On consid` ere une charge ponctuelle en mouvement lin´ eaire uniforme : la charge q se d´ eplace le long de l’axe Oz avec la vitesse constante v = (0, 0, v)

Electrodynamique S´ erie 7 28 Octobre 2015

Exercice 1 Champs d’une charge en mouvement

On consid` ere une charge ponctuelle en mouvement lin´ eaire uniforme : la charge q se d´ eplace le long de l’axe Oz avec la vitesse constante v = (0, 0, v)

.

A l’exercice 2 de la s´ ` erie 6, nous avions trouv´ e les potentiels de Li´ enard-Wiechert φ(t, r) et A(t, r) sour¸ cant les champs de ce syst` eme.

φ(t, x) = qγ 4π

1

p x

+ y

+ γ

(z − vt)

A(t, x) = v

c

φ(x, t) , o` u γ =

1−^v2

c2

est le facteur de Lorentz.

i) En partant des potentiels ci-dessus, trouver les champs ´ electromagn´ etiques E et B.

ii) Exprimer les champs en fonction de la norme de R

, vecteur entre la charge q et l’observateur au temps t de l’observation et l’angle θ := ^ (R

, v). Etudier les champs dans les cas non-relativiste v c et ultra-relativiste v ≈ c.

Exercice 2 Atome classique

On consid` ere un mod` ele classique pour l’atome d’hydrog` ene:

• Le proton de charge e = 1.60 · 10

C et de masse m

= 1.67 · 10

kg immobile au centre.

• L’´ electron de charge −e et de masse m

= 9.11 · 10

kg m

en mouvement circulaire uniforme ` a une distance r

= 5.29 · 10

m autour du proton.

i) Calculer la fr´ equence ν de cette rotation.

ii) Int´ egrer le r´ esultat ci-dessous obtenu au point ii) de l’exercice 1 de la s´ erie 6 pour le vecteur de Poynting afin d’obtenir la puissance totale rayonn´ ee par le syst` eme.

S(t) = e

16π

ε

c

|a|

sin

(α(t)) r

e

,

o` u α(t) est l’angle form´ e au temps t par le vecteur accel´ eration a de l’´ electron et la direction de vis´ ee e

, α = ^ (a, e

).

iii) Estimer la dur´ ee de vie de cet atome classique. Pourquoi vivez-vous encore?

Exercice 3 Dipˆ ole ´ electrique

Consid´ erez la distribution de charges ponctuelles suivante: une charge 3q situ´ ee ` a (0, 0, d), une charge q ` a (0, 0, −d), une charge −2q ` a (0, d, 0) et une charge −2q ` a (0, −d, 0).

Calculez le potentiel de cette distribution de charges ` a une distance tr` es grande (d R).

Exercice 4 Moment magn´ etique

• On consid` ere deux charges q

et q

tournant sur une mˆ eme orbite circulaire de rayon r autour du mˆ eme centre. Montrer que le moment magn´ etique du syst` eme d´ efini par :

m = 1 2

X

i

q

(x

× v

) est ´ equivalent ` a la d´ efinition usuelle :

m = J Sn

o` u J, S et n sont respectivement le courant total produit par les charges, la surface du cercle, et la normale au plan du cercle.

• On consid` ere une boucle de courant circulaire, de rayon R, travers´ ee par un courant I . Calculer le moment magn´ etique dipolaire. En d´ eduire le potentiel vecteur ` a des distances r R.

2