5 : Electron de Dirac dans un champ magn´ etique uniforme

DEA de Physique Quantique 21 janvier 2005 Th´ eorie des Champs

TD n

5 : Electron de Dirac dans un champ magn´ etique uniforme

On se propose de calculer les niveaux d’´ energie d’un ´ electron de Dirac plac´ e dans un champ magn´ etique uniforme et constant B. ~ e d´ esignera la charge de l’´ electron.

1. On consid` ere tout d’abord le cas plus g´ en´ eral d’un ´ electron de Dirac situ´ e dans un champ magn´ etique constant quelconque, de potentiel vecteur A(~ ~ x) donn´ e. On se place dans la repr´ e- sentation de Dirac. Soit un ´ etat stationnaire d’´ energie E, de fonction d’onde

ψ(t, x, y, z) = e

ϕ(x, y, z) χ(x, y, z)

.

o` u ϕ et χ sont des spineurs ` a deux composantes. Ecrire les ´ equations coupl´ ees satisfaites par ϕ et χ. En d´ eduire l’´ equation du second ordre satisfaite par ϕ.

2. On choisit la jauge de Landau A ~ = (0, Bx, 0). On supposera par la suite que eB > 0.

a) Calculer le champ magn´

etique associ´ e.

b) Montrer que

p

et p

sont alors des constantes du mouvement pour le hamiltonien de Dirac.

c) On cherche pour

ϕ une solution de la forme

ϕ(x, y, z) = e

f(x) ξ

, o` u ξ

d´ esigne un des spineurs : ξ

=

1 0

et ξ

=

0

1

. Etablir l’´ equation v´ erifi´ ee par f (x).

3. Niveaux de Landau. Montrer qu’on peut se ramener ` a une ´ equation du type ( 1

2 p

+ 1

2 ω

(x

x

)

)f (x) = εf(x),

qui est l’´ equation de Schr¨ odinger pour un oscillateur harmonique ` a une dimension. En d´ eduire les niveaux d’´ energie pour l’´ electron de Dirac.

4. Que repr´ esentent physiquement p

et p

? 5. D´ eg´ en´ erescences

Les ´ etats sont indic´ es par les nombres quantiques : n, p

, p

et σ.

a) Si

n, p

et σ sont fix´ es. On suppose que l’´ electron se d´ eplace dans un plan de surface L

L

dans les directions (Ox) et (Oy) et que la fonction d’onde satisfait des conditions aux limites p´ eriodiques dans la direction (Oy). D´ eduire la d´ eg´ en´ erescence en p

. Quelle en est l’origine physique ?

b) Si

n, p

et σ sont fix´ es.

c) Exprimer

E

m

p

. En d´ eduire l’existence d’une autre d´ eg´ en´ erescence. Quelle est son origine ?

6. On se propose de montrer que la d´ eg´ en´ erescence d’ordre 2 (discut´ ee au 5.c) qui apparaˆıt dans les niveaux de Landau est reli´ ee ` a une sym´ etrie du hamiltonien. Pour cela, on revient au hamiltonien de Dirac complet et on introduit les op´ erateurs Σ

et Σ

, d´ efinis par

Σ

= iβα

[α

p

+ α

(p

eBx)]

Σ

= iα

α

[α

p

+ βm]

1

a) V´

erifier que Σ

et Σ

:

•

sont hermitiques ;

•

commutent avec H, p

et p

;

•

anticommutent entre eux.

Calculer Σ

et v´ erifier que Σ

= H

Σ

.

b) On peut se placer dans le sous-espace propre commun `

a H, p

et p

. D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que les matrices τ

, τ

et τ

d´ efinies par τ

def

= Σ

/

Σ

, τ

def

= Σ

/

Σ

et τ

def

=

τ

sont des constantes du mouvement qui v´ erifient l’alg` ebre des matrices de Pauli. Quel est le groupe de sym´ etrie correspondant, et dans quelle repr´ esentation est-on ? Quelle d´ eg´ en´ erescence des niveaux r´ esulte de cette sym´ etrie ? Discuter le cas o` u E

= p

+ m

(pour cela on calculera Σ

dans le sous espace propre associ´ e ` a cette ´ energie).

Remarque

: La sym´ etrie dont il est question est li´ ee la structure supersym´ etrique du hamiltonien de Pauli (~ σ

(~ p

e ~ A))

= (~ p

e ~ A)

e~ σ

B ~ qui est apparu dans le calcul.

Rappel : spectre de l’oscillateur harmonique unidimensionnel.

Le spectre du hamiltonien de Schr¨ odinger H =

1

2 d

dx

+ 1

2 ω

x

est donn´ e par :







ϕ

(x) =

1/4

√

2ⁿn!

H

(

ω x) e

E

= ω(n +

)

o` u H

(x) est un polynˆ ome d’Hermite.

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