Une introduction ` a la mod´ elisation math´ ematique et ` a la simulation num´ erique

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION

Une introduction ` a la mod´ elisation math´ ematique et ` a la simulation num´ erique

G. ALLAIRE 25 juin 2013

R´evision g´en´erale sur un exemple pratique

Mod´elisation, simulation num´erique et optimisation d’une plaque ´elastique

Cas test industriel de la poutre MBB (Messerchmitt-B¨olkow-Blohm) qui supporte le plancher de certains avions Airbus.

Exemple simplifi´e repr´esentatif de l’´etat de l’art.

Mod´elisation Choix du mod`ele:

➫ Mod`ele simplifi´e 2-d

➫ Forces et contraintes planes

➫ On n´eglige les effets transverses de flexions (mod`eles de membrane ou de plaque en torsion)

Mod`ele de l’´elasticit´e lin´earis´ee: champ de d´eplacement u(x) : Ω ⊂ IR<sup>2</sup> → IR<sup>2</sup>, solution du syst`eme











−div (A e(u)) = f dans Ω

u₂ = u · e₂ = 0 et A e(u)

n · e₁ = 0 sur ΓD

A e(u)

n = 0 sur ΓN

avec e(u) = ∇u + (∇u)^t

/2, et Aξ = 2µξ + λ(trξ) Id, o`u µ et λ sont les coefficients de Lam´e.

plaque

µ(x) = h(x)µ₀, λ(x) = h(x) λ₀.

Par cons´equent, la solution u d´epend de h (implicitement).

Ω

h

➫ Ω = surface moyenne (plane) de la plaque

Fonction objectif

On veut maximiser la rigidit´e de la plaque en fonction de son ´epaisseur, tout en minimisant son poids.

Une mesure typique de la ”rigidit´e” est la compliance, ou travail des forces ext´erieures: moins la structure travaille, plus elle est rigide (attention !

compliance = - rigidit´e)

J(h) = Z

Ω

f · u(h)dx.

Contraintes L’ensemble des ´epaisseurs admissibles est

K =

h(x) ∈ L²(Ω) tel que 0 < hmin ≤ h(x) ≤ hmax et Z

Ω

h(x) dx = h₀|Ω|

,

o`u h₀ est une ´epaisseur moyenne impos´ee.

Probl`eme d’optimisation de l’´epaisseur de la plaque:

hinf∈K J(h) = Z

Ω

f · u(h)dx

o`u u(h) est le d´eplacement ´elastique pour l’´epaisseur h.

Formulation variationnelle On suppose que f ∈ L²(Ω)² et on d´efinit

V =

v ∈ H¹(Ω)² tel que v₂ = 0 sur ΓD

Formulation variationnelle: trouver u ∈ V tel que Z

Ω

2µe(u) · e(v) dx + Z

Ω

λdivudivv dx = Z

Ω

f · v dx ∀v ∈ V.

Pour la coercivit´e, on a besoin de l’in´egalit´e de Korn Z

Ω

(|∇v|² + |v|²)dx ≤ C Z

Ω

|e(v)|² dx.

L’obstruction `a cette in´egalit´e est l’existence de mouvements de corps rigides d´efinis par e(v) = 0, i.e.,

v(x) = M x + b avec M = −M^T. Il faut ´eliminer ces solutions par les conditions aux limites...

Il faut rajouter v₁ = 0 sur une partie du bord !

Simplification

D´esormais pour simplifier l’expos´e, nous rempla¸cons le mod`ele d’´elasticit´e par le mod`ele simplifi´e







−div(µ∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω

Tout reste valable pour l’´elasticit´e... en particulier les r´esultats num´eriques !

Une application de la dualit´e: ´energie duale Soit f ∈ L²(Ω). On sait que pour r´esoudre







−div(µ∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω

il suffit de minimiser l’´energie dite primale min

v∈H₀¹(Ω)

J(v) = 1 2

Z

Ω

µ|∇v|²dx − Z

Ω

f v dx

On introduit une ´energie duale (ou compl´ementaire)

max

τ∈L2(Ω)N

−divτ=f dans Ω

G(τ) = −1 2

Z

Ω

µ⁻¹|τ|²dx

.

J est convexe et G est concave.

Proposition. Soit u ∈ H₀¹(Ω) la solution unique de l’´equation. On pose σ = µ∇u. Alors,

J(u) = min

v∈H₀¹(Ω)J(v) = max

τ∈L2(Ω)N

−divτ=f dans Ω

G(τ) = G(σ), et σ est l’unique point de maximum de G.

Preuve. On introduit le Lagrangien pour (v, τ) ∈ H₀¹(Ω) × L²(Ω)^N L(v, τ) = −1

2 Z

Ω

µ⁻¹|τ|²dx − Z

Ω

(f + divτ)v dx.

