Mod´ elisation num´ erique des structures composites multicouches ` a l’aide d’une approche discr` ete au sens de Mindlin.

(1)

(2)

Mod´ elisation num´ erique des structures composites multicouches ` a l’aide d’une approche discr` ete au sens de Mindlin.

Le mod` ele DDM (Displacement Discrete Mindlin)

TH` ESE

pr´ esent´ ee et soutenue publiquement le 03 Octobre 2008 pour l’obtention du

Grade de DOCTEUR de l’Universit´ e de Reims Champagne-Ardenne

Sp´ ecialit´ e : M´ ecanique

par

Mme SAKAMI Siham

Composition du jury

Rapporteurs : Pr. BENJEDDOU Ayech SUPMECA de Paris

Pr. POLIT Olivier Directeur de LAMI, Paris x Examinateurs : Pr . GELIN J ean C laude Directeur de l’ENSMM, Besan¸con

Pr . AYAD Rezak Directeur de th` ese, ESIEC, URCA Dr . SABHI Hamid Co-encadrant de th` ese, IFTS, URCA Pr . LODINI Alain Directeur du laboratoire LACM, URCA B. MANGAINT Directeur technique, Rotoplus Groupe Sofilab

Laboratoire d’Analyse des Contraintes M´ ecaniques-Dynamique des transferts aux interfaces

(3)

(4)

(5)

Remeriements

Ce travail de thèse a été réalisé au Laboratoire d'Analyse des Contraintes

Méanique(LACM) à l'IFTS de CharlevilleMézières et l'ESIEC de REIMS.

Je remerie profondément mon direteur de thèse le professeur AYAD Rezak

qui a su me diriger tout au long de ette thèse ave patiene, rigueur et bonne

humeur.Sanslui,larédationdeemémoiren'auraitpasétéréalisée.Sapatiene

et ses approhes toujours à la fois sientique et pratique ainsi que ses qualités

humainesm'onténormémentappris.

J'exprimeégalementtoutemareonnaissaneamonenadrantdethèseMonsieur

SABHI Hamid, je le remerie profondément pour l'aide qu'il m'a oerte durant

mathèse.

Jeremerie Monsieur NabilTALBI qui a apporté un soutien sientique impor-

tant à mon travailde reherhe.

Je remerie LODINI Alainde m'avoir aueilliauLaboratoire d'Analyse des

ContraintesMéaniques.Jeremerietrèshaleureusementmesdeuxrapporteurs,

MessieursBENJEDDOU AyehetOlivierPOLIT qui ontpris letempsd'exami-

ner ave une attention bienveillante montravailet d'apporter quelques ritiques

onstrutives.

Jetiens àexprimermagratitudeàMonsieurLODINIAlainquiaaeptéde pré-

sidermon juryde thèse. Mesplus vifs remeriementsvontégalementàMonsieur

GELIN Jean Claude qui a aepté d'examiner ma thèse et à monsieur MAN-

GAINT Bernard quia aepté de partiiperau jury.

J'adresse tout partiulièrement, mes remeriements au Conseil Général des Ar-

dennes de m'avoirfournilesmoyens naniers pour quees travauxde reherhe

sedéroulentdansdebonnesonditions.Jevoudraisexprimertoutemareonnais-

saneàMonsieurAbellinoPoletti,ConseillerGénéral,pourm'avoirfaitl'honneur

d'assister à lasoutenane.

Je voudrais adresser mes remeriements à tous les dotorants de l'IFTS, et à

mes ollègues de l'ESIEC ave qui les éhanges sientiques, tehniques ouami-

aux ont été très formateurs pour mavie professionnelle et ont fait de es trois

annéesune belleétape de mavie.

Je remerie de tout mon oeur ma famille qui a su me donner sans esse son

soutien et son amour au ours de ma vie pour former ma personnalité et pour

rendrepossible mes études et par onséquent, e mémoirede thèse.

