Notes de Cours PS 21 Cin´ematique du point

Notes de Cours PS 21

Cin´ ematique du point

La cin´ematique du point est l’´etude du mouvement d’un point mat´eriel ind´ependamment des causes de ce mouvement. En pratique l’approximation du point mat´eriel peut ˆetre utilis´ee dans 2 cas tr`es importants : (i) si les dimensions du corps mat´eriel sont tr`es petites devant la distance parcourue (Terre autour su Soleil) et (ii) on peut parfois associer le point mat´eriel au centre d’inertie (trajectoire d’un ballon).

I. Description du mouvement

R´ ef´ erentiel : Un r´ef´erentiel d’espace est un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres qui occupent l’ensemble de l’espace. On peut ´egalement le voir comme un solide ind´eformable avec ou sans r´ealit´e physique. En m´ecanique classique, le temps est consid´er´e comme absolu, c’est ` a dire identique dans tous les r´ef´erentiels.

Pour d´ecrire le mouvement d’un point, il faut un r´ ef´ erentiel R et un rep` ere, c’est ` a dire un point O et une base vectorielle de l’espace. Le rep`ere le plus classique est le rep`ere cart´esien (O, ~e

_x

, ~e

_y

, ~e

_z

).

Vecteur position : Etant donn´e un r´ef´erentiel R et un rep`ere, la position du point mat´eriel M ` a un instant t est donn´e par le vecteur position :

~r(M, t) = −−→

OM (t).

(Quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~r(t) ou bien ~r). En coordonn´ees cart´esiennes, on a

~r(t) = x(t)~e

_x

+ y(t)~e

_y

+ z(t)~e

_z

.

Les composantes x(t), y(t) et z(t) du point M sont des fonctions du temps et constituent les

´

equations horaires du mouvement. Lorsque cela est possible, l’´ equation de la trajectoire s’ob- tient en ´eliminant le temps t entre les diff´erentes ´euations horaires.

Vecteur vitesse : on d´efinit le vecteur vitesse instantan´ee par

~v(M, t) = lim

δt→0

~r(t + δt) − ~r(t)

δt = d~r

dt = d −−→

OM dt .

(de mˆeme, quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~v(t) ou bien ~v). Le vecteur vitesse est ainsi tangent ` a la trajectoire et on note en g´en´eral v = ||~v|| la vitesse du point M . En coordonn´ees cart´esiennes, on a

~v(t) = ˙ x(t)~e

_x

+ ˙ y(t)~e

_y

+ ˙ z(t)~e

_z

. Vecteur acc´ el´ eration : on d´efinit le vecteur acc´el´eration par

~a(M, t) = d

²

~r

dt

²

= d

²

−−→

OM dt

²

.

(ici encore, on peut utiliser simplement ~a(t) ou bien ~a). En coordonn´ees cart´esiennes, on a

~a(t) = ¨ x(t)~e

_x

+ ¨ y(t)~e

_y

+ ¨ z(t)~e

_z

.

Remarque : on peut avoir une vitesse ||~v|| constante (mouvement uniforme) et une acc´el´eration

non nulle. Prenons par exemple le mouvement circulaire dans le plan Oxy : x(t) = a cos(ωt),

y(t) = a sin(ωt) et z(t) = 0. Le point tourne ` a la vitesse angulaire ω (en rad/s) sur un cercle de rayon a. On trouve ||~v|| = aω et ~a = −ω

²

~r . L’acc´el´eration est donc de norme ´egale ` a v

²

/a et orient´ee vers le centre du cercle.

Abscisse curviligne : On d´efinit l’abscise curviligne, la fonction du temps s(t) qui v´erifie : δs = s(t − δt) − s(t) o` u δt est un intervalle de temps et δs repr´esente la longueur de la trajectoire d´ecrite par le point M entre les instants t et t + δt. En faisant tendre δt vers 0, on trouve que la d´eriv´ee de s par rapport au temps est donn´ee par la vitesse :

˙ s = ds

dt = v.

Par cons´equent :

s(t) − s(t

0

) = Z

t

t0

v(t

^′

) dt

^′

= Z

t

t0

p x ˙

²

+ ˙ y

²

+ ˙ z

²

dt

^′

,

o` u t

0

est un instant initial quelconque (souvent on prend t

0

= 0).

Base de Frenet : Il est utile d’introduire le vecteur unitaire ~e

_t

et tangent ` a la trajectoire dirig´e dans le mˆeme sens que le vecteur vitesse. Ainsi, on peut ´ecrire

~v = v~e

_t

= ˙ s~e

_t

.

Note : on peut voir ce vecteur comme une fonction de l’abscisse curviligne, ~e

_t

= ~e

_t

(s(t)). En calculant l’acc´el´eration on trouve :

~a = d(v~e

_t

)

dt = ˙ v~e

_t

+ v d~e

_t

dt = ˙ v~e

_t

+ v

²

d~e

_t

ds .

Comme ~e

_t

est unitaire sa d´eriv´ee est forc´ement perpendiculaire ` a ~e

_t

. On montre que d~e

_t

/ds est contenu dans le plan osculateur et dirig´e vers le centre de courbure. On introduit ainsi la normale unitaire ` a la trajectoire ~e

n

de telle sorte que :

d~e

_t

ds = ~e

_n

R , o` u R est le rayon de courbure. En r´esum´e :

~a = ˙ v~e

_t

+ v

²

R ~e

_n

.

