Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II Alg` ebre lin´ eaire

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II Alg` ebre lin´ eaire

Le terme d’alg` ebre provient du titre d’un ouvrage d’un math´ ematicien d’origine persane Al-Khwarizmi.

Il comportait le mot al-jabr. Cet ouvrage a ´ et´ e publi´ e aux alentours de 825. A noter que le nom de ce math´ ematicien a donn´ e le terme d’algorithme. Les concepts d’alg` ebre lin´ eaire ont, eux, ´ emerg´ e beaucoup plus tard tout au long du dix-neuvi` eme si` ecle.

Cette notion est une des notions de base ` a maˆıtriser pendant le cursus de licence. Ainsi bon nombre de questions d’analyse (non lin´ eaires) sont ´ etudi´ ees en proc´ edant tout d’abord ` a une lin´ earisation.

Le corps des scalaires. L’alg` ebre lin´ eaire utilise comme donn´ ee de base le corps des scalaires (ensemble muni de deux lois de groupe, l’addition et la multiplication, lois v´ erifiant les propri´ et´ es que vous avez d´ ecouvert en primaire et secondaire). L’exemple de base est le corps des r´ eels R . Mais vous connaissez aussi le corps des nombres rationnels Q ou le corps des nombres complexes C . Ceux d’entre vous qui ont suivi une option d’arithm´ etique connaissent aussi sans doute les corps finis F

= Z /p Z (o` u p est un nombre premier) des classes d’entier modulo p . Vous utiliserez sans doute plus tard dans votre cursus d’informatique les corps F

: l’ensemble des f -uplet d’entiers modulo 2 (bref 0 ou 1) peut ˆ etre muni d’une structure de groupe. Ainsi l’ensemble des octets peut ˆ etre munie d’une structure de corps qui en fait F

.

Toutes les d´ efinitions et les concepts d’alg` ebre lin´ eaire que nous allons aborder en nous basant sur le corps des r´ eels fonctionnent lorsque l’on prend un corps K de scalaire quelconque.

Nous allons donner les d´ efinitions g´ en´ erales (en nous inspirant des exemples de R

ou R

que vous avez vu au premier semestre) puis nous donnerons les ´ el´ ements de calcul matriciel utilis´ es dans ce domaine avant de revenir aux principaux r´ esultats du domaine.

1 L’espace R ⁿ .

Nous allons commencer par mettre en ´ evidence les propri´ et´ es essentielles de l’ensemble R

.

Soit n un nombre entier non nul. On note R

, l’ensemble des n-uplets de r´ eels. On note u = (x

, . . . , x

) un tel n-uplet. On appellera par ailleurs vecteur un tel ´ el´ ement.

Un vecteur u est nul si et seulement si toutes ses composantes sont nulles. On notera d’ailleurs d´ esormais 0 (par abus de langage) le vecteur (0, . . . , 0) . Deux vecteurs u et v sont identiques si et seulement si toutes leurs composantes sont identiques deux ` a deux :

u = v ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n} , u

= v

. Comme on sait additionner des r´ eels, on sait additionner des n-uplets :

u + u

= (x

, . . . , x

) + (x

, . . . , x

) = (x

+ x

, . . . , x

+ x

) .

Autrement dit, on additionne deux n-uplets en additionnant leurs composantes respectives. C’est exac- tement le dessin que vous avez pu faire dans le plan ou dans l’espace. On remarquera que l’ordre des deux n-uplets n’a pas d’influence sur le r´ esultat.

On ne sait pas par contre (en g´ en´ eral) multiplier des n-uplets entre eux alors que l’on sait multiplier deux r´ eels. Mais on sait multiplier un n-uplet par un r´ eel :

a.u = au = a(x

, . . . , x

) = (ax

, . . . , ax

) .

Encore une fois, on le fait composante par composante. On parlera d´ esormais de multiplication d’un

vecteur par un scalaire a .

Remarque 1.1. On a les propri´ et´ es (imm´ ediates) suivantes :

∀u ∈ R

, 0.u = 0 et 1.u = u ;

∀a, b ∈ R , ∀u ∈ R

, a(bu) = (ab)u ;

∀a ∈ R , ∀u, v ∈ R

, a(u + v) = au + av ;

∀a, b ∈ R , ∀u ∈ R

, (a + b).u = a.u + b.u.

Remarque 1.2. Le lecteur (l’auditeur) attentif constatera que ces propri´ et´ es subsistent bien si l’on travaille avec l’ensemble C

des n-uplets de nombres complexes (ou d’ailleurs Q

). Cela provient de ce que R , C et Q sont des corps (notion que vous verrez ult´ erieurement).

Remarque 1.3. On notera d´ esormais −u l’oppos´ e du vecteur u = (x

, . . . , x

puisque l’on a (−1).u = (−1).(x

, . . . , x

) = (−x

, . . . , −x

) .