(6)

(7)

Ames parents SAKAMI Mohaet Allam Ytto

A mes frères et soeurs

A monmari

(8)

(9)

i

Table des gures 5

Liste des tableaux 9

Notations 13

Introdution générale et objetifs 15

1

Analyse bibliographique

1.1 Evolutiondes théoriesaux éléments nis . . . 19

1.2 Synthèse bibliographique . . . 22

1.2.1 Approhe monoouhe équivalente. . . 22

1.2.2 Approhe par ouhe . . . 27

1.2.3 Approhe par développement asymptotique . . . 31

1.3 Fateurs de orretion du CT . . . 32

1.4 Modèles élémentsnis . . . 33

1.4.1 Approhes géométriques . . . 33

1.4.2 Modèles éléments nis de plaques et de oques omposites 35 1.5 Conlusion . . . 38

2 Le modèle de plaques omposites DMQPml 2.1 Introdution . . . 39

(10)

2.2 Formulationthéorique du DMQPml . . . 40

2.2.1 Rappeldu modèle isotrope. L'élément DMQPiso . . . 40

2.2.2 Formulationdu nouveau modèle de plaque multiouhe . . 50

2.2.3 Expressions nalesdes ourbures de exion

{ χ }

^et^des ^dé- formationsde CT

{ γ 0 }

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁵²

2.3 Matrie de rigidité globale . . . 53

2.4 Relationsontraintes-déformationseteorts résultants . . . 53

2.4.1 Expressions des eorts résultants . . . 53

2.4.2 Calul des ontraintes planes etde isaillement transversal 54 2.5 Matrie masse élémentaire . . . 57

2.6 Conlusion : . . . 58

3 Validation numérique du DMQPml 3.1 Performanes etpréision de l'élémentisotrope. . . 59

3.1.1 Examen des modes de déformations onstantes . . . 59

3.1.2 Examen de lapréision en fontiondu maillage . . . 60

3.2 Résultatsdes as-tests de plaques omposites multiouhes . . . . 66

3.2.1 Rappel des tehniques de alul des fateurs de orretion de CT . . . 66

3.2.2 Plaque omposite à 3 et 9 ouhes simplement supportée sous hargement doublement sinusoîdal . . . 67

3.2.3 Plaque arréesandwihsimplementsupportéesous hargementuniforme. . . 78

3.2.4 Confrontation de l'élément DMQPml à des modèles basés sur des théoriesd'ordre supérieur . . . 82

3.3 Vibrationslibres de strutures isotropes etomposites. . . 101

3.3.1 Plaque arrée isotropesimplementsupportée . . . 101

3.3.2 Plaque arrée sandwih simplementsupportée . . . 103

3.3.3 Appliation aux vibrations libres d'une plaque en arton

(11)

