Universit´ e de Cergy-Pontoise Mai 2010
L3-M-MI-MP Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire
Premi`ere session - Dur´ee 3 heures, documents et calculatrices interdits
Premier Exercice - Questions de cours - 3 points
1. Un produit scalaire de E est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive surE. On peut ´ega- lement le d´efinir par une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee positive.
2. Soit uun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que le polynˆome caract´eristique deuest scind´e. Alors il existe un couple unique d’endomorphismesdetntels que :
u=d+n
dest diagonalisable nest nilpotent d◦n=n◦d
Deuxi` eme Exercice - Exercices de cours - 5 points
1. Le SEC associ´e `a la valeur propre 0 est de dimension 6, celui associ´e `a la valeur propre 2 est de dimension 2. Comme le SEP est inclus dans le SEC, le SEP de dimension 3 est celui associ´e `a la valeur propre 0. Il y a donc trois blocs de Jordan pour cette valeur propre et 6 = 1+1+4 = 1+2+3 = 2+2+2 sont les seules d´ecomposition possibles. Par contre, il y a un seul bloc pour la valeur propre 2. Les trois r´eduites de Jordan possibles sont donc obtenues en r´eunissant l’un des trois blocs :
0 0 0
0 0 0
0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1
0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 1
0 0
avec le bloc 3 1
0 3
2. La premi`ere ´etape de la m´ethode de Gauss donne :
q(x) = (x1+x2−x3)2+ 4x4x5
et donc
q(x) = (x1+x2−x3)2+ (x4+x5)2−(x4−x5)2 La signature est (2,1), et donc le rang est 3
Premier probl` eme - Sous-espaces stables - 7 points
1. Six∈F∩G, o`uF etGsontu-stables, alors
u(x)∈u(F)⊂F et u(x)∈u(G)⊂G
donc u(x)∈F∩G, l’intersection estu-stable. De mˆeme, si x∈F+G, o`u F et Gsont u-stables, alors
x=f+go`uf ∈F, g∈G, et u(x) =u(f) +u(g)∈u(F) +u(G)⊂F+G donc la somme est u-stable.
Non :Eest toujoursu-stable, et on peut trouver desupour lesquels il existe des sev nonu-stables.
2. Soitu∈Ker(P(u) doncP(u)(x) = 0. De plus,
P(u)(u(x)) = (P(u)◦u)(x) = (u◦P(u))(x) =u(P(u)(x)) =u(0) = 0 ce qui montre que u(x)∈Ker(P(u).
3. (a)
χu(X) = (−1)n(X−2)n, µu(X) = (X−2)n
(b) Fk est u-stable car c’est le noyau d’un polynˆome en u. Le cours nous assure que la suite des noyaux it´er´es est strictement croissante deF0`aFn, puisquenest l’exposant dans le polynˆome minimal. Comme il y an+ 1 noyaux it´er´es, la suite de leur dimensions ne peut ˆetre que 0, 1, . . .,n.
(c) SiF un sous-espace stable de dimensionk, la restrictionv deuest bien d´efinie. On sait (par exemple avec des matrices blocs), que le polynˆome caract´eristique de cette restriction est un diviseur deχu, de degr´ek : c’est dont
χv(X) = (−1)k(X−2)k.
Mais alors, par le th´eor`eme de Cayley-Hamilton, tous les vecteurs deF v´erifient : (u−2id)k(x) = 0
et sont donc tous dansFk. Donc F ⊂Fk, comme ils ont mˆeme dimension, c’est termin´e. Il y a doncn+ 1 sous-espacesu-stables.
4. L’hypoth`ese implique queua une baseB= (ei) denvecteurs propres associ´es `a toutes les valeurs propres distinctes. Soit F un sous-espace stable. Le polynˆome caract´eristique de la restriction deu
`
a F est un diviseur du polynˆome caract´eristique deu: les valeurs propres de cette restriction sont donc simples, et il existe une base de vecteurs propres extraite de la baseB. Ainsi, les sous-espaces stables de dimension deux sont de la forme vect(ei, ej) pouri6=j. Il y en a n(n−1)2 .
Second probl` eme - espace vectoriel euclidien - 5 points
1. C’est la cons´equence de ce qu’une isom´etrie conserve le produit scalaire.
2. Six= x1
x2
et y=
y1
y2
alors :
hu(x), u(y)i= (2x1+ 3x2,3x1−2x2)
2y1+ 3y2
3y1−2y2
= 13(x1y1+x2y2) = 13hx, yi La nullit´e dehx, yiimplique celle dehu(x), u(y)i.
3. On revient au cas o`uE est de dimension finie n. L’hypoth`ese de bijectivit´e fait que l’image d’une base (ei) sera une base (u(ei). De plus, les vecteurs (ei) ´etant orthogonaux deux `a deux, leurs images seront orthogonales deux `a deux. Enfin,
hei+ej, ei−eji=keik2− kejk2= 0 doncu(ei+ej) etu(ei−ej) sont orthogonaux et
0 =hu(ei) +u(ej), u(ei)−u(ej)i=ku(ei)k2− ku(ej)k2 prouve que les vecteurs ont mˆeme norme.
4. L’hypoth`ese prouve que uco¨ıncide alors avec une homoth´etie pr´ec´ed´ee d’une isom´etrie. On peut aussi faire un calcul.