Par int´egration par parties L(v, τ) = −1

2 Z

Ω

µ⁻¹|τ|²dx − Z

Ω

f v dx + Z

Ω

τ · ∇v dx.

v est le multiplicateur de Lagrange pour la contrainte −divτ = f. On v´erifie que le dual du dual est le primal !

maxτ L(v, τ) = J(v).

G(τ) = L(v, τ) ∀v D’autre part,

L(v, τ) ≤ max

τ L(v, τ) = J(v).

Or, par int´egration par parties, on a Z

Ω

µ|∇u|²dx = Z

Ω

f u dx, donc

J(u) = 1 2

Z

Ω

µ|∇u|²dx − Z

Ω

f u dx = −1 2

Z

Ω

µ|∇u|²dx = G(µ∇u).

Autrement dit, pour tout τ v´erifiant − divτ = f,

G(τ) = L(u, τ) ≤ J(u) = G(σ)

Cons´equence La compliance peut s’´ecrire

1 2

Z

Ω

f u dx = − min

v∈H₀¹(Ω)

1 2

Z

Ω

µ|∇v|²dx − Z

Ω

f v dx

ou bien

1 2

Z

Ω

f u dx = min

τ∈L2 (Ω)N

−divτ=f dans Ω

1 2

Z

Ω

µ⁻¹|τ|²dx

.

C’est la deuxi`eme formulation qui est utile !

Le probl`eme de minimisation de la compliance devient

(h,τ)inf∈K×H

Z

Ω

(hµ₀)⁻¹|τ|²dx . avec H = {τ ∈ L²(Ω)^N , −divτ = f dans Ω}.

(h,τ)inf∈K×H

Z

Ω

h⁻¹|τ|²dx .

avec H = {τ ∈ L²(Ω)^N , −divτ = f dans Ω}.

Lemme. La fonction φ(h, τ) = h⁻¹|τ|², d´efinie de IR⁺ × IR^N dans IR, est convexe et v´erifie

φ(h, τ) = φ(h₀, τ₀) + φ^′(h₀, τ₀) · (h − h₀, τ − τ₀) + φ(h, τ − h

h₀τ₀), o`u la d´eriv´ee est donn´ee par

φ^′(a₀, τ₀) · (b, τ) = − b

a²₀|τ₀|² + 2

a₀τ₀ · τ.

Conditions d’optimalit´e Probl`eme d’optimisation de l’´epaisseur

hinf∈K J(h) = Z

Ω

j(u)dx o`u u d´epend de h `a travers l’´equation







− div (h∇u) = f dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω,

et j fonction de classe C¹ de IR dans IR telle que |j(u)| ≤ C(u² + 1) et

|j^′(u)| ≤ C(|u| + 1).

Exemple: j(u) = f u la compliance.

Ensemble admissible des ´epaisseurs h d´efini par K =

h ∈ L^∞(Ω) , hmax ≥ h(x) ≥ hmin > 0 dans Ω, Z

Ω

h(x) dx = h₀|Ω|

.







−div (h∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω.

Lemme. L’application h → u(h), qui `a h ∈ K fait correspondre la solution u(h) ∈ H₀¹(Ω), est diff´erentiable et la d´eriv´ee directionnelle en h dans la

direction k ∈ L^∞(Ω) est donn´ee par

hu^′(h), ki = v, o`u v est l’unique solution dans H₀¹(Ω) de



 −div (h∇v) = div (k∇u) dans Ω

Preuve. Formellement, il suffit de d´eriver l’´equation par rapport `a h, mais pour donner un sens rigoureux `a ce calcul il faut travailler sur la formulation variationnelle.

Pour calculer la d´eriv´ee directionnelle, on d´efinit h(t) = h + tk pour t > 0.

Soit u(t) la solution pour l’´epaisseur h(t). On d´erive par rapport `a t:

formellement, on obtient







− div (h(t)∇u^′(t)) = div (h^′(t)∇u(t)) dans Ω

u^′(t) = 0 sur ∂Ω,

et comme h^′(0) = k on a u^′(0) = v.

J(h) =

Ω

j u(h) dx ,

est diff´erentiable et la d´eriv´ee directionnelle en h dans la direction k ∈ L^∞(Ω) est donn´ee par

hJ^′(h), ki = Z

Ω

j^′ u(h)

v dx ,

o`u v = hu^′(h), ki est l’unique solution dans H₀¹(Ω) de







−div (h∇v) = div (k∇u) dans Ω

v = 0 sur ∂Ω.

Preuve. Par simple composition d’applications d´erivables.