4

Formulation théorique des modèles de oques DDM

4.1 Présentation générale du modèle DDM . . . 109

4.1.1 Desriptiongéométrique de l'élément de oqueDMQS . . 109

4.1.2 Représentation du hamp de déplaements . . . 110

4.1.3 Approximation du hamp de déformations . . . 112

4.2 Formulation théoriquedu modèle DMQSiso . . . 112

4.2.1 Déformationsde membrane . . . 112

4.2.2 Déformationsde exion (ourbures) . . . 113

4.2.3 Déformationsde Cisaillement Transversal. . . 113

4.2.4 Expressions nales des déformations

{ ε 1 }

^et

{ γ 0 }

^. ^. ^. ^. ^. ¹¹⁹

4.3 Formulation théoriquedu modèle DMQSml . . . 120

4.3.1 Tenseurs de déformation . . . 120

4.3.2 Hypothèses disrêtes modiées de mindlin . . . 120

4.3.3 Expressionnaledesmatriesderigiditémodiéesdeexion etde CT . . . 122

4.4 Matrie de rigiditéélémentaire . . . 123

4.4.1 Matriede rigiditédu modèle DMQSiso . . . 123

4.4.2 Matriede rigiditédu modèle multiouhe DMQSml : . . . 124

4.4.3 Rigiditétive pour

θ z

^: ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹²⁵

4.4.4 Passage dans lerepère global . . . 126

4.5 Conlusion . . . 127

5 Validation numérique 5.1 Introdution . . . 129

5.2 Résultats des as-tests standards de oques isotropes . . . 129

5.2.1 Cylindrepiné ave diaphragmesrigides . . . 129

5.2.2 Poutre vrilléeave hargements plan et hors plan . . . 132

5.2.3 Coque hémisphérique pinée . . . 133

5.2.4 Paraboloïdehyperbolique . . . 135

5.3 Appliationaux oques omposites orthotropeset multiouhes . 137

(12)

5.3.2 Étude d'une plaque sandwih non-symétrique . . . 138

5.3.3 Cylindrestratiésimplementsupporté soushargementsi- nusoïdal . . . 140

5.3.4 Panneauylindriquesimplementsupportésoushargement sinusoïdal . . . 142

5.4 Étude des vibrations libres de strutures omposites . . . 143

5.4.1 Vibrations libresd'une pale de ventilateur isotrope . . . . 143

5.4.2 Vibrations libresde panneaux omposites. . . 145

6 Conlusions générales & perspetives Bibliographie 151 Annexes A Rappel sur les oques isoparamètriques A.1 Cinématique des oques de formequelonque . . . 163

A.1.1 Desription de lasurfae moyenne . . . 163

A.1.2 Desription d'un pointquelonque. . . 165

A.2 Champdes déplaements virtuels . . . 168

A.3 Champdes déformations virtuelles . . . 169

B Lois de omportement des plaques et des oques B.1 Matériauisotrope . . . 173

B.2 Matériauorthotrope . . . 174

B.2.1 Matériau orthotrope dans le plan

LT

^et ^isotrope ^dans ^le plan

T z

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁷⁴

B.2.2 Rotationsdes ontraintes et des déformations . . . 175

B.3 Matériauomposite . . . 176

B.3.1 Dénition . . . 176

B.3.2 Calul de la matriede CT . . . 178

(13)

1.1 Approximationdesontraintes deCT:onstantes (théoriedupre-

mier ordre) etquadratiques (ordre supérieur) . . . 20

1.2 Distribution des ontraintes de CT

σ xz

^selon³ ^théories ^. ^. ^. ^. ^. ^. ²¹

1.3 Cinématique de Love-Kirhho . . . 23

1.4 Cinématique de Reissner-Mindlin . . . 25

1.5 Cinématique d'ordre supérieur . . . 26

1.6 Champde déplaementspour lesdeux atégories de modèles. Ap- prohe inématique . . . 28

1.7 Champ de déplaements des modèleszig-zag du premierordre [29℄ 29 1.8 Champ de déplaements des modèleszig-zag d'ordresupérieur [29℄ 29 1.9 Représentation des déplaements et des fontions d'interpolation Lagrangienne globalesutilisées dans lathéorie LWT. [29℄ . . . 30

2.1 Géométrie d'une plaque . . . 41

2.2 Géomètrie de l'élémentDMQP . . . 41

2.3 Cinématique d'un point d'une plaque en exion/CT. . . 43

2.4 Cosinusdireteurs sur un bord élémentaire k . . . 43

2.5 Variationdes rotations . . . 44

2.6 Déformations de CT de bords . . . 47

2.7 Hypothèses de Mindlin sur un bord élémentaire i-j . . . 49

2.8 Eorts résultantsd'une plaque . . . 54

2.9 Contraintes agissantsur un élémentdiérentielde plaque homogène 55 3.1 Path-testméanique. Moments onstants . . . 60

3.2 Plaque biaisesimplement supportée

α = 30

^°

sous harge uniforme 61 3.3 Plaqueirulaireisotropesoushargeuniforme.Donnéesetmaillage 63 3.4 Plaque irulairesimplement supportée

