C. Dipˆ ole magn´ etique passif

1 – Exercices : 23 - Dipˆoles ´electriques et dipˆoles magn´etiques Sciences Physiques MP* 2021-2022

Exercices : 23 - Dipˆ oles ´ electriques et dipˆ oles magn´ etiques

A. Dipˆ ole ´ electrostatique

1. Dipˆole et spire charg´ee

Un dipˆole~pest plac´e au centreO d’une spire circulaire de rayonaportant la charge par unit´e de longueurλ, uniforme.~pest align´e sur l’axe de la spire (cf. figure 1).

bO z~p

Figure1 – Dipˆole et fil circulaire 1. Calculer le champ ´electrique sur l’axe du dipˆole.

2. En remarquant que le champ ´electrique n’est pas uniforme, calculer la r´esultante des efforts exerc´es sur le dipˆole rigide.

Correcteurs : GC03

2. Sph`ere dipolaire

Une sph`ere de centreO et de rayonR porte en un point quelconqueM de sa surface la densit´e surfacique de chargesσ(M) donn´ee parσ(M) =σ0cosθ, o`u (R, θ, ϕ) d´esignent les coordonn´ees sph´eriques deM d’axe (Oz).

1. Montrer que cette distribution de charges est dipolaire et calculer le moment dipolaire correspondant.

2. On admet que cette distribution cr´ee un champ ´electrique uniforme colin´eaire `a (Oz) `a l’int´erieur de la sph`ere. D´eterminer la valeur du champ int´erieur.

Correcteurs : GC07

3. Doublet de fils infinis

Deux fils rectilignes, de tr`es grande longueur, dispos´es dans le vide, parall`eles, distants dea, d’´equations cart´e- siennes respectives

x= a

2, y= 0 et

x=−a

2, y= 0

et de charges lin´eiques uniformes +λet−λ, sont dispos´es dans une certaine r´egion de l’espace.

1. D´eterminer le potentiel cr´e´e en tout point de l’espace par cette distribution de charge.

2. D´eterminer la forme des surfaces ´equipotentielles.

3. D´eterminer une expression approch´ee du potentiel puis du champ cr´e´es en un pointM du plan (Oxy), caract´eris´e par les coordonn´ees polaires (r, θ) tel quer≫a.

Comparer aux r´esultats analogues pour un dipˆole de moment dipolaire ´electriqueqa~ex. Commenter.

Correcteurs : GC14

B. Moments magn´ etiques

4. Disque charg´e en surface

Soit un disque isolant d’axe Oz et de rayona qui porte une charge superficielle σuniforme sur l’ensemble de la surface. Ce disque est mis en rotation uniforme `a la vitesse angulaire ω autour de l’axe Oz. D´eterminer l’expression du moment magn´etique et l’expression du champ magn´etique cr´e´e loin de la sph`ere en utilisant l’expression du cours donnant le champ magn´etique d’un dipˆole.

Correcteurs : GC12

JR Seigne Clemenceau Nantes

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5. Sph`ere charg´ee en volume

Soit une sph`ere d’axeOz et de rayonaqui porte une charge volumiqueρuniform´ement r´epartie. Cette sph`ere est mise en rotation uniforme `a la vitesse angulaireω autour de l’axeOz. D´eterminer l’expression du moment magn´etique et l’expression du champ magn´etique cr´e´e loin de la sph`ere en utilisant l’expression du cours donnant le champ magn´etique d’un dipˆole.

Correcteurs : GC02

C. Dipˆ ole magn´ etique passif

6. Force exerc´ee sur une spire

I

i b a

D Un fil rectiligne infini, parcouru par un courantI, est dispos´e dans le vide dans le

mˆeme plan qu’un rectangle de fil parcouru par un couranti. Les cˆot´es du rectangle parall`eles au fil sont de longueura et plac´es aux distancesD et D+b du fil ; les deux autres cˆot´es du rectangle sont de longueurb. On supposeraD ≫b. Voir la figure ci-contre.

D´eterminer la force de Laplace exerc´ee par le fil sur la spire en consid´erant cette derni`ere comme un dipˆole passif.

Correcteurs : GC10

7. Oscillations de translation d’un dipˆole magn´etique

Une spire circulaire de rayonR, de centreOet d’axex^′Ox, est parcourue par un courant d’intensit´eIconstante.

Sur son axe, `a l’abscissex, est plac´e un dipˆole magn´etique de momentM~ de direction quelconque et libre de se d´eplacer en rotation comme en translation. On rappelle le champ magn´etique cr´e´e par la spire sur son axe,

`a l’abscissex:

B~ =B0

R³

(R²+x²)^3/2~ex avec B0= µ0I 2R 1. Trouver la position d’´equilibre stable du dipˆole (en orientation et position).