Remarque 1.4. Avec les op´ erations pr´ ec´ edentes, on voit que

u = (x

, . . . , x

) = (x

, 0, . . . , 0) + (0, x

, 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, x

) =

n

X

i=1

x

e

o` u l’on a not´ e e

le n-uplet dont toutes les coordonn´ ees sont nulles ` a l’exception de la i-i` eme qui est ´ egale

`

a 1 . Les vecteurs e

sont appel´ es canoniques.

Remarque 1.5. On dit que, pour l’addition des n-uplets de R

et la multiplication par un scalaire r´ eel de ces mˆ emes n-uplets, l’ensemble R

est un espace vectoriel sur R .

Le lecteur plus avanc´ e pourra trouver la d´ efinition suivante dans les ouvrages traitant de math´ ematiques de licence.

D´ efinition 1.6. Soit E un ensemble. On dit qu’il est muni d’une addition interne s’il est muni d’une application de E × E dans E : (u, v) ∈ E

7→ u + v ∈ E . On dit que E muni d’une multiplication par un scalaire r´ eel (dite multiplication externe) s’il est muni d’une application de R × E dans E : (λ, u) 7→ λ.u ∈ E .

D´ efinition 1.7. On appelle espace vectoriel sur R un ensemble E muni d’une addition et d’une multi- plication par un scalaire r´ eel (dite multiplication externe) v´ erifiant les propri´ et´ es suivantes :

— ∀(u, v, w) ∈ E

, (u + v) + w = u + (v + w) (on dit que l’addition est associative) ;

— ∀(u, v) ∈ E

, u + v = v + u (on dit que l’addition est commutative) ;

— ∃0 = 0

∈ E ; ∀u ∈ E , 0 + u = u + 0 = u (on dit que l’addition poss` ede un ´ el´ ement neutre 0

) ;

— ∀u ∈ E , ∃v ∈ E ; u + v = v + u = 0 (on dit que tout vecteur admet un oppos´ e et on note v = −u) ;

— ∀u ∈ E , 1.u = u ;

— ∀(λ, µ) ∈ R

∀u ∈ E , (λµ).u = λ.(µ.u) ; (on dit que la multiplication est associative) ;

— ∀λ ∈ R ∀(u, v) ∈ E

, λ.(u + v) = λ.u + λ.v (on dit que la multiplication est distributive par rapport ` a l’addition des vecteurs) ;

— ∀(λ, µ) ∈ R

∀u ∈ E , (λ + µ).u = λ.u + µ.u (on dit que la multiplication est distributive par rapport ` a l’addition des scalaires).

Remarque 1.8. Tr` es rapidement on note (par abus de langage) λ.u = λu .

Remarque 1.9. Au vu des propri´ et´ es donn´ ees ci-dessus, il est facile de montrer que

∀u ∈ E , (−1).u = −u .

Remarque 1.10. (Une) Equation. Dans un espace vectoriel E , on a λ.u = 0 ⇔ u = 0 ou λ = 0 . On va se contenter de le v´ erifier dans R

: bien sˆ ur on a

λ.u = 0 ⇔ (λx

, . . . , λx

) = 0 ⇔ ∀i ∈ {1 . . . n}λx

= 0 soit

λ = 0 ou ∀i ∈ {1 . . . n}x

= 0 (u = 0) .

Remarque 1.11. On ´ etudiera plus loin dans le cours des exemples d’espaces vectoriels tels que l’espace des polynˆ omes ou l’espace des fonctions continues ou d´ erivables en un point .

Exemple 1.12. L’ensemble des suites num´ eriques (applications de N dans R que l’on note R

), qui a

´

et´ e ´ etudi´ e au premier semestre est ´ egalement un espace vectoriel sur R .

Remarque 1.13. On appelle groupe commutatif tout ensemble muni d’une op´ eration v´ erifiant les quatre premi` eres propri´ et´ es :

— ∀(u, v, w) ∈ E

, (u + v) + w = u + (v + w) (on dit que l’addition est associative) ;

— ∀(u, v) ∈ E

, u + v = v + u (on dit que l’addition est commutative) ;

— ∃0 = 0

∈ E ; ∀u ∈ E , 0 + u = u + 0 = u (on dit que l’addition poss` ede un ´ el´ ement neutre 0

) ;

— ∀u ∈ E , ∃v ∈ E ; u + v = v + u = 0 (on dit que tout vecteur admet un oppos´ e et on note v = −u) ;

Avec cette notion, un corps K est un ensemble muni d’une addition qui en fait un groupe commutatif, d’une multiplication (interne) pour laquelle l’ensemble K − {0} est ´ egalement un groupe et qui est distri- butive par rapport ` a l’addition. Le corps est dit commutatif si cette multiplication est commutative. On connait les corps Q , R et C (et peut-ˆ etre aussi F

= Z /p Z o` u p est un nombre premier).