(R/h = 50)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁶⁴

3.5 Stratiation d'une plaque omposite à 3 et 9 ouhes. Données du problème . . . 67

^. ^Déplaement ^au ^entre de laplaque en fontionde L/h . . . 74

(14)

3.7 Plaquearréesimplementsupportéesoushargementsinusoïdal3-

ouhes

(0

^°

/90

^°

/0

^°

)

3.11 Plaque arrée sandwih simplement supportée sous hargement uniforme.Données du problème . . . 79

3.12 Plaque arrée sandwih simplement supportée sous hargement uniforme.Résultats des ontraintes de CT maximales . . . 81

3.13 Plaque retangulaireomposite à3ouhes simplementsupportée sous hargement doublement sinusoïdal.Géométrie du problème . 84 3.14 Plaque arrée sous hargement sinusoïdal. Données et propriétés méaniques . . . 90

3.15 Plaquearréesandwih3-ouhessimplementsupportéesoushar- gement uniforme.Données du problème . . . 92

3.16 Plaque sandwih (f//f) . . . 94

3.17 Déplaement auentre de la plaque en fontion de L/h . . . 97

3.18 Distributiondes ontraintes de CT à travers l'épaisseur z/h . . . 98

3.19 Plaque arréesandwih àinqouhes sous hargementuniforme. Géométrie etdonnées du problème . . . 99

3.20 Vibrationslibresd'une plaquearrée isotropesimplementsuppor- tée. Inuene du CT sur lafréquene propre . . . 102

3.21 Struture du arton ondulé . . . 104

3.22 Vibrations libres d'une plaque retangulaire en arton ondulé en- astrée. Montage expérimentalet données . . . 105

3.23 Essai du lâhé . . . 106

3.24 Plaque de longueur L = 200mm. Aelération et amplitude enre- gistréesdu signal . . . 107

3.25 Pulsations propresen fontion de la longueur de la plaque. Com- paraisonave l'expériene . . . 108

4.1 Élément de oque ourbe isotropeà 4n÷uds DMQS . . . 110

4.2 Cinématique virtuelle d'unebre quelonque pq . . . 111

4.3 Déformations naturelles de CT projetées sur les tés . . . 115

4.4 Hypothèsesde Mindlinsur un bord élémentaire i-j. . . 116

4.5 Variationdes rotationstangentielles suivant

s

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹¹⁷

(15)

4.6 Hypothèses de Mindlin sur un bord multiouhe élémentaire i-j. . 121

5.1 Cylindre piné ave diaphragmes. Données . . . 130

5.2 Cylindre piné. Convergene de

W _C

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹³¹

5.3 Cylindre piné. Convergene de

V D

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹³¹

5.4 Poutre vrilléesous harges onentrées. Données du problème . . 132

5.5 Coque hémisphérique pinée.Données du problème . . . 134

5.6 Coque hémisphérique pinée.Convergene de

U A

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹³⁵

5.7 Paraboloïde hyperbolique sous pression externe. Données du pro-

blème . . . 136

5.8 Paraboloïde hyperbolique. Convergene du déplaement normal

W o

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹³⁶

5.9 Cylindre orthotropesous pression interne. Données du problème . 137

5.10 Plaquearréesandwihnonsymétriquesimplementsupportéesous

hargement uniforme.Données du problème . . . 139

5.11 Cylindrestratiésimplementsupportésoushargementsinusoïdal.

Géométrie et données . . . 140

5.12 Panneau ylindrique simplement supporté sous hargement sinu-

soïdal. Données du problème . . . 142

5.13 Vibrations libres d'unepale de ventilateur. Données du problème 144

5.14 Vibrations libres de panneaux omposites. Données du problème . 145

B.1 Système d'axes loaletglobal . . . 175

(16)

(17)

