulement sipest un endomorphisme sym´etrique deE v´erifiantp◦p=p.

3. Aest une matrice deMn(R).

A est la matrice d’une projection orthogonale si et seulement siAest sym´etrique et v´erifieA²=A.

C’est un ”+” du programme 2014.

C 62

Soitf un endomorphisme sym´etrique deE.

1. Les sous-espaces propres de f sont deux `a deux orthogonaux.

famille (u_k)_16k6p est une famille orthogonale deE.

C 63

Le th´eor`eme fondamental sur la r´eduction des endomorphismes sym´etriques.

Soitf un endomorphisme sym´etrique deE espace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle . 1. f est diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonorm´ee deE constitu´ee de vecteurs propres de f (doncf se diagonalise dans une base orthonorm´ee).

C 64

Aest une matrice sym´etrique deMn(R) 1. Les valeurs propres deAsont r´eelles (Sp_RA= Sp_CA).

2. Les sous-espaces propres de Asont deux `a deux orthogonaux.

3. Si (Xk)16k6p est une famille de vecteurs propres de Aassoci´es `a des valeurs propres deux `a deux distinctes alors la famille (Xk)16k6p est une famille orthogonaleMn,1(R).

C 65

Le th´eor`eme fondamental sur la r´eduction des matrices sym´etriques deMn(R).

A est une matrice sym´etrique de Mn(R).

1. Aest diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonorm´ee deMn,1(R) constitu´ee de vecteurs propres deA.

3. Il existe une matrice orthogonale P deMn(R), telle queP⁻¹AP =^tP AP soit diagonale.

C 66

L’aspect pratique de la r´eduction des endomorphismes sym´etriques

f est un endomorphisme sym´etrique d’un espace vectoriel euclidienE de dimensionnnon nulle.

On obtient une baseorthonorm´eedeE constitu´ee de vecteurs propres def en concatenant une baseorthonorm´ee de chacun des sous-espaces propres de f.

C 67

L’aspect pratique de la r´eduction des matrices sym´etriques SoitAune matrice sym´etrique deMn(R).

1. On obtient une base orthonorm´ee de Mn,1(R) constitu´ee de vecteurs propres de A en concatenant une base orthonorm´eede chacun des sous-espaces propres deA.

2. SiBest une base orthonorm´ee deMn,1(R) constitu´ee de vecteurs propres deArespectivement associ´es aux valeurs propres α1,α2, ...,αn et siP est la matrice de passage de la base canonique deMn,1(R) `a la baseBalors :

• P est une matrice orthogonale.

• ^tP AP =P⁻¹AP est la matrice diagonale Diag(α1, α2, . . . , αn).

C 68

SoitA une matrice sym´etrique deMn(R). Soit (X₁, X₂, . . . , X_n) une base orthonorm´ee deMn,1(R) con-stitu´ee de vecteurs propres deArespectivement associ´es aux valeurs propresα₁,α₂, ...,α_n.

A=

∑n k=1

α_kX_k^tX_k

C 69

1. SoitAune matrice sym´etrique deMn(R).

Ainsi il existe une matrice orthogonale P de Mn(R) et une matrice diagonale D = Diag(α₁, α₂, . . . , α_n) telle que

tP AP =P⁻¹AP =D.

On note, pour toutj ´el´ement de [[1, n]],Cj laj^`eme colonne deP.

Alors (C1, C2, . . . , Cn) est une base orthonorm´ee de Mn,1(R) constitu´ee de vecteurs propres de A respectivement associ´es aux valeurs propresα1,α2, ...,αn.

2. Variante D = Diag(α1, α2, . . . , αn) est une matrice diagonale de Mn(R) et P est une matrice orthogonale de Mn(R). On poseA=P D^tP.

A est une matrice sym´etrique de Mn(R) et les colonnes de P constituent une base othonorm´ee B de Mn,1(R), de vecteurs propres de Aassoci´es aux valeurs propres (α1, α2, . . . , αn). P est la matrice de passage de la base canonique deMn,1(R) `a B.

C 70

D´ecomposition spectrale d’une matrice sym´etrique.

S est une matrice sym´etrique deMn(R). λ₁,λ₂, ...,λ_p sont ses valeurs propres distinctes.

Pour tout ´el´ementkde [[1, p]] on noteP_k la matrice, dans la base canonique deMn,1(R), de la projection orthogonale fk deMn,1(R) sur le sous-espace propre SEP (S, λk) deS associ´e `a la valeur propreλk.

Montrer que

∑p k=1

P_k=I_n et queS=

∑p k=1

λ_kP_k.

C 71

Matrice sym´etrique positive

SoitS une matrice sym´etrique deMn(R). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

i)∀X ∈ Mn,1(R), ^tXSX>0.

ii) Les valeurs propres deS sont positives ou nulles.

C 72

Matrice sym´etrique d´efinie positive

Soit une matrice sym´etrique deMn(R). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

i)∀X ∈ Mn,1(R), X̸= 0_Mn,1(R)⇒^tXSX >0.

ii) Les valeurs propres deS sont strictement positives.

Niveau 2

C 73

Encadrement de Rayleigh SoitS une matrice sym´etrique deMn(R).

Soitαsa plus petite valeur propre et soitβ sa plus grande valeur propre.

∀X∈ Mn,1(R), α∥X∥²6^tXSX=< SX, X >6β∥X∥² ou ∀X ∈ Mn,1(R)− {0_Mn,1(R)}, α6^tXSX

tXX 6β . Mieux :

Min

X∈Mn,1(R)−{0_{Mn,1 (R)}} tXSX

tXX =α et Max

X∈Mn,1(R)−{0_{Mn,1 (R)}} tXSX

tXX =β

C 74

Matrice sym´etrique positive again

SoitS une matrice sym´etrique deMn(R). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

i)∀X ∈ Mn,1(R), ^tXSX>0.

iii) Il existe une matriceAdeMn(R) telle queS=^tAA.