On note a

_T

= ˙ v la composante tangentielle et a

_N

= v

²

/R la composante normale de l’acc´el´eration.

En pratique, ` a partir de ~v et ~a, on peut calculer a

_T

= ˙ v = ~a · ~e

_t

(car ~e

_t

et ~e

_n

sont orthogonaux), puis a

_N

= q

||~a||

²

− a

²_T

. La base de Frenet peut ˆetre compl´et´ee par le vecteur binormal ~e

_b

= ~e

_t

∧ ~e

_n

et on montre que d~e

n

/ds = −~e

t

/R − τ~e

_b

o` u τ est la torsion.

~e

_x

~e

_y

~e

_z

M

~r = −−→

OM

~e

_t

~e

_n

Trajectoire

O

Figure 1 – Trajectoire du point M et base de Frenet.

II. Description dans le syst` eme de cordonn´ ees cylindro-polaires

Coordonn´ ees cylindro-polaires (ou cylindriques)

Etant donn´e un point M de composantes x, y et z dans le rep`ere cart´esien. On introduit r = p x

²

+ y

²

la distance du point ` a l’axe Oz et θ = arctan(y/x) (voir Figure 2). On d´efinit le vecteur radial unitaire ~e

_r

= cos θ~e

_x

+ sin θ~e

_y

et le vecteur orthoradial unitaire ~e

_θ

= − sin θ~e

_x

+ cos θ~e

_y

. On peut alors poser :

~r = −−→

OM = x~e

_x

+ y~e

_y

+ z~e

_z

= r~e

_r

+ z~e

_z

.

Pour calculer la vitesse et l’acc´el´eration en coordonn´ees cylindriques, il faut r´ealiser que les vecteurs

~e

_r

et ~e

_θ

d´ ependent de la position angulaire du point et sont donc des fonctions du temps et d~e

_r

dt = ˙ θ~e

_θ

et d~e

_θ

dt = − θ~e ˙

_r

. Ainsi, apr`es calcul, on trouve que :

~v = d~r

dt = ˙ r~e

r

+ r θ~e ˙

_θ

+ ˙ z~e

z

. De la mˆeme fa¸con,

~a = d~v

dt = (¨ r − r θ ˙

²

)~e

_r

+ (r θ ¨ + 2 ˙ r θ)~e ˙

_θ

+ ¨ z~e

_z

.

III. Composition des vitesses - Changement de r´ ef´ erentiel

On consid`ere deux r´ef´erentiels R et R

^′

dot´es des rep`eres respectifs (O, ~e

_x

, ~e

_y

, ~e

_z

) et (O

^′

, ~e

_x′

, ~e

_y′

, ~e

_z′

).

Consid´erons la trajectoire d’un point M dans l’espace. Sa position dans le rep`ere R s’´ecrit :

−−→ OM = x~e

_x

+ y~e

_y

+ z~e

_z

.

et dans R

^′

: −−−→

O

^′

M = x

^′

~e

_x^′

+ y

^′

~e

_y^′

+ z

^′

~e

_z^′

.

Pour calculer la vitesse du point M , il faut pr´ eciser dans quel r´ ef´ erentiel on se place. Ainsi, la vitesse dans R s’´ecrit

~v

_/R

= d −−→

OM dt

R

= ˙ x~e

x

+ ˙ y~e

y

+ ˙ z~e

z

. Dans R

^′

, la vitesse s’´ecrit

~v

_/R′

= d − −−→

O

^′

M dt

R′

= ˙ x

^′

~e

_x′

+ ˙ y

^′

~e

_y′

+ ˙ z

^′

~e

_z′

. Loi de composition des vitesses

Pour simplifier la pr´esentation, on peut interpr`eter le r´ef´erentiel R comme fixe et R

^′

en mouvement par rapport ` a R. Ainsi, on note simplement ~v

_a

= ~v

_/R

(a pour vitesse absolue) et ~v

_r

= ~v

_/R′

(r pour vitesse relative). La loi de composition des vitesses consiste ` a ´ecrire la relation entre ~v

a

et ~v

r

. Pour cela on utilise la relation de Chasles : −−→

OM = −−→

OO

^′

+ −−−→

O

^′

M et on doit consid´erer l’origine O

^′

et les vecteurs ~e

_x′

, ~e

_y′

et ~e

_z′

comme d´ ependant du temps. Au cours du mouvement de R

^′

, les vecteurs unitaires ~e

_x′

, ~e

_y′

et ~e

_z′

sont en rotation autour d’un axe (celui-ci peut aussi varier avec le temps).

On montre que d~e

_x′

dt

R

= − →

Ω

e

∧ ~e

_x^′

, d~e

_y′

dt

R

= − →

Ω

e

∧ ~e

_y^′

, d~e

_z′

dt

R

= − → Ω

e

∧ ~e

_z^′

. On trouve ainsi,

~v

_a

= d −−→

OO

^′

dt

R

+ d −−−→

O

^′

M dt

R

= d −−→

OO

^′

dt

R

+ − →

Ω

_e

∧ −−−→

O

^′

M + d − −−→

O

^′

M dt

R′

En r´esum´e :

~v

_a

= ~v

_e

+ ~v

_r

o` u ~v

_e

= d −−→

OO

^′

dt

R

+ − →

Ω

_e

∧ −−−→

O

^′

M .