Lagrangien

Pour trouver une formule explicite de la d´eriv´ee, on introduit, pour des variables ind´ependantes (ˆh, u,ˆ p)ˆ ∈ L^∞(Ω) × H₀¹(Ω) × H₀¹(Ω), le Lagrangien

L(ˆh, u,ˆ p) =ˆ Z

Ω

j(ˆu) dx + Z

Ω

ˆ p

−div

ˆh∇uˆ

− f

dx,

o`u ˆp est la fonction multiplicateur de Lagrange pour la contrainte qui relie u `a h. Par int´egration par parties on a aussi

L(ˆh, u,ˆ p) =ˆ Z

Ω

j(ˆu)dx + Z

Ω

ˆh∇pˆ· ∇uˆ − fpˆ

dx,

La d´eriv´ee partielle de L par rapport u dans la direction φ ∈ H₀¹(Ω) est h∂L

∂u (ˆh,u,ˆ p), φiˆ = Z

Ω

j^′(ˆu)φ dx + Z

Ω

h∇ˆ pˆ· ∇φ

dx.

La d´eriv´ee partielle de L par rapport u dans la direction φ ∈ H₀¹(Ω) est h∂L

∂u (ˆh,u,ˆ p), φiˆ = Z

Ω

j^′(ˆu)φ dx + Z

Ω

h∇ˆ pˆ· ∇φ

dx.

On d´efinit l’adjoint p ∈ H₀¹(Ω) comme solution de la formulation variationnelle h∂L

∂u (h, u, p), φi = 0 ∀φ ∈ H₀¹(Ω).

On trouve que p est solution de







− div (h∇p) = −j^′(u) dans Ω

p = 0 sur ∂Ω.

Formule simple de la d´eriv´ee Le Lagrangien v´erifie

J(h) = L(h, u(h),p)ˆ ∀pˆ

car u(h) est solution li´ee `a h. Donc, si u(h) est d´erivable, on a hJ^′(h), ki = h∂L

∂h(h, u(h),p), kiˆ + h∂L

∂u (h, u(h),p),ˆ ∂u

∂h(k)i On prend alors ˆp = p, l’adjoint, pour obtenir

hJ^′(h), ki = h∂L

∂h(h, u, p), ki = Z

Ω

k∇p · ∇u dx

Th´eor`eme. La fonction J(h) est d´erivable sur K et on a J^′(h) = ∇u · ∇p .

1. Initialisation de l’´epaisseur h₀ ∈ K (par exemple, une fonction constante qui satisfait les contraintes).

2. It´erations jusqu’`a convergence, pour n ≥ 0:

h_n+1 = PK

hn − tJ^′(hn) ,

o`u t > 0 est un pas de descente, PK est l’op´erateur de projection sur le convexe ferm´e K et la d´eriv´ee est donn´ee par

J^′(hn) = ∇un · ∇pn

avec un la solution de l’´equation d’´etat et pn celle de l’´equation adjointe (associ´ees `a l’´epaisseur hn).

On caract´erise l’op´erateur de projection PK

PK(h)

(x) = max (hmin,min (hmax, h(x) + ℓ)) o`u ℓ est l’unique multiplicateur de Lagrange tel que

Z

Ω

PK(h) dx = h₀|Ω|.

La d´etermination de la constante ℓ n’est plus explicite: il faut utiliser un algorithme it´eratif en utilisant la propri´et´e que la fonction

ℓ → F(ℓ) = Z

Ω

max (hmin,min (hmax, h(x) + ℓ)) dx

est strictement croissante sur l’intervalle [ℓ⁻, ℓ⁺], image r´eciproque de

[hmin|Ω|, hmax|Ω|]. Grˆace `a cette propri´et´e de monotonie, l’algorithme it´eratif est simple: on commence par d´eterminer un encadrement [ℓ¹, ℓ²] tel que

F(ℓ¹) ≤ h₀|Ω| ≤ F(ℓ²), puis on proc`ede par dichotomie pour trouver ℓ.

P´enalisation

L’algorithme pr´ec´edent calcule des ´epaisseurs qui varient continuement.

Si on veut obtenir des ´epaisseurs discr`etes, par exemple seulement les

´epaisseurs minimimum et maximum, alors on peut utiliser une technique de p´enalisation pour forcer l’´epaisseur h(x) `a ne prendre que les valeurs hmin ou hmax.

Par exemple, on ajoute un terme de p´enalisation `a la fonction objectif J(h) + cpen

Z

Ω

(h − hmin)(hmax − h) dx.

Variante discr`ete de ce mod`ele: treillis de Michell

Optimisation de l’´epaisseur des barres par programmation lin´eaire.

En dimension N = 2, on consid`ere n noeuds reli´es par m barres.

Forces f ∈ IR²ⁿ appliqu´ees aux noeuds

Forces q ∈ IR^m dans chacune des barres (dans l’axe de la barre) Barre i de volume Vi = aili (section ai, longueur li)

Probl`eme d’optimisation lin´eaire

minq,V m

X

i=1

Vi

sous les contraintes d’´equilibre des forces

Bq = f avec B matrice de connection des barres aux noeuds V ≥ 0, −σ V ≤ l q ≤ σ V