2.1 Fontions d'interpolationbi-linéaires et quadratiques inomplètes

de l'élémentinitialDMQS

β

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁴²

2.2 N÷uds

i − j

^du ^bord

k

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁵⁰

3.1 Plaque biaise

α = 30

^°

. Flèhe etmoment auentre de laplaque

pour

(L/h = 1000)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁶²

3.2 Plaque biaise

α = 30

^°

. Flèhe etmoment auentre de laplaque

pour

(L/h = 100)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁶²

3.3 Plaqueirulairesimplementsupportéesoushargementuniforme.

Déplaement auentre de laplaque . . . 65

3.4 Plaque irulaire enastrée sous hargement uniforme. Déplae-

ment auentre de laplaque . . . 65

3.5 Plaqueirulairesimplementsupportéesoushargementuniforme.

Moment

M r

^au ^entre ^de ^la ^plaque ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁶⁵

3.6 Plaqueirulaireenastréesoushargementuniforme.Moment

M r

au entre de la plaque . . . 65

3.7 Plaque arrée simplement supportée sous hargement sinusoïdal

3-ouhes

(0

^°

/90

^°

/0

^°

)

^. ^Résultats^des ^ontraintes ^planes ^maximales ⁷⁰

3.11 Plaque arrée sandwih sous hargement uniforme. Comparaison

des déplaementsmaximum au point C . . . 80

3.12 Plaque arrée sandwih simplement supportée sous hargement

uniforme. Contrainte

^même^épaisseur

simplement supportées sous hargement doublement sinusoïdal.

Résultatsdes ontraintes planesmaximales as-2 . . . 87

3.16 Plaque arréeomposite à3ouhes (0°/90°/0°)mêmeépaisseur

simplement supportées sous hargement doublement sinusoïdal.

Résultats du déplaement transversal et des ontraintes de CT

as-2 . . . 88

3.17 Plaque arréeomposite à3ouhes (0°/90°/0°)mêmeépaisseur

simplement supportées sous hargement uniforme. Comparaison

du déplaement transversal et des ontraintes maximums as-3 89

3.18 Flexionentrale d'uneplaque retangulairesous hargementsinu-

soïdal :

w ¯ = ^100E _q ₀ _a ² 4 ^h ³ w c

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁹¹

3.19 Plaque arréesandwih(f//f).Résultatsde laèhe auentre de

laplaque . . . 93

3.20 Plaque arrée sandwih (f//f). Résultats des ontraintes de CT

maximales . . . 93

3.21 Plaque arrée sandwih

(f /c/f )

^simplement ^supportée ^sous ^har-

gement sinusoïdal.Déplaement entraletontraintede CT . . . 96

3.22 Plaque arrée sandwih

(f /c/f )

^simplement ^supportée ^sous ^har-

gement sinusoïdal.Contraintes normales . . . 97

3.23 Plaquearréesandwihsoushargementuniforme.Flèheaupoint

C des ontraintes planeset des ontraintes de CT maximales . . 100

3.24 Plaque arréeisotropesimplementsupportée

(L/h = 10)

^.^Compa-

raison des 4 premières fréquenes propres . . . 102

3.25 Plaquearréeisotropesimplementsupportée.Inuene deL/hsur

lafréquene fondamentale . . . 102

3.26 Plaque arrée sandwihsimplementsupportée (L/h=10).Compa-

raison des fréquenes propresfondamentales . . . 103

3.27 Vibrationslibresd'uneplaqueenartonondulé.Pulsationspropres

expérimentales en fontion de la longueur de la plaque . . . 106

3.28 Résultats numériques des pulsations propres. Comparaison ave

l'expériene . . . 108

4.1 Fontions d'interpolation bi-linéaireset quadratiques inomplètes

de l'élément initialDMQS

β

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹¹¹

(19)

