Exercice CCP 2019 On admet que
+∞
X
n=1
1 n2 =π2
6 et on pose, pourt∈]0,+∞[,f(t) = te−t 1−e−t.
Justifier que la fonctionf est int´egrable sur ]0,+∞[ puis, `a l’aide d’un th´eor`eme d’int´egration terme `a terme, calculer l’int´egrale
Z +∞
0
t et−1 dt.
La fonctionf est continue sur ]0,+∞[, positive.
On a 1−e−t ∼
t→0t, donc f(t)−−−→
t→0 1. Doncf se prolonge par continuit´e `a [0,1] tout entier, et donc est int´egrable sur ]0,1].
De plus,f(t) ∼
t→0te−t; mais par croissances compar´ees, e−t= o
t→+∞
1 t3
On en d´eduit quef(t) = o
t→+∞
1 t2
et donc, par comparaison `a l’exemple de Riemann,f est int´egrable sur [1,+∞[.
Finalement f est int´egrable sur ]0,+∞[
Or pour tout t >0,e−t∈]0,1[, donc 1 1−e−t =
+∞
X
n=0
e−nt
On en d´eduit que, sur ]0,+∞[,f =
+∞
X
n=0
φn o`u
φn : t7−→te−(n+1)t
Chaqueφn est continue sur [0,+∞[, int´egrable car n´egligeable devant 1/t2 au voisinage de +∞
par croissances compar´ees.
Xφn converge simplement sur ]0,+∞[ et sa somme,f, est continue.
D´efinissant N1(φn) = Z +∞
0
|φn(t)| dt, par positivit´e deφn on a
N1(φn) = Z +∞
0
te−(n+1)tdt
SoitA≥0 ; par int´egration par parties (t7−→e−(n+1)tet t7−→t sont de classeC1 sur [0, A]), Z A
0
te−(n+1)tdt=
te−(n+1)t
−(n+ 1) A
0
+ 1
n+ 1 Z A
0
e−(n+1)tdt Prenant les limites quandA→+∞, on obtient par croissances compar´ees :
N1(φn) = 1 n+ 1
Z +∞
0
e−(n+1)tdt= 1 (n+ 1)2 DoncX
n≥0
N1(φn) converge (s´erie de Riemann, 2>1), on peut alors utiliser le th´eor`eme d’inter- version s´erie - int´egrale pour obtenir
Z +∞
0
f(t)dt=
+∞
X
n=0
Z +∞
0
φn(t)dt
=
+∞
X
n=0
1 (n+ 1)2 et en multipliant le num´erateur et le d´enominateur def(t) par eton obtient
Z +∞
0
t
et−1 dt=π2 6
