Universit´ e de Cergy-Pontoise Mai 2010
L3-M-MI-MP Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire
Premi`ere session - Dur´ee 3 heures, documents et calculatrices interdits
Premier Exercice - Questions de cours - 3 points
1. Donner la d´efinition d’un produit scalaire (dans unR-espace vectoriel)
2. ´Enoncer, en pr´ecisant les hypoth`eses, ce qu’est la d´ecomposition de Dunford d’un endomorphisme d’unK-espace vectoriel de dimension finie.
Deuxi` eme Exercice - Exercices de cours - 5 points
1. Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielE. On suppose que le polynˆome caract´eristique deuest :
χu(X) =X6(X−3)2
On sait de plus qu’un des sous-espaces propres de uest de dimension trois et que l’autre est de dimension un. D´eterminer les formes possibles de la r´eduite de Jordan deu.
2. Eest unR-espace vectoriel de dimension 5. Donner le rang et la signature de la forme quadratique qd´efinie par :
q(x) =x21+x22+x23+ 2x1x2−2x2x3−2x1x3+ 4x4x5 o`u x= (x1, x2, x3, x4, x5).
Premier probl` eme - Sous-espaces stables - 6 points
Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n ≥ 1. On rappelle qu’un sous-espace vectorielF estu-stable si
∀x∈F, u(x)∈F
1. Montrer que l’intersection et la somme de deux sous-espaces vectorielsu-stables estu-stable. SiG est un sous-espace d’un sous-espaceu-stable F, est-il lui-mˆemeu-stable ?
2. Montrer que siP est un polynˆome deK[X], alors Ker(P(u)) est un sous-espaceu-stable.
3. Dans cette question, on suppose que la matrice deudans une baseB= (ei) est un bloc de Jordan de la forme :
MB(u) =
2 1 0 0 . . . 0 0 2 1 0 . . . 0 0 0 2 1 . . . 0 ... ... . .. . .. . .. ...
0 0 0 . .. 2 1 0 0 0 . . . 0 2
On rappelle que la dimension deE est n.
(a) Donner le polynˆome caract´eristique et le polynˆome minimal deu, sans justification.
(b) On poseFk= Ker(u−2id)k, pourk= 0 jusqu’`an. Montrer queFk est un sous-espaceu-stable de dimensionk. On pourra utiliser le cours ou bien faire un calcul.
(c) Soit F un sous-espace stable de dimension k. On notev la restriction de u`a F. D´eterminer le polynˆome caract´eristique de v et en d´eduire que F co¨ıncide avecFk (on pourra utiliser le th´eor`eme de Cayley-Hamilton). Quel est le nombre des sous-espacesu-stables ?
4. On suppose maintenant queuest diagonalisable, avecnvaleur propres distinctes (nest la dimension de E). Montrer que tout sous-espace u-stable est somme de droites propres. Combien y a t-il de sous-espacesu-stables de dimension 2 ?
Second probl` eme - espace vectoriel euclidien - 6 points
SoitE un espace vectoriel euclidien. Siuest un endomorphismebijectif deE, on dit qu’il conserve l’orthogonalit´e s’il a la propri´et´e :
∀(x, y)∈E2, hx, yi= 0⇒ hu(x), u(y)i= 0
1. Montrer qu’une isom´etrie (ou transformation orthogonale) conserve l’orthogonalit´e.
2. Dans cette question, on se place en dimension deux etBest une base orthonorm´ee. Montrer queu d´efinie par :
MB= 2 3
3 −2
conserve l’orthogonalit´e.
3. On revient au cas o`u E est de dimension finie n. Montrer que siu conserve l’orthogonalit´e, alors il transforme une base orthonorm´eeB= (ei)1≤i≤n en une base orthogonale dont tous les vecteurs ont mˆeme norme. Indication : on v´erifiera et on utilisera queei+ej etei−ej sont orthogonaux.
4. R´eciproquement, montrer que siutransforme une base orthonorm´ee en une base orthogonale dont tous les vecteurs ont la mˆeme norme, alorsuconserve l’orthogonalit´e.