4.2 N÷uds i-j du bord k . . . 119

5.1 Poutre vrillée. Résultatsdes déplaementsen A pour

h = 0, 32

^. ¹³³

5.2 Poutre vrillée. Résultatsdes déplaementsen A, pour

h = 0, 0032

¹³³

5.3 Cylindre orthotropesous pression interne. Déplaementmaximum 138

5.4 PlaquearréeSandwihnonsymétriquesimplementsupportéesous

hargement uniforme.Déplaement maximum . . . 139

5.5 Cylindre simplementsupporté sous hargement sinusoïdal.Flèhe

au point C . . . 141

5.6 Panneau ylindrique simplement supporté sous hargement sinu-

soïdal. Convergene de la èhe auentre . . . 143

5.7 Vibrations libres d'une pale de ventilateur. Fréquenes propres

(Hz) . . . 144

5.8 Vibrations libres de panneaux omposites. Fréquenes propres (Hz)146

(20)

(21)

x, y, z Repère loalde l'élément

X, Y, Z Repère artésien global

~i, ~j, ~k

Base du repère global

L, T, z Repère d'orthotropie

U, V, W Déplaements globaux

u, v, w Déplaements loaux

θ _x , θ _y , θ _z

^Rotations ^autour^des ^axes^x, ^y, ^z

dV Élément de volume

dA Élément de surfae moyenne de la oqueou de la plaque

ds Élément de longueur de la oque oude la plaque

h Épaisseur de la oque oude la plaque

σ ij , τ ij

Composantes du tenseur des ontraintes

ε ij , γ ij

Composantes du tenseur des déformations

h σ i

^Veteur ^des ^ontraintes ^planes

h τ i

^Veteur ^des ^ontraintes ^de isaillement transversal

h ε i

^Veteur ^des déformations planes

h γ i

^Veteur ^des déformations de isaillementtransversal

h e i

^,

h χ i

[H c ]

^Rigidités ^de ^exion ^et ^de isaillement transversal

E L , E T , E z

^Modules ^d'Y^oung ^dans ^les^diretions d'orthotropieL, T, z

G LT , G Lz , G T z

^Modules ^de isaillementdans les plans L-T, L-z,T-z

ν LT , ν Lz , ν T z

^C÷ients ^de ^Poisson

(22)

k 11 , k 22 , k 12

^C÷ients ^de ^orretion ^du isaillementtransversal

W int

^T^ravail ^virtuel ^des ^eorts ^internes

W ext

^T^ravail ^virtuel ^des ^fores ^externes

[K]

^Matrie^de ^rigidité

() ^e e

^:^lettre ^traduisant ^une ^quantité élémentaire

[K m ]

^Matrie^de ^rigidité^de ^membrane

[K f ]

^Matrie^de ^rigidité^de ^exion

[K mf ]

^Matrie^de ^rigidité^de ^ouplage membrane-exion

[K ct ]

^Matrie^de ^rigidité^de isaillementtransversal

[M]

^Matrie^masse

ddl Degrés de liberté

CT CisaillementTransversal

(23)

Cetteétudedotoraleàaratère sientique ettehnologiqueapourobjet la

formulationthéorique, la mise en ÷uvre numérique etl'évaluationd'un nouveau

modèle d'éléments nis du premier ordre (théoriede Reissner/Mindlin)pour les

problèmes de plaques etde oques isotropes et omposites. Elles'insrit dans le

adredu développementd'un outil d'aideà laoneption età l'optimisationdes

struturesomposites.Assoiéàdesloisdeomportementappropriées,emodèle

seraenmesuredefournirdesrésultatspréisendéplaements,endéformationset

enontraintes, pourun dimensionnementoptimaldes strutures omposites.Les

appliations pourront onerner l'ensemble des seteurs utilisant des matériaux

omposites multiouhes. Nousitons en partiulier lesseteurs de l'automobile,

de l'aéronautique, de ladéfense ou de l'emballage.

