PartielM´ecanique Quantique, Master PSPI (/20) 19/12/2011. Documents autoris´es : notes de cours et de TD
Excercice 1 : Repr´esentation r´eelle des matrices de Pauli, Spin~/2 12 points On donne les matricesΣx,Σy,ΣzetId´efinies par
Σx =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
, Σy =
0 0 0 1
0 0 −1 0 0 −1 0 0
1 0 0 0
,
Σz =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
, I=
0 0 −1 0 0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0
.
1. Montrer queI2 =−1, o `u1est la matrice d’unit´e en 4 dimensions, et que Σx,Σy,Σzv´erifient l’alg`ebre des matrices de Pauli,
Σ2k =1 (k=x, y, z),
Σx·Σy =−Σy·Σx=I·Σz (cycl.)
2. Pourquoi peut-on dire que l’ensemble des valeurs et vecteurs propres des matricesΣkest r´eel ?
3. Utilisant les matrices d´efinies ci-dessus, construire l’hamiltonien d’un spin d’amplitude~/2dans un champ magn´etique qui pointe en
direction de l’axezd’un rep`ere euclidien fixe. Quelles sont les ´energies possibles du syst`eme ?
4. Construire la forme la plus g´en´erale (r´eelle) des spineurs correspondant, respectivement, `a une polarisation parall`ele et antiparall`ele au champ magn´etique. Calculer pour ces spineurs les valeurs moyenneshSki(k=x, y, z) du spin.
Excercice 2 : Espace de Hilbert 8 points
On consid`ere la base orthonorm´eeA≡ {|z+i,|z−i}des ´etats de polarisation d’un spin d’amplitude~/2correspondant, respectivement, `a une polarisation parall`ele et antiparall`ele en direction de l’axezd’un rep`ere euclidien.
1. Montrer que la baseB ≡ {|y+i,|y−i}, d´efinie par
|y+i=− i
√
2|z+i+ 1
√
2|z−i, |y−i= i
√
2|z+i+ 1
√ 2|z−i, est ´egalement orthonorm´ee.
2. Construire la matriceUqui transforme les coordonn´ees d’un ´etat|χi dans la baseAvers les coordonn´ees du mˆeme ´etat dans la baseB.
Montrer queUest unitaire.