La vitesse ~v

_e

est appel´ee vitesse d’entraˆınement compos´ee d’une translation (vitesse de O

^′

) et d’une rotation (vecteur rotation − →

Ω

_e

).

Vecteur rotation dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz

Dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz, il suffit de projeter les vecteurs de la base tournante

~e

_x′

et ~e

_y′

dans le rep`ere fixe ~e

_x

et ~e

_y

. On a (voir Figure 3) :

~e

_x^′

= cos φ ~e

_x

+ sin φ ~e

_y

~e

_y′

= − sin φ ~e

_x

+ cos φ ~e

_y

Apr`es d´erivation on trouve,

d~e

_x′

dt

R

= ˙ φ~e

_y^′

= ˙ φ~e

z

∧ ~e

_x^′

et d~e

_y′

dt

R

= − φ~e ˙

_x^′

= ˙ φ~e

z

∧ ~e

_y^′

.

~e

_x

~e

_y

~e

^x′

~e

^y′

M

φ(t) O

^′

O

Figure 2 – Cas d’une translation dans le plan Oxy et d’une rotation autour de l’axe Oz.

Dans ce cas, on trouve que

−

→ Ω

_e

= ˙ φ~e

_z

.

Ainsi, le vecteur rotation est le produit de la vitesse de rotation φ ˙ par le vecteur unitaire de l’axe de rotation Oz.

Loi de composition des vitesses entre deux points d’un solide rigide

Ceci est une cons´equence importante de la loi de composition des vitesses. En effet, on peut “voir” le r´ef´erentiel R

^′

comme un solide rigide en translation et en rotation dans R

^′

. Prenons deux points du solide M et M

^′

(c’est ` a dire deux points fixes dans R

^′

). Leur vitesse relative est donc nulle. Ainsi, la loi de composition pour chacun des points s’´ecrit :

~v

_a

(M) = d −−→

OO

^′

dt

R

+ − →

Ω

_e

∧ −−− →

O

^′

M et ~v

_a

(M

^′

) = d −−→

OO

^′

dt

R

+ − →

Ω

_e

∧ −−−→

O

^′

M

^′

. Par cons´equent :

~v

_a

(M ) = ~v

_a

(M

^′

) + − →

Ω

_e

∧ −−−→

M

^′

M .

Ainsi, si on connaˆıt la vitesse en un seul point du solide, on peut calculer sa vitesse en tout point.

Lorsqu’il existe un point (apppelons-le I) dont la vitesse est nulle (roulement sans glissement par exemple, Fig. 4), alors on a simplement : ~v

_a

(M) = − →

Ω

_e

∧ −−→

IM . M

I

Figure 3 – Cylindre roulant sans glisser.

IV. El´ ements de cin´ etique

Notion de masse

La masse d’un corps est une grandeur scalaire, positive et conservative qui ne d´epend ni de l’´etat du syst`eme, ni du r´ef´erentiel. Elle caract´erise la quantit´e de mati`ere d’un syst`eme [unit´e : kg].

Syst` eme discret : N corps assimilables ` a des points mat´eriels. La masse totale m syst`eme, s’obtient en sommant :

m =

N

X

j=1

m

_j

. On peut d´efinir le centre d’inertie (ou de masse) G tel que :

m −−→

OG =

N

X

j=1

m

j

−−−→ OM

j

.

M

1

M

M

2

M

3

M

⁴

~r O

O

Figure 4 – Syst`eme discret (gauche) et continu (droite).

Syst` eme continu : On d´ecompose le syst`eme en petits ´el´ements de volume δV (~r) (le vecteur ~r est l` a pour sp´ecifier la position de l’´el´ement de volume) et de masse δm(~r). Lorsqu’on fait tendre l’´el´ement de volume vers 0, on d´efinit la masse volumique :

ρ(~r) = lim

δV→0

δm(~r) δV (~r) La masse totale vaut

m = Z Z Z

syst`eme dm = Z Z Z

volume ρ(~r)dV.

Le centre d’inertie se calcule ` a partir de : m −−→

OG = Z Z Z

syst`eme

−−→ OMdm = Z Z Z

volume ρ(~r) −−→

OM dV.

Quantit´ e de mouvement

La quantit´e de mouvement est le produit de la masse par le vecteur vitesse d’un corps suppos´e ponctuel. Il s’agit d’une grandeur vectorielle, d´efinie par

~

p = m~v, [unit´e :kg.m.s

⁻¹

].

Notons que ~ p d´epend du r´ef´erentiel d’´etude. Par addidivit´e, il est possible de d´efinir la quantit´e de mouvement d’un syst`eme mat´eriel. Dans le cas d’un syst`eme discret on a :

~ p =

N

X

j=1

m

_j

~v

_j

.