De mˆ eme un espace vectoriel est un groupe (pour une addition) muni d’une multiplication (externe) par les scalaires qui est distributive vis ` a vis des vecteurs et des scalaires.

2 Sous-espaces vectoriels. Syst` emes de vecteurs.

Au regard des propri´ et´ es rappel´ ees ci-dessus, certaines parties d’un espace vectoriel sont plus int´ eressantes que les autres.

D´ efinition 2.1. Soit F une partie non vide de R

. On dit que F est un sous-espace vectoriel (r´ eel) de R

si F v´ erifie

— ∀a ∈ R , ∀u ∈ F, au ∈ F (en particulier le vecteur nul appartient ` a F) ;

— ∀u ∈ F, ∀v ∈ F , u + v ∈ F .

D´ efinition 2.2. Soient u et v deux vecteurs ´ el´ ements de R

. On appelle combinaison lin´ eaire des vecteurs u et v tout vecteur w de la forme w = au + bv o` u a et b sont deux scalaires. Plus g´ en´ eralement, soient u

, i = 1 . . . m , des vecteurs de R

; on appelle combinaison lin´ eaire des vecteurs u

de la forme w = a

u

+ . . . + a

u

= P

i=1

a

u

o` u les a

(i = 1 . . . m) sont des scalaires.

Exemple 2.3. Soit u = (x

, . . . , x

) un vecteur de R

. Alors nous avons d´ ej` a remarqu´ e que

u = a

(1, 0, . . . , 0) + . . . + a

(0, . . . , 0, 1) =

n

X

i=1

a

e

o` u l’on a not´ e e

le vecteur particulier dont toutes les composantes sont nulles sauf la i-i` eme qui est ´ egale

`

a 1 . Tout vecteur de R

est donc une combinaison lin´ eaires des vecteurs canoniques.

Munis de cette d´ efinition, nous pouvons reformuler la d´ efinition pr´ ec´ edente.

D´ efinition 2.4. Soit F une partie de R

. On dit que F est un sous-espace vectoriel (r´ eel) de R

si, pour tout couple (u, v) de vecteurs de F , F contient toutes leurs combinaisons lin´ eaires.

Exemple 2.5. L’exemple le plus simple est celui des vecteurs de la forme au o` u u est un vecteur quelconque de R

. Soit u = 0 alors le sous-espace est r´ eduit ` a {0} . Soit u 6= 0 et le sous-espace est une droite.

Exemple 2.6. Soit P la partie de R

donn´ ee par les vecteurs u = (x, y, z) tels que x + y + z = 0 . Cette partie est non vide (elle contient le vecteur nul). Elle contient les vecteurs (1, −1, 0) , (1, 0, −1) et (0, 1, −1) . De plus, comme z = −x − y , les vecteurs de P s’´ ecrivent :

(x, y, z) = (x, y, −x − y) = x(1, 0, −1) + y(0, 1, −1) .

Donc P contient les combinaisons lin´ eaires de ces deux vecteurs. Il est facile de v´ erifier qu’elle contient les combinaisons lin´ eaires de tout couple de vecteurs de P .

G´ en´ eralisons cet exemple.

D´ efinition 2.7. Soient u

, i = 1 . . . m , des vecteurs de F sous-espace vectoriel de R

. On appelle sous- espace (vectoriel) engendr´ e par les u

(i = 1, . . . , m) l’ensemble des combinaisons lin´ eaires des vecteurs u

. C’est un sous-espace vectoriel de F . On le note parfois F =< u

, . . . , u

> .

V´ erification. Il convient donc de v´ erifier que, si w = P

i=1

a

u

et w

= P

i=1

b

u

sont deux combi- naisons lin´ eaires des vecteurs u

, λw + µw

est encore une combinaison lin´ eaire des u

. or

λw + µw

= λ(

m

X

i=1

a

u

) + µ(

m

X

i=1

b

u

) =

m

X

i=1

(λa

+ µb

)u

.

D´ efinition 2.8. On dira que le syst` eme de vecteurs u

(i = 1 . . . m) de R

est g´ en´ erateur du sous-espace vectoriel F si et seulement si F =< u

, . . . , u

> .

Nous allons enfin donner la notion de syst` eme de vecteurs ind´ ependants (ou syst` eme libre de vecteurs).

D´ efinition 2.9. Soient u

(i = 1, . . . , m) une famille de m vecteurs de R

. On dit que ces vecteurs sont ind´ ependants ou qu’ils forment un syst` eme libre de vecteurs si la seule combinaison lin´ eaire de ces m vecteurs qui soit nulle est la combinaison lin´ eaire triviale :

m

X

i=1

λ

u

= 0 ⇒ ∀i ∈ {1, . . . , m}, λ

= 0 .