2. Le dipˆole garde son orientation stable pr´ec´edente mais est l´eg`erement ´ecart´e sur l’axeOx de sa position d’´equilibre. Sachant que sa masse est m et que, suivant cet axe, il n’est soumis qu’`a la seule force magn´etique, donner la p´eriodeT de ses petites oscillations.

Correcteurs : GC13

8. Cadre plong´e dans un champ magn´etique

Un cadre rectangulaire ABCD ind´eformable peut pivoter autour d’un axe m´edian M N. La surface du cadre est S. Il est parcouru par un courantI dans le sensABCD. Il est plac´e dans un champ magn´etique uniforme B~0 plac´e dans un plan horizontal perpendiculaire `a M N. On noteJ le moment d’inertie du cadre par rapport

`a l’axeM N. Voir la figure 2. On donneAB=aetBC=b. La normale au cadre est repr´esent´ee en pointill´es.

b

M

N A

D

B

C

I θ _normale

B~0

Figure 2 – Cadre 1. D´eterminer l’´equation diff´erentielle du mouvement du cadre.

JR Seigne Clemenceau Nantes

3 – Exercices : 23 - Dipˆoles ´electriques et dipˆoles magn´etiques Sciences Physiques MP* 2021-2022

2. Quelles sont les positions d’´equilibre ?

3. `A quels endroits peut-on observer des oscillations de petites amplitudes dont on calculera la p´eriode ? Correcteurs : GC04

D. Dipˆ ole magn´ etique actif

9. Comparaison de deux mod`eles

Soit une spire circulaire de centreO et de rayonRparcourue par un courantI. SoientA etA^′ deux points de l’axe de la spire tels queOA=OA^′=a. SoitB~ le champ cr´e´e par la spire. Voir la figure 3.

bbb

z

O A^′

A

I C L

Figure3 – Spire et dipˆole

1. Une telle spire de courant de produit un champ magn´etique sur son axeOzcolin´eaire `a~ez. Justifier cette affirmation. Ce champ magn´etique est-il pair ou impair avecz?

2. On consid`ere un pointM situ´e sur l’axe de cotez. La spire est vue depuis ce pointM sous un angleα o`u cet angle est mesur´e entre l’axe et le bord de la spire. On donne la formule du champ magn´etique produit :

B~ =µ0I

2R sin³α ~ez

Rechercher l’endroit o`u le champ magn´etique est maximal. Tracer l’allure de l’´evolution deBz(z).

3. D´eterminer la circulation deB~ le long de−−→ AA^′.

4. En utilisant le th´eor`eme d’Amp`ere (le long du circuit ferm´eAA^′+C), en d´eduire la circulation de B~ le long du circuitC, demi-cercle de centreO et de rayona.

5. D´eterminer le moment magn´etiqueM~ de la spire, le champ cr´e´e par ce moment et la circulation de ce champ le long deC. Comparer au r´esultat de la question pr´ec´edente.

Correcteurs : GC08

10. Ligne bifilaire infinie

Soient deux fils infinis parall`eles distants deaet parcourus par des courants permanents identiquesI mais de sens contraire.

1. Montrer que le champ magn´etique produit par un seul fil parall`ele `a~ezest forc´ement de la forme : B~ =~ez∧−−→

grad f(r) o`uf(r) est une fonction `a pr´eciser.

2. D´eterminer le champ magn´etique en tout point `a grande distance des fils (distancer≫a).

3. Tracer les lignes de champ.

Correcteurs : GC06

JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP* 2021-2022 Exercices : 23 - Dipˆoles ´electriques et dipˆoles magn´etiques – 4

11. Oscillateur `a deux dipˆoles

Deux dipˆoles magn´etiques (cf. fig. 4) de mˆeme moment dipolairemconstant peuvent tourner librement autour de deux axes parall`eles, fixes, perpendiculaires `a la droiteAB qui les joint (AB=a).

a

b b

α1

α2

~

m1 m~2

Figure 4 – Oscillateur `a deux dipˆoles

1. ´Etablir l’expression de l’´energie potentielle d’interaction entre ces deux dipˆoles, en fonction des anglesα1

etα2faits par les deux moments dipolaires avec la droiteAB. On poseraW0= µ0

4π m²

a³. 2. D´eterminer les ´etats d’´equilibre du syst`eme. ´Etudier leur stabilit´e.

3. On appelle J le moment d’inertie d’un de ces dipˆoles par rapport `a son axe de rotation. D´eterminer la pulsation des petites oscillations autour de l’´equilibre d’un dipˆole lorsque l’orientation de l’autre est bloqu´ee.

JR Seigne Clemenceau Nantes