C 75

Matrice sym´etrique d´efinie positive again

Soit une matrice sym´etrique deMn(R). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

i)∀X ∈ Mn,1(R), X̸= 0_Mn,1(R)⇒^tXSX >0.

ii) Les valeurs propres deS sont strictement positives.

iii) Il existe une matriceinversibleAdeMn(R) telle queS=^tAA.

C 76

Adjoint d’un endomorphisme

B = (e1, e2, . . . , en) est une base orthonorm´ee de l’espace vectoriel euclidien E et f est un endomorphisme de E de matriceA dansB.

f^∗ est l’endomorphisme deE de matrice^tAdansB.

1. f^∗ est l’unique endomorphisme deE v´erifiant∀(x, y)∈E², < f(x), y >=< x, f^∗(y)>. f^∗ est l’adjoint de f . 2. SoitF un sous-espace vectoriel de E. F est stable parf si et seulement siF^⊥ est stable parf^∗.

3. Kerf^∗= (Imf)^⊥ et Imf^∗= (Kerf)^⊥. 4. (f^∗)^∗=f^∗∗=f.

5. Sif est un automorphisme,f^∗est ´egalement un automorphisme et (f^∗)⁻¹= (f⁻¹)^∗.

6. Sig est un second endomorphisme deE: (λf)^∗=λ f^∗, (f+g)^∗=f^∗+g^∗ et (f ◦g)^∗=g^∗◦f^∗.

7. Spf^∗= Spf. ∀λ∈Spf, dim SEP (f, λ) = dim SEP (f^∗, λ). f etf^∗ sont simultan´ement diagonalisables.

8. Ker(f^∗◦f) = Kerf et Im(f◦f^∗) = Imf.

9. f◦f^∗ (resp. f^∗◦f) est un endomorphisme sym´etrique dont les valeurs propres sont positives.

C 77

Endomorphisme orthogonal

• f est un endomorphisme d’un espace pr´ehilbertienE.

f est un endomorphisme orthogonal si ∀(x, y) ∈ E², < f(x), f(y) >=< x, y > autrement dit si f conserve le produit scalaire.

• f estune applicationd’un espace pr´ehilbertien Edans lui mˆeme. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

1. f est un endomorphisme orthogonal.

2. f est un endomorphisme v´erifinant∀(x, y)∈E², < f(x), f(y)>=< x, y >.

3. f v´erifie∀(x, y)∈E², < f(x), f(y)>=< x, y >.

Notons que 3. donne la lin´earit´e def.

• f est un endomorphisme d’un espace pr´ehilbertienE.

f est un endomorphisme orthogonal si et seulement si∀(x, y)∈E², ∥f(x)∥=∥x∥autrement dit si et seulement sif conserve la norme.

• f est un endomorphisme orthogonal d’un espace pr´ehilbertienE.

1. f est injectif (mais pas n´ecessairement surjectif).

2. SiF est un sous espace vectoriel deEstable parf,F^⊥ est stable parf.

3. Sig est un second endomorphisme orthogonal deE,g◦f est un endomorphisme orthogonal deE.

4. Les seules valeurs propres (r´eelles ! !) possibles def sont−1 et 1.

• f est un endomorphisme orthogonal d’un espace vectorieleuclidien E.

f est un automorphisme de E etf⁻¹ est un automorphisme orthogonal deE.

• f est un endomorphisme d’un espace vectorieleuclidien E de de dimensionnappartenant `a N^∗. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

i)f est un endomorphisme orthogonal.

ii) Il existe une base orthonorm´ee deE qui se transforme parf en une base orthonorm´ee deE.

iii) Toute base orthonorm´ee deE se transforme parf est une base orthonorm´ee deE.

• f est un endomorphisme d’un espace vectorieleuclidien E et Aest la matrice def dans une baseorthonorm´ee deE.

f est un endomorphisme orthogonal si et seulement siAest une matrice orthogonale.

• On note B = (e₁, . . . , e_n) une base orthonorm´ee de E et on consid`ere un endomorphisme f orthogonal dont la matrice dans la baseB est not´eeA. On poseA= (a_i,j)_16i,j6n.

∀(i, j)∈[[1, n]]², ai,j ∈[−1,1] et |

∑n i=1

∑n j=1

ai,j|6n et n6 ∑ⁿ

i=1

∑n j=1

|ai,j|6n√ n.

C 78

Racine carr´ee sym´etrique et positive (resp. d´efinie positive) d’une matrice sym´etrique et positive (resp. d´efinie positive) de Mn(R)

Si S est une matrice sym´etrique de Mn(R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp. strictement positives), il existe une matrice sym´etrique T de Mn(R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp.

strictement positives) et une seule telle que T²=S.

C 79

Matrice d’un produit scalaire

SoitB= (e1, e2, . . . , en) et B^′= (e^′1, e^′2, . . . , e^′n) deux bases d’un espace vectoriel euclidienE.

• La matriceA= (< ei, ej>) deMn(R) est la matrice du produit scalaire< ., . >.

• Sixety sont deux ´el´ements deE de matricesX etY dansB,< x, y >=^tXAY.

• Aest une matrice sym´etrique dont les valeurs propres sont strictement positives.

• SiA^′ est la matrice de< ., . >dansB^′ et si P est la matrice de passage deB`aB^′:A^′=^tP AP.

•Une matriceC deMn(R) est la matrice d’un produit scalaire si et seulement si elle est sym´etrique `a valeurs propres strictement positives.

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