Le modèle à développer onernera un élément ni de plaque et de oque

ourbe géométriquement simple (4 n÷uds), basé sur une nouvelle approhe va-

riationnelle appelée DDM (Displaement Disrete Mindlin). Il prend en ompte

l'eetduisaillementtransversalCTàtravers l'épaisseur.LemodèleDDMintro-

duitde manièredisrète deux hypothèses de Mindlin.La première hypothèse est

inématique, elle onsiste à introduire sous la forme d'une intégrale de ontour

uneéquation inématiquede ladéformationde CT. Ellepermet l'éliminationdu

verrouillage en CT sans introduire des fontions bulles ou sans reourir à l'inté-

gration réduite ou seletive. Il s'agit de l'approhe des déformations de CT de

substitution,onnue sous lenom de ANS method: AssumedNatural Strains.

La seonde hypothèse fait appel à deux lois de omportement, l'une en exion

etl'autre en CT, et deux équations d'équilibred'une plaque en exion/CT. Elle

a pour prinipal avantage une éliminationloale des degrés de libertés de rota-

tion, introduits initialement au milieu d'un bord élémentaire par le biais d'une

approximationquadratiquedes rotationsdelanormaleàlasurfaemoyenne.Les

deux hypothèses seront développées en détail dans ette présente étude doto-

rale.Ellespeuventêtreadaptéesàdesmatériauxisotropesouanisotropes,etplus

partiulièrement àdes matériauxorthotropesà plusieurs ouhes.

Lesperformanes des deux modèlesd'éléments nis développés sontonfron-

tées à elles des modèles existants dans la littérature, qu'ils soient basés sur la

théorie du premier ordre de Reissner/Mindlin ou sur des théories d'ordre supé-

rieur.

(24)

L'objetifde l'étudedotoraleinitialementdéni était laformulationdu mo-

dèledeoquemultiouheavelapriseenomptedesnonlinéaritésgéométriques.

En eet, les diultés que nous avions renontrées au niveau de l'implémenta-

tion dumodèleisotropede oqueourbenous ontonduitàreformulerl'élément

de plaque homogène isotrope, développé par Katili [71℄, pour une validation en

premier lieu sur des plaques onsidérées omme as partiuliers de modèles de

oqueourbe,etauseondlieupouruneextensionauasdesplaquesomposites

multiouhes.

Ainsi, troisnouveaux élémentsnis ontété développéssur labase du modèle

DDM :

➤

^DMQPml ^: ^Disrete ^Mindlin Quadrilateral for Plates multilayered (Élé- ment ni de plaque omposite multiouhe, quadrilatéral à 4 n÷uds et 3

ddl par n÷uds,basé sur des hypothèses disrètes de Mindlin);

➤

^DMQSiso ^: ^Disrete ^Mindlin Quadrilateral for isotropi Shells (Élément ni de oque ourbeisotrope,ave ousans gauhissement, quadrilatéral à

4 n÷uds,basé sur des hypothèses disrètes de Mindlin);

➤

^DMQSml^:^Disrete^MindlinQuadrilateralformultilayeredShells(Élément ni de oque ourbe omposite multiouhe, ave ou sans gauhissement,

quadrilatéral à 4n÷uds, basé sur des hypothèses disrètes de Mindlin).

Les trois éléments nis développés sont basés sur une interpolation initiale qua-

dratique des rotations de la normale à la surfae moyenne, faisant dériver pré-

maturément un élément de départ à 8 n÷uds, très peu reommandable sur le

plan pratique.Deux hypothèsesdisrètes de Mindlin,quenousdéveloppons dans

ette étude, sont introduites loalement pour éliminer 4n÷uds et ne garder que

les 4 n÷uds sommets ave les ddl lassiques d'une plaque : le déplaement

transversal

w

^et ^les^rotations^de ^la^normale^à ^la^surfae ^moyenne

β x

^et

β y

^.

➤

^Le^premier^hapitreêst ônsaré^àûne^synthèsebibliographiquesurlesap- prohes existantes de plaquesmultiouhes,ave leursavantages etinon-

vénients. Ainsi, nous présentons dans e hapitre un ensemble d'éléments

nis sophistiqués basés en partiulier sur des théories dites d'ordre supé-

rieur.