En utilisant, la d´efinition du centre de d’inertie G d’un syst`eme, on trouve simplement :

~

p = m~v

_G

,

o` u ~v

G

est la vitesse du point G. La relation reste vraie pour un syst`eme continu.

Moment cin´ etique

Le moment cin´etique d’un point mat´eriel M est le moment de la quantit´e de mouvement ~p par rapport ` a un point O. On note

L ~

_O

= −−→

OM ∧ ~ p, [unit´e :kg.m

²

.s

⁻¹

].

On peut ´etendre la d´efinition dans le cas d’un syst`eme discret ou continu.

Notes de Cours PS 21

Dynamique

La dynamique est une discipline de la m´ecanique classique qui ´etudie les corps en mouvement sous l’influence des actions m´ecaniques qui leur sont appliqu´ees. Elle combine la statique qui ´etudie l’´equilibre des corps au repos, et la cin´ematique qui ´etudie le mouvement.

I. Notion de force

Action de l’ext´erieur sur le syst`eme conduisant ` a une modification de l’´etat de repos (ex : d´eformation d’un solide) ou du mouvement d’un syst`eme. La force est une grandeur vectorielle caract´eris´ee par :

1. la direction : orientation de la force, 2. le sens : vers o` u la force agit,

3. la norme : grandeur de la force [unit´e : N],

4. le point d’application : endroit o` u la force s’exerce.

On peut classer les forces selon la r´epartition de leur mode d’application (action sur un point, sur une surface, sur un volume) et selon la port´ee de leur action :

1. force de contact (r´eaction, frottement,...)

2. force agissant ` a distance (gravitation, ´electromagn´etique,...).

Illustration de diff´ erents types de forces

1. P ~ : poids [` a distance]

2. R ~ : r´ eaction du sol [de contact]

3. F ~

_k

: force de rappel du ressort [de contact]

4. T ~ : tension du cˆ able [de contact]

5. F ~

_a

: force magn´ etique de l’aimant [` a distance]

ressort

cable aimant

sol

T ~

F ~

_a

P ~ P ~

P ~

P ~

F ~

_k

R ~

Figure 1 – Illustration de diff´erents types de forces. A l’´ equilibre, ces forces sont de mˆeme amplitude

car :k Rk ~ = k F ~

_k

k = k T ~ k = k F ~

_a

k = k P ~ k.

II. Principes de Newton

Les lois du mouvement de Newton sont des principes ` a la base de la th´eorie de Newton concernant le mouvement des corps, th´eorie que l’on nomme m´ ecanique classique.

Premi` ere loi de Newton ou principe d’inertie

L’´enonc´e original est le suivant :

Tout corps pers´ ev` ere dans l’´ etat de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, ` a moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne ` a changer d’´ etat.

En fait cette loi n’est valable que dans un r´ ef´ erentiel galil´ een (*). Dans un langage plus moderne : Dans un r´ef´erentiel galil´een, le vecteur vitesse du centre d’inertie ~v

_G

d’un syst`eme est constant si et seulement si la somme des vecteurs forces, not´ees F ~

_i,ext

qui s’exercent sur le syst`eme est un vecteur nul.

Math´ematiquement, cela se traduit par :

d p ~

dt = 0 si et seulement si X

i

F ~

_i,ext

= 0

On peut noter que cela est vrai pour 1 corps isol´e (ponctuel ou non) ou un syst`eme de N corps isol´e, c’est ` a dire soumis ` a aucun effort externe.

1 corps N corps

G G

~v

_G

~v

_G

~v

1

~v

2

~v

3

Figure 2 – La quantit´e de mouvement d’un syst`eme isol´e se conserve : ~ p = cte. Notons que le centre d’inertie G d’un syst`eme n’est pas obligatoirement associ´e ` a un point mat´eriel du corps.

(*) R´ ef´ erentiel galil´ een

Un r´ef´erentiel est galil´een si et seulement si il est en translation uniforme par rapport ` a un autre

r´ef´erentiel galil´een. Mais alors comment choisir un r´ef´erentiel galil´een de r´ef´erence ? Le meilleur

exemple est le r´ef´erentiel de Copernic d´efini ` a partir du centre d’inertie du syst`eme solaire.

Deuxi` eme loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique en translation

Dans un r´ef´erentiel galil´een, la force r´ esultante F ~ exerc´ee sur un syst`eme de masse m (constante au cours du temps) est ´egale au produit de la masse par l’acc´el´eration du centre d’inertie G du syst`eme.

Math´ematiquement, cela se traduit par :

m~a

_G

= d ~ p

d t = F ~ = X

i

F ~

_i,ext

Troisi` eme loi de Newton ou principe des actions mutuelles

Tout corps A exer¸cant une force sur un corps B subit une force d’intensit´e ´egale, de mˆeme direction, mais de sens oppos´e, exerc´ee par le corps B.

Math´ematiquement, cela se traduit par :

F ~

_A/B

= − F ~

_B/A

Ces forces ont la mˆeme droite d’action, des sens oppos´es et la mˆeme norme. Ces deux forces sont toujours directement oppos´ees, que A et B soient immobiles ou en mouvement.

