Examen d’Alg` ebre, Semestre 2, 2013.
Dur´ ee 3 heures. 21 Mai 2013, 14h-17h Notes de cours autoris´ ees. Sujet de 3 pages.
Exercice 1
Soit q une puissance d’un nombre premier p, et n ≥ 1. Soit σ : F
qn→ F
qnd´ efini par σ(x) = x
q.
1. Montrer que σ est un automorphisme de F
qn. 2. Montrer que σ induit l’identit´ e sur F
q.
3. Le groupe de Galois Gal( F
qn/ F
q) est le groupe de tous les automorphismes de F
qninduisant l’identit´ e sur F
q. Montrer que |Gal( F
qn/ F
q)| ≤ n.
4. Montrer que Gal( F
qn/ F
q) est un groupe cyclique, engendr´ e par σ.
Exercice 2
1. Montrer que l’alg` ebre de Lie du groupe SL
n( R ) dans M
n( R ) est l’espace des matrices de trace nulle.
2. Montrer que l’exponentielle exp : M
n( R ) → GL
n( R ) d´ efinit un hom´ eomorphisme de l’espace des matrices sym´ etriques sur l’ensemble des matrices sym´ etriques d´ efinies positives, que l’on note S
++.
3. En d´ eduire que l’ensemble des matrices sym´ etriques d´ efinies positives de d´ eterminant 1 est hom´ eomorphe ` a R
n(n+1) 2 −1
.
4. Montrer que toute matrice dans GL
n( R ) s’´ ecrit de mani` ere unique comme produit QS d’une matrice orthogonale Q et d’une matrice S de S
n++. (On utilisera une matrice S de S
n++dont le carr´ e vaut
tM M, afin de d´ ecomposer M comme (M S
−1)S.
5. En utilisant la compacit´ e de O(n, R ), montrer que pol : O(n, R ) × S
n++→ GL
n( R ) d´ efinie par pol(Q, S) = QS est un hom´ eomorphisme.
6. En d´ eduire que SL
2( R ) est hom´ eomorphe ` a l’interieur d’un “tore solide”
(ou “tore plein”), c’est ` a dire ` a S
1× D o` u S
1est le cercle unit´ e, et D le disque unit´ e ouvert de R
2.
1
Exercice 3
Soit K un corps de caract´ eristique diff´ erente de 2. On note K
∗= K \ {0}.
Une alg` ebre de quaternions A sur K est une K-alg` ebre de dimension 4 ad- mettant une base {1, i, j, k} qui v´ erifie
1 = 1
A= 1
K, ij = −ji = k, i
2= a ∈ K
∗, j
2= b ∈ K
∗.
On dit dans ce cas que A munie de cette base est de symbole de Hilbert a, b
K
. Par exemple, l’alg` ebre des Quaternions de Hamilton vue en cours est de symbole de Hilbert
−1, −1 R
.
Le but du probl` eme est de voir que pour K = C ou R , cette construction ne donne rien de nouveau, mais que cependant, pour K = Q il se passe des choses nouvelles (que l’on ne fait qu’entrapercevoir ici).
On admet que ´ etant donn´ es a, b ∈ K
∗une alg` ebre de quaternions de symbole a, b
K
existe et est unique ` a isomorphisme pr` es.
Rappels et conventions : K.1 est une sous-alg` ebre centrale dans A. Une K-alg` ebre dont tout ´ el´ ement non nul est inversible est appel´ ee une alg` ebre de division. On pourrait tout aussi bien dire “un corps non necessairement com- mutatif”.
On note A
0= Vect(i, j, k), appel´ e le sous-espace imaginaire pur de A. Pour tout x ∈ A, on ecrit x = <(x) + =(x) avec <(x) ∈ K.1 et =(x) ∈ A
0, et on note x
∗= <(x) − =(x).
1. Premiers exemples.
(a) En consid´ erant i =
1 0 0 −1
et j =
0 1 1 0
, montrer que M
2(K) est une alg` ebre de quaternions de symbole
1, 1 K
.
(b) Montrer que pour tout a, b, x, y ∈ K
∗, deux alg` ebres de quaternions de symboles
a, b K
et
ax
2, by
2K
sont isomorphes.
(c) Montrer que si K est alg´ ebriquement clos, toute alg` ebre de quater- nion est isomorphe ` a M
2(K).
(d) Dans cette question seulement, K = R . Montrer qu’une alg` ebre de quaternions sur R est soit isomorphe ` a M
2( R ), soit isomorphe ` a l’alg` ebre des quaternions de Hamilton.
2
(e) Consid´ erons A une alg` ebre de quaternions, et la forme quadratique (N : x 7→ xx
∗). Montrer que soit A est une alg` ebre de division, soit la forme N poss` ede un vecteur isotrope (c’est ` a dire un vecteur v 6= 0 tel que N (v) = 0).
(f) Montrer que
i. le centre de A est K.1,
ii. A
0\ {0} = {x ∈ A, x / ∈ K.1, x
2∈ K.1},
(g) Montrer que deux alg` ebres de quaternions A et A
0sur un mˆ eme corps K sont isomorphes si, et seulement si, il existe une application K- lin´ eaire φ : A
0→ A
00verifiant N (φ(x)) = N (x), pour tout x dans A
0.
2. Alg` ebres de quaternions sur Q .
(a) On consid` ere dans cette question que K = Q . Soient p et q des nombres premiers distincts, avec p ≡ −1[4].
Montrer que si les symboles de Hilbert de A et A
0sont respectivement −1, p
Q
et −1, q
Q
, et que A et A
0sont isomorphes, alors il existe M ∈ GL
3( Q ), de determinant ±q/p telle que
t