➤

^Dans^le^seond^hapitre,^nous^présentons ^laformulationthéoriqueetl'éva- luationd'un nouvelélémentni dupremierordrepourlesplaques ompo-

sites multiouhes. Il est basé sur un modèle variationnel en déplaement

quenousonsidéronsommedisrêt,danslamesureoùl'onintroduitloa-

lement,etdemanièredisrète,deuxhypothèsesinématiqueetméanique.

Ce modèlequenousappelonsDDM(DisplaementDisrete Mindlin)four-

nitun élément ni géométriquement simple(un quadrilatèreà 4n÷udset

(25)

néairement est le résultat d'une représentation quadratique des rotations

de la normaleà lasurfae moyenne. Le nouvelélément de plaque, baptisé

DMQPml(DisreteMindlinQuadrilateralPlatemultilayer),est uneexten-

sionauasmultiouhedumodèleisotropeDKMQproposéparKatili[71℄.

Nous avons introduit loalement deux hypothèses modiées de Mindlin

dans l'élément DKMQ, pour prendre en ompte le aratère multiouhe

des plaques omposites. Le modèle DMQPmlprend en ompte les eets

de CT à travers l'épaisseur et reproduit les résultats de plaques mines

quelque soitl'élanement(absene de verrouillage en CT).Lesontraintes

de CT sont alulées en intégrant suivant l'épaisseur leséquations d'équi-

libre;ellesvérientlesonditionsauxlimitesetlaontinuitéauxinterfaes.

Ellessont linéaires à travers l'épaisseur, d'où lanéessité d'introduire des

fateurs de orretion de CT. Ces fateurs sont alulés par équivalene

de l'énergie de CT assoiée à la théorie du premier ordre ave elle due

aux ontraintes de CT. Des modèles d'ordre supérieur ont fait l'objet de

omparaison ave notre modèle dans le hapitre 3. Les résultats obtenus

sont enourageants, voire meilleursdans ertains as.

➤

^Le^hapitre³^est^onsaré^à^la^validation^de^l'élément^de^plaque^DMQPmlsur

des as-tests standards de plaques isotropes, sandwihset stratiées.

➤

^Le^hapitre⁴êstônsaréâudéveloppementdumodèleDMQSiso(Disrete Mindlin Quadrilateralfor isotropi Shells).Il est formulé sur la base d'un

élément quadrilatéral à 4 n÷uds et 6 ddl par n÷ud. Il est basé sur l'ap-

prohe isoparamétrique (ourbe) du solide tridimensionneldégénéré dans

l'épaisseur.Il prenden ompteleseets de gauhissement;saformulation

est de type déplaement ave une représentation naturelle des déforma-

tions de CT au niveau élémentaire. Il est enrihi en introduisant initia-

lement une approximation quadratique inomplète des rotations autour

de la normale à la surfae moyenne. Une des onséquenes de e type

d'interpolation est l'apparition de ddl supplémentaires au milieu des -

tés. Ceux-i sont éliminés par l'introdution d'hypothèses disrètes, que

nous développons dans e hapitre, sans altérer la préision de l'élément

quadratique initial. Nous aboutissons en onséquene à un élément ni

isoparamétriqueourbe,géométriquementsimple(quadrangle à4n÷uds),

pouvant atteindre des préisions appréiables, prohes de ses homologues

à huit n÷uds,voire meilleures dans ertaines situations. Celui-iest libre

detoutverrouillage,passel'ensembledespath-testsde déformationsetde

ontraintes onstantes,ne présentepas demodes parasitesetdemeurepeu

sensibleaux distorsions géométriques des maillages.Il peut être onsidéré

omme une alternative aux éléments nis de oques mines ourbes, dits

de Kirho disrêts, qui ont largement fait leurs preuves dans des appli-

(26)

modèle multiouhe DMQSml, nous onservons dans une première étape

l'expressiondel'hypothèseinématiqueutiliséedanslaformulationdumo-

dèle isotrope DMQSiso, à partir du momentoù elle ne