III. Principe fondamental de la dynamique en rotation

Dans le cas d’un point mat´eriel M , on rappelle que le moment cin´etique par rapport ` a un point O fixe est L ~

_O

= −−→

OM ∧ ~ p, ainsi en d´erivant par rapport au temps, il vient :

d ~ L

_O

d t = d −−→

OM d t

| {z }

=~v

∧~ p + −−→

OM ∧ d ~ p

d t = −−→

OM ∧ F ~

En fait, cette relation est ´equivalente ` a la deuxi`eme loi de Newton dans le cas d’un point mat´eriel.

Elle est n´eanmoins pratique pour ´etudier les mouvements associ´es aux forces centrales. Le principe s’´etend dans le cas d’un syst`eme (continu ou discret) mais dans ce cas, il faut bien identifier le point d’application A

_i

de chaque force F ~

_i,ext

s’exer¸cant sur le syst`eme :

d L ~

_O

dt = X

i

−−→ OA

_i

∧ F ~

_i,ext

IV. Principe fondamental de la statique dans le cas d’un solide

C’est une cons´equence directe des principes fondamentaux de la dynamique (en translation et rota- tion). Le cas statique se traduit par une vitesse ~v

_G

et un moment d’inertie L ~

_O

constant. Ainsi, la somme des efforts externes est n´ecessairement nulle :

X

i

F ~

_i,ext

= 0

de mˆeme pour la somme des moments en un point O fixe : X

i

−−→ OA

_i

∧ F ~

_i,ext

= 0

Illustration : Equilibre d’un drapeau

Un drapeau de masse m est maintenu par un cˆ able horizontal. Le pied du drapeau ´etant en appui sur un mur, on veut calculer la tension T ~ du cˆ able ainsi que la r´ eaction R ~ du mur en fonction de la position angulaire α. Le centre d’inertie G du drapeau est suppos´e au milieu de la tige de longueur L. Par cons´equent, le poids P ~ = m~g du drapeau s’applique en G. Les autres points d’application sont A et O. Enfin, T ~ est de mˆeme direction que le cˆ able alors que la direction de R ~ est quelconque.

La somme des moments calcul´es par rapport au point O donne :

−→ OA ∧ T ~ + −−→

OG ∧ P ~ = 0

Apr`es calcul, on trouve que

k T ~ k = mg 2 tan α

Enfin, pour obtenir la r´eaction, il suffit d’´ecrire que la somme des forces est nulle, ce qui donne R ~ = − T ~ − P ~

On peut noter que dans cet exercice, les forces ne d´ependent pas de la longueur du drapeau !

G T ~

P ~ R ~

L

O

A

Figure 3 – Equilibre d’un drapeau.

Notes de Cours PS 21

Forces I. Forces ` a distance

I. 1 Attraction gravitationnelle

Deux corps ponctuels de masses respectives m

_A

et m

_B

s’attirent avec des forces de mˆemes valeurs (mais vectoriellement oppos´ees), proportionnelles ` a chacune des masses, et inversement proportion- nelle au carr´e de la distance qui les s´epare. Cette force a pour direction la droite passant par A et B. La force exerc´ee par A sur B s’´ecrit

F ~

_A/B

= −G m

_A

m

_B

r

²

~u

_r

o` u ~r = −− →

AB et ~u

_r

est le vecteur unitaire de A vers B : ~u

_r

= ~r/r o` u r = k~rk. La constante gravitationnelle vaut G = 6, 6742 × 10

⁻¹¹

N.m

²

.kg

⁻²

. On peut g´en´eraliser pour un syst`eme S de masses ponctuelles m

i

, i = 1, 2, 3 . . . et la force exerc´ee par le syst`eme sur un corps ponctuel A vaut alors

F ~

_S/A

= − X

i

G m

_A

m

_i

r

²_i

~u

_ri

= m

_A

~g o` u ~g = − X

i

G m

_i

r

_i²

~u

_ri

est le champ de gravit´ e au point A. Si le syst`eme de masse m est une sph`ere homog`ene (densit´e volumique constante) de centre O, alors la force exerc´ee sur A a pour direction la droite passant par O et A et

F ~

_S/A

= m

A

~g o` u ~g = −G m r

²

~u

r

o` u ~r = −→

OA et ~u

_r

est le vecteur unitaire de O vers A. Par exemple, ` a la surface de la Terre : k~gk = 9, 81m.s

⁻²

.

m

¹

m

2

m

3

m

4

~r

1

~r

2

~r

3

~r

4

~r O

A

A

Figure 1 – Champ de gravit´e en A dˆ u ` a un syst`eme de masses ponctuelles (` a gauche) et une sph`ere

homog`ene de centre O (` a droite).

I. 2 Force ´ electromagn´ etique Force ´ electrostatique de Coulomb

Toute charge q

_A

au point A exerce sur une charge q

_B

au point B immobile une force, appel´ee force de Coulomb de la forme :

F ~

_A/B

= 1 4πε

0

q

_A

q

_B

r

²

~u

_r

o` u ε

0

= 8, 854 × 10

⁻¹²

F.m

⁻¹

est la permittivit´e ´electrique dans le vide.

