2ECS
Math´ ematiques : DS1
EXERCICE 1 : EMLYON 2007 Partie I : Un d´ eveloppement en s´ erie
1) Montrer, pour toutN ∈Net toutt∈[0; 1] : 1
1 +t =
N
X
k=0
(−1)ktk+(−1)N+1tN+1 1 +t 2) En d´eduire, pour toutN∈Net toutx∈[0; 1] :
ln(1 +x) =
N
X
k=0
(−1)kxk+1
k+ 1 +JN(x), o`u on a not´eJN(x) =
Z x 0
(−1)N+1tN+1 1 +t dt.
3) Etablir, pour tout´ N ∈Net toutx∈[0; 1] : |JN(x)|6 xN+2 N+ 2 . 4) En d´eduire que, pour toutx∈[0; 1], la s´erie X
n>1
(−1)n−1xn
n converge et que :
ln(1 +x) =
+∞
X
n=1
(−1)n−1xn n
Partie II : ´ Egalit´ e d’une int´ egrale et d’une somme de s´ erie
On consid`ere l’application
f : [0; +∞[→R, x7→f(x) =
ln(1 +x)
x six >0
1 six= 0
1) Montrer quef est continue sur [0; +∞[.
2) Montrer, en utilisant le r´esultat deI.3., pour toutN ∈Net toutx∈[0; 1] :
f(x)−
N
X
k=0
(−1)kxk k+ 1
6 xN+1 N+ 2
3) Montrer que la s´erie X
n>1
(−1)n−1
n2 converge et que : Z 1
0
f(x)dx=
+∞
X
n=1
(−1)n−1 n2 . 4) Montrer, pour toutN ∈N? :
2N+1
X
n=1
1 n2 =
N
X
p=0
1 (2p+ 1)2 +
N
X
p=1
1 4p2
2N+1
X
n=1
(−1)n−1 n2 =
N
X
p=0
1 (2p+ 1)2 −
N
X
p=1
1 4p2
5) On admet que
+∞
X
n=1
1 n2 = π2
6 . Montrer : Z 1
0
f(x)dx=π2 12 .
1
EXERCICE 2
Soitf la fonction d´efinie par :
f(x) = (
xe−x22 si x>0 0 si x <0 1. V´erifier quef est une fonction de densit´e.
2. Repr´esenter graphiquementf.
SoitX une variable al´eatoire r´eelle admettantf comme fonction de densit´e.(on dit alors que Z suit la loi de Rayleigh )
3. On appelle mode de la variableX tout r´eelxen lequelf atteint son maximum. Montrer queX a un seul mode, not´eMo, et le d´eterminer.
4. D´eterminer la fonction de r´epartition deX.
5. Calculer la m´ediane deX c’est-`a-dire le r´eelµtel queP(X 6µ) = 1 2. 6. (a) Montrer queX admet une esp´erance.
(b) En utilisant un r´esultat connu concernant la loi normale , ´etablir que : Z +∞
0
e−x
2 2 dx=
√ 2π 2 . (c) En utilisant une int´egration par parties, calculerE(X).
7. D´eterminer la fonction de r´epartition deX2. Montrer que X2 suit une loi usuelle que l’on d´eterminera.
8. Simulation
On consid`ere la variable al´eatoire V suivant la loi uniforme sur ]0; 1]. Montrer que la variable al´eatoire Z =p
−2 ln (V) suit la mˆeme loi queX.
En d´eduire un script en langage Scilab , utilisant le g´en´erateur al´eatoire rand( ) simulant la variable al´eatoireX.
EXERCICE 3
Pour tout nombre r´eel x, on note [x] la partie enti`ere de x, c’est-`a-dire l’unique nombre entier v´erifiant : [x]6x <[x] + 1.
SoitX la variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etreλ(λ >0).
On poseY = [X], Y est donc la partie enti`ere deX et on a :∀k∈Z (Y =k) = (k6X < k+ 1) 1. (a) Montrer queY prend ses valeurs dansN.
(b) Pour toutkdeN∗, calculerP(Y =k−1).
(c) En d´eduire que la variable al´eatoireY + 1 suit une loi g´eom´etrique dont on donnera le param`etre.
(d) Donner l’esp´erance et la variance deY + 1. En d´eduire l’esp´erance et la variance deY. 2. On poseZ =X−Y.
(a) D´eterminerZ(Ω).
(b) En utilisant le syst`eme complet d’´ev´enements (Y =k)k∈N, montrer que :
∀x∈[0,1[, P(Z6x) =1−e−λx 1−e−λ (c) Montrer queZ est une variable al´eatoire `a densit´e.
(d) D´eterminer une densit´ef deZ.
(e) D´eterminer l’esp´eranceE(Z) deZ. Ce r´esultat ´etait-il pr´evisible ?
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EXERCICE 4 : EDHEC 2015
Pour toutndeN?, on poseIn= Z +∞
1
dx xn(x+ 1). 1) V´erifier que In est une int´egrale convergente.
2)a)D´eterminer les r´eels aetbtels que, pour tout xdiff´erent de -1 et 0, on ait : 1
x(x+ 1) =a x− b
x+ 1. b)En d´eduire la valeur deI1.
3)a)Montrer que pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 2, on a : 06In6 1
2(n−1). b)En d´eduire l’existence et la valeur de lim
n→+∞In. 4)a)Pour toutndeN?, calculerIn+In+1.
b)Montrer que la suite (In)n∈N? est d´ecroissante.
c) En d´eduire un ´equivalent deIn puis donner la nature de la s´erie de terme g´en´eralIn. 5) Pour toutndeN, on poseJn =
Z +∞
1
dx xn(x+ 1)2. a)Montrer queJn est une int´egrale convergente.
b)CalculerJ0.
6)a)Pour toutkdeN?, exprimerJk+Jk−1en fonction deIk. b)D´eterminer alors, pour toutndeN?, l’expression de
n
X
k=1
(−1)k−1Ik en fonction deJn. c) Montrer que :∀n∈N, n>2, 06Jn6 1
4(n−1).Donner la valeur de lim
n→+∞Jn. d)En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral (−1)n−1In est convergente et donner sa somme.
7) A l’aide des questions 4a) et 6a), compl´` eter les commandesScilab suivantes afin qu’elles permettent le calcul deIn et Jn pour une valeur den, sup´erieure ou ´egale `a deux, entr´ee par l’utilisateur.
n=input(’entrez une valeur de n sup´erieure ou ´egale `a 2 : ’) I=log(2);J=1/2; J=---
for k=2:n
I=---;J=---;end disp(I,’la valeur de I est : ’) disp(J, ’la valeur de J est : ’)
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