Enonc´e noA227 (Diophante)
Nombres premiers au coeur d’un polynˆome
Soit N = abc un nombre premier dont les chiffres sont les coefficients du polynˆome P(x) = ax2+bx+c. D´emontrer que le polynˆome P(x) est irr´eductible (en d’autres termes l’´equation P(x) = 0 n’a pas de racines enti`eres ou rationnelles).
G´en´eralisation avec un nombre premier dont lesnchiffres (par exemplen= 2009) sont dans l’ordre de leur repr´esentation d´ecimale les coefficients d’un polynˆome P(x) de degr´e n−1. D´emontrer que ce polynˆome est toujours irr´eductible.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Ni le cas de 3 chiffres ni la limitation des coefficients `a 9 ne jouent de rˆole dans la propri´et´e de l’´enonc´e. Le raisonnement qui suit vaut quels que soient le nombre de chiffres et la base de num´eration repr´esent´ee par 10.
Soit le polynˆome de degr´e d, `a coefficients entiers ≥0
P(x) =
d
X
k=0
akxk
Supposons qu’il soit r´eductible ; il a une racine rationnelle, n´egative car P(x)>0 pour tout x >0, soit la fraction irr´eductible−p/q.
qdP(x) =P(akqd−k)(qx)k, et comme P(−p/q) = 0,
P(akqd−k)(−p)k, ce qui entraˆıne quepdivisea0, de mˆeme queq divisead, d’o`u ad≥q. On a ensuite
qdP(10) =qdP(10)−qdP(−p/q) =X(akqd−k)((10q)k−(−p)k) Les quantit´es ((10q)k−(−p)k)/(10q+p) sont pourk >0 des entiers
(10q)k−(−p)k 10q+p =
k−1
X
m=0
(10q)m(−p)k−1−m
Ainsi 10q+p est un diviseur de qdP(10), donc de P(10) car 10q+p est premier avecq. Le quotient est>1, car
P(10)> ad·10d≥100q >20q >10q+p.
Ainsi 10q+p, entier ≥ 11, divise P(10) et lui est strictement inf´erieur ; P(10) est un nombre compos´e.
En contraposant cette conclusion, si P(x) est form´e `a partir des chiffres d’un nombre premier,P(x) est irr´eductible, CQFD.
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