Remarque 2.10. On remarquera qu’un syst` eme est libre si et seulement si

∃i ∈ {1, . . . , m}; λ

6= 0 ⇒

m

X

i=1

λ

u

6= 0

ou encore

m

X

i=1

λ

u

= 0 ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , m}, λ

= 0

D´ efinition 2.11. Soient u

(i = 1, . . . , m) une famille de m vecteurs de R

. Soit F le sous-espace vectoriel engendr´ e par les vecteurs u

. Si les u

forment un syst` eme libre, on dira qu’ils forment une base de F .

Exemple 2.12. Examinons deux cas particuliers.

— Prenons un syst` eme de vecteurs de R

form´ e par un seul vecteur u . Soit il est nul et toute combinaison lin´ eaire (mˆ eme non triviale) est nulle. Soit il est non nul et l’on a imm´ ediatement : au = 0 ⇒ a = 0 . Un vecteur non nul est donc libre.

— Prenons alors un syst` eme form´ e de deux vecteurs u et v de R

. Supposons que la combinaison lin´ eaire λu + µv soit nulle et qu’elle soit non triviale. Quitte ` a ´ echanger u et v , on peut donc supposer que (par exemple) µ est non nul. Alors

λu + µv = 0, µ 6= 0 ⇒ v = − λ µ u .

On dit alors que v est colin´ eaire ` a u ; donc deux vecteurs u et v sont ind´ ependants si et seulement s’ils ne sont pas colin´ eaires.

— Notons cependant qu’il ne faut pas g´ en´ eraliser l’exemple pr´ ec´ edent. Les trois vecteurs



 1

−1 0



 ,



 0 1

−1



 et





−1 0 1





ont une somme nulle (ils ne sont pas ind´ ependants) SANS ˆ etre colin´ eaires deux ` a deux.

— Notons qu’il en est de mˆ eme des trois vecteurs de R

donn´ es par e

, e

et e

+ e

. Ils sont libres deux ` a deux (donc non proportionnels deux ` a deux) mais forment un syst` eme de trois vecteurs li´ e.

Exemple 2.13. Nous avons introduit les vecteurs canoniques e

de R

. Il n’est pas difficile de v´ erifier que, par d´ efinition de R

, ils forment une base de R

. On parle de la base canonique.

Exemple 2.14. (Formules de lin´ earisation) On se souvient que les fonctions cos (x)

et sin (x)

s’ex- priment de fa¸ con ”lin´ eaire” en cos (2x) . Plus exactement elles sont combinaison lin´ eaires des fonctions cos (2x) et 1 :

cos (x)

= 1

2 cos (2x) + 1

2 et sin (x)

= 1 2 − 1

2 cos (2x) . On a bien entendu des formules analogues pour cos (x)

et sin (x)

:

cos (x)

= 1

4 cos (3x) + 3

4 cos (x) et sin (x)

= 1

4 sin (3x) − 3 4 sin (x) dont l’interpr´ etation en termes de combinaison lin´ eaire est simple.

Proposition 2.15. Soient F

et F

deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel r´ eel R

. Alors F

∩ F

est un sous-espace vectoriel de R

.

D´ emonstration. Soient λ et µ deux scalaires. Soient u et v deux vecteurs de F

∩ F

. Alors la combinaison lin´ eaire λu + µv est ´ el´ ement de F

(puisqu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel) et de F

(de mˆ eme). Donc elle appartient bien ` a F

∩ F

.

Remarque 2.16. Nous verrons en exercice que la r´ eunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas en g´ en´ eral un sous-espace vectoriel.

D´ efinition 2.17. Soient F

(resp. F

) deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel R

. On note F

+ F

le sous-espace vectoriel engendr´ e par les vecteurs de F

et de F

.

Exemple 2.18. Soient F

= R e

et F

= R e

o` u e

, resp. e

, sont les vecteurs de la base canonique de R

. Alors F

+ F

= R

. Mais F

+ F

= F

.

D´ efinition 2.19. Soient F

et F

deux sous-espaces vectoriels de R

. On dit que F

et F

sont suppl´ ementaires dans R

si leur intersection est r´ eduite ` a {0} et leur somme est R

. On note alors R

= F

⊕ F

. Lorsque F

et F

ont seulement leur intersection r´ eduite ` a {0} , on dira que F

et F

sont en somme directe. On notera de mˆ eme F

⊕ F

le sous-espace qu’ils engendrent (sous-espace de

R

).

Exemple 2.20. Soient F

= R e

et F

= R e

o` u e

, resp. e

, sont les vecteurs de la base canonique de R

. Alors F

et F

sont suppl´ ementaires dans R

.

Exemple 2.21. Nous avons introduit plus haut le sous-espace vectoriel H de R

form´ e des vecteurs u tels que P

i=1

x

= 0 . Alors

R

= H ⊕ R e

.