Ainsi la force est attractive si q

_A

q

_B

< 0 et r´epulsive si q

_A

q

_B

> 0. On peut g´en´eraliser pour un syst`eme S de charges ponctuelles q

_i

, i = 1, 2, 3 . . . et la force exerc´ee par le syst`eme sur A vaut alors

F ~

_S/A

= X

i

1 4πε

0

q

_A

q

_i

r

_i²

~u

_ri

= q

_A

E ~ o` u E ~ = 1 4πε

0

X

i

q

_i

r

_i²

~u

_ri

est le champ ´ electrique au point A cr´ee par l’ensemble des charges q

_i

.

Figure 2 – Lignes de champ d’un dipˆ ole ´electrique (` a gauche) et produites par deux charges positives

2q et q (` a droite).

Force magn´ etique

Force s’exer¸cant sur une particule charg´ee q anim´ee d’une vitesse ~v en pr´esence d’un champ magn´etique B ~ (en Tesla) :

F ~ = q~v ∧ B ~

Cons´ equence : la force magn´etique est toujours perpendiculaire ` a la vitesse et au champ magn´etique.

Figure 3 – Action de la force magn´etique sur une particule anim´ee d’une vitesse initiale horizontale.

Force de Lorentz

Force s’exer¸cant sur une particule charg´ee q anim´ee d’une vitesse ~v en pr´esence d’un champ ´electromagn´etique ( E, ~ ~ B) :

F ~ = q( E ~ + ~v ∧ B) ~

I. 3 Int´ eraction nucl´ eaire

L’interaction forte est responsable de la coh´esion du noyau. Sans elle, les forces de r´epulsions

´electromagn´etiques entre protons feraient ´eclater le noyau. La port´ee de l’interaction forte est d’en- viron 10

⁻¹⁵

m, c’est-` a-dire la taille d’un noyau atomique. C’est cent fois plus que l’interaction faible, mais n´egligeable devant les port´ees infinies de la gravitation et de l’interaction ´electromagn´etique.

L’interaction forte est la plus forte des interactions fondamentales. Sa constante de couplage est environ cent fois plus grande que celle de l’interaction ´electromagn´etique, un million de fois plus que celle de l’interaction faible, et 10

³⁹

fois plus que celle de la gravitation.

L’interaction faible est responsable de la d´esint´egration radioactive de particules subatomiques et

est ` a l’origine de la fusion nucl´eaire dans les ´etoiles. Cette force fondamentale est la plus faible des

interactions non gravitationnelles. Aux ´energies habituellement consid´er´ees en physique nucl´eaire, on

la mod´elise par une interaction effective simplifi´ee (force de Fermi) dont la constante de couplage est

environ 10 000 fois moindre que celle de l’interaction ´electromagn´etique et 1 000 000 fois moindre que

celle de l’interaction nucl´eaire forte. Cela s’explique entre autres par le fait que son champ d’action

est tr`es limit´e.

II. Forces de contact

II. 1 Contact entre solide : force de frottement sec

Le frottement repr´esente l’action d’une surface rigide sur un solide, action qui s’oppose au mouvement du solide par rapport ` a la surface. La force exerc´ee par la surface sur le solide est la somme de la r´eaction normale N ~ et la force de frottement f ~ :

R ~ = N ~ + f ~

N ~ R ~

f ~

~v

Figure 4 – Force de frottement.

L’exp´erience montre qu’il faut distinguer deux cas : le cas statique ~v = 0 et le cas dynamique ~v 6= 0.

Force de frottement dynamique

La loi de Coulomb dynamique des frottements (d´eduite des observations) s’´ecrit : f ~ = −µ

_d

k N ~ k ~v

k~vk

o` u ~v d´esigne la vitesse relative du point de contact du solide par rapport ` a la surface et µ

_d

est le coefficient de frottement dynamique qui d´epend de la temp´erature et l’´etat de surface de contact et de la nature des surfaces.

Force de frottement statique

Si on exerce sur un corps immobile une force F ~

ext

d’intensit´e croissante, l’exp´erience montre que tant que k F ~

_ext

k ≤ f

^max

(force d’arrachement), le corps reste immobile. Dans ce cas, on observe que

k fk ≤ ~ µ

_s

k N ~ k = f

^max

o` u µ

_s

est le coefficient de frottement statique qui d´epend de la nature et de l’´etat des surfaces en contact. En g´en´eral µ

_s

≥ µ

_d

.

Condition de contact et d´ ecollement

On peut toujours ´ecrire l’effort normal : N ~ = N~n o` u ~n est le vecteur unitaire normal ` a la paroi

orient´e vesr le corps et N ≥ 0. La condition de d´ ecollement est donn´ee par N = 0. En pratique,

on cherche, sous l’hypoth`ese qu’il y a contact, ` a quelle condition N < 0, ce qui est physiquement

inacceptable et siginifie que l’hypoth`ese n’est plus valable.

II. 2 Contact entre solide et fluide

Force de pression

Les mol´ecules constituant un fluide (gaz ou liquide) sont en perp´etuel mouvement. Les particules bougent sans cesse, dans toutes les directions et au gr´e des chocs. La pression p est la force moyenne par unit´e de surface due aux particules venant frapper une paroi.

Ainsi un solide ou une surface δS en contact avec un fluide subit une force dirig´ee selon la normale ~n ` a la surface :

δ ~ F

p

= p δS~n

Il faut noter que la pression peut ne pas ˆetre constante dans le fluide et d´epend du point M ou elle s’applique, on note p = p(M ). Dans le cas d’une surface plane S soumise ` a une pression constante alors on a simplement F ~

_p

= p S~n. La pression se mesure en Pascal (Pa) et 1 Pa = 10

⁻⁵

bar = 1 N.m

⁻²

.

Bouteille de gaz : Une bouteille de volume V est remplie d’un gaz maintenu ` a la temp´erature T (en Kelvin (K)). La pression ` a l’int´erieur de la bouteille est constante et v´erifie l’´equation des gaz parfaits :

pV = nRT

o` u R = 8, 3144621J.K

⁻¹

.mol

⁻¹

et n est la quantit´e de mati`ere (en mole).

Barrage hydraulique : A la profondeur h par rapport ` a la surface libre, la pression de l’eau dans le barrage v´erifie la relation fondamentale de la statique :

p(h) = p

0

+ ρ

_e

gh

o` u p

0

est la pression atmosph´erique (environ 1 bar) et ρ

_e

est la masse volumique de l’eau (ρ

_e

≈ 1000kg.m

⁻³

). La force r´esultante sur l’ensemble du barrage est donn´ee par l’int´egrale de surface

F ~

p

= Z

barrage

p(h)~n dS

Pouss´ ee d’Archim` ede :

Tout corps plong´e dans un fluide au repos, enti`erement mouill´e par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirig´ee de bas en haut et oppos´ee au poids du volume de fluide d´eplac´e ; cette force est appel´ee pouss´ee d’Archim`ede. Le point d’application de cette force est le centre ce masse du fluide d´eplac´e.

bouteille de gaz sous pression

barrage hydraulique poussée d’Archimède

Figure 5 – Illustrations.

Frottement fluide et force de traˆın´ ee

Un frottement fluide est une force de frottement qui s’exerce sur un objet qui se d´eplace dans un fluide ; elle d´epend de la vitesse relative ~v de l’objet et du fluide. L’exemple typique est celui d’une bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus la force de frottement fluide qui s’exerce sur elle est importante, jusqu’` a ce que soit atteint un r´egime d’´equilibre o` u la force de frottement compense exactement la force de gravitation : la vitesse de la bille devient alors constante.

Loi lin´ eaire pour les faibles vitesses : Dans ce cas, l’´ecoulement est dit rampant et la force de traˆın´ee F ~ est due uniquement aux ph´enom`ene visqueux, on a

F ~ = −kµ~v

o` u k est un coefficient d´ependant de la forme de l’objet et µ la viscosit´e dynamique du fluide.

Loi quadratique pour les fortes vitesses : Dans ce cas la force de traˆın´ee est en grande partie due

`

a la diff´erence de pression entre l’avant et l’arri`ere de l’objet, on a F ~ = − 1

2 C

_x

ρS k~vk~v

o` u C

_x

est le coefficient de traˆın´ee d´ependant de la forme de l’objet, ρ la masse volumique du fluide et S est l’aire de projection de l’objet sur un plan perpendiculaire `a la vitesse.

Figure 6 – Ecoulement d’air autour d’un objet : ` a gauche l’´ecoulement est rampant et la force de traˆın´ee suit une loi lin´eaire ; ` a droite l’´ecoulement est turbulent ` a l’arri`ere de l’objet et la force de traˆın´ee suit une loi quadratique.

Objet C

_x

disque 1,32

sph`ere 0,45

demi-sph`ere + cˆ one 0,04 aile d’avion 0,03

Table 1 – Valeur du coefficient de traˆın´ee (sans dimension) en fonction de la forme de l’objet.

III Forces dans les syst` emes m´ ecaniques

Fil inextensible

Le fil inextensible peut ˆetre vu comme un ressort de raideur infinie. Lorsqu’il est accroch´e ` a un solide, il transmet un effort dont le point d’application est le point d’attache du fil sur le solide et dont la direction est port´ee par le fil. L’amplitude de l’effort transmis d´epend des ´equations d’´equilibre.

Attention : si c’est une tige qui remplace le fil, l’effort transmis peut avoir une direction quelconque (y compris dans une direction autre que celle de la tige).

solide

point d’attache

fil tendu

solide

point d’attache

tige

poulie

T ~ R ~

T ~

1

T ~

2

Figure 7 – Pour un fil tendu, la direction de la force est port´ee par le fil, ce n’est pas forc´ement vrai pour une tige rigide (ceci est dˆ u ` a la masse de la tige). Dans le cas de la poulie, la tension du fil est constante k T ~

1

k = k T ~

2

k si (i) le fil glisse sans frottement ou bien (ii) si le fil ne glisse pas et entraˆıne ainsi la poulie de masse n´egligeable.

Ressort

Un ressort lin´eaire est caract´eris´e par sa raideur k (en N/m) et sa longueur ` a vide l

0

. Lorsqu’un ressort est attach´e ` a un syst`eme m´ecanique, il transmet une force de rappel telle que : son point d’application est le point d’accroche du ressort, sa direction est celle du ressort, son sens est tel que le ressort tend ` a revenir ` a sa longueur au repos, son amplitude est proportionnelle ` a l’allongement l − l

0

du ressort (l ´etant la longueur du ressort) :

F ~ = −k(l − l

0

)~e

_x

~e

_x

l l l

0

Figure 8 – Ressort.

Notes de Cours PS 21

Rappel de Math...

Produit scalaire et vectoriel

Prenons deux vecteurs quelconques A ~ et B. Ces deux vecteurs font un angle ~ θ, (voir la vue en perpective). Le produit scalaire (not´e par le point ‘·’) de ces deux vecteurs est d´efini par :

A ~ · B ~ = || A|||| ~ B|| ~ cos θ.

Le produit vectoriel (not´e par le chapeau ‘∧’) de ces deux vecteurs est d´efini par : C ~ = A ~ ∧ B. ~

Le vecteur C ~ est perpendiculaire au plan form´e par les vecteurs A ~ et B. Sa norme vaut : ~

|| C|| ~ = || A|||| ~ B|| ~ sin θ.

Ici, θ est compris entre 0 et π (sinon c’est n´egatif !). Le sens de C ~ est donn´e par la fameuse “r`egle du tire-bouchon”. Ainsi, si on permute A ~ et B, on change de signe : ~

B ~ ∧ A ~ = − C. ~

θ

A ~ B ~ C ~

Figure 1 – Produit scalaire et vectoriel.

Maintenant, si on consid`ere le rep`ere cart´esien (O, ~e

x

, ~e

y

, ~e

z

) orthonorm´ e, c’est-` a-dire qu’il v´erifie :

||~e

x

|| = ||~e

y

|| = ||~e

z

|| = 1, ~e

x

· ~e

y

= 0 et ~e

z

= ~e

x

∧ ~e

y

. On peut ´ecrire les deux vecteurs dans cette base :

A ~ = a

1

~e

x

+ a

2

~e

y

+ a

3

~e

z

et B ~ = b

1

~e

x

+ b

2

~e

y

+ b

3

~e

z

.

~e

_x

~e

y

~e

^x′

~e

^y′

φ O

Figure 2 – Base tournante ~e

x^′

et ~e

y^′

dans le rep`ere fixe ~e

x

et ~e

y

.

Comme la base est orthonorm´ee, les composantes a

1

, a

2

, etc... du vecteur s’obtiennent simplement en faisant le produit scalaire avec les vecteurs de la base : ainsi par exemple : a

1

= A ~ · ~e

_x

etc... De plus le produit scalaire peut s’exprimer en fonctions des composantes, on trouve facilement que :

A ~ · B ~ = a

¹

b

¹

+ a

²

b

²

+ a

³

b

³

.

Pour illustrer l’emploi du produit scalaire, prenons le cas de la base tournante ~e

_x′

et ~e

_y′

dans le rep`ere fixe ~e

x

et ~e

y

. Calculons les composantes :

~e

_x′

· ~e

_x

= cos φ et ~e

_x′

· ~e

_y

= cos(π/2 − φ) = sin φ

~e

_y′

· ~e

_x

= cos(φ + π/2) = − sin φ et ~e

_y′

· ~e

_y

= cos φ.

Ainsi, on trouve bien

~e

x^′

= cos φ ~e

x

+ sin φ ~e

y

et ~e

y^′

= − sin φ ~e

x

+ cos φ ~e

y

. Pour le produit vectoriel, il suffit de “voir” que

~e

_x

= ~e

_y

∧ ~e

_z

, ~e

_y

= ~e

_z

∧ ~e

_z

et ~e

_z

= ~e

_x

∧ ~e

_y

. Apr`es calcul on trouve que :

A ~ ∧ B ~ = (a

1

~e

x

+ a

2

~e

y

+ a

3

~e

z

) ∧ (b

1

~e

x

+ b

2

~e

y

+ b

3

~e

z

)

= (a

²

b

³

− a

³

b

²

)~e

x

+ (a

³

b

¹

− a

¹

b

³

)~e

y

+ (a

¹

b

²

− a

²

b

¹

)~e

z

.

Un peu d’analyse...

Prenons deux fonctions du temps (par exemple) f (t) et g(t). Alors d(f ∗ g)

dt = df

dt g + f dg dt df

ⁿ

dt = n df dt f

ⁿ⁻¹

df (g(t))

dt = dg

dt f

^′

(g(t)) o` u f

^′

est la d´eriv´ee de f . Si la fonction f v´erifie

df dt = g, alors

f(t) = Z

g(t

^′

) dt

^′

+ cte ou bien encore

f (t) − f(t

0

) = Z

t

t0

g(t

^′

) dt

^′

. Equations diff´ erentielles

La solution de

df

dt + af = C o` u a et C sont des constantes est donn´ee par

f(t) = Ae

^−at

+ C/a

o` u A doit ˆetre d´etermin´e ` a partir des conditions initiales en t = 0.

La solution de

d

²

f

dt

²

+ ω

²

f = C o` u ω et C sont des constantes est donn´ee par

f (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + C/ω

²

o` u A et B doivent ˆetre d´etermin´es ` a partir des conditions initiales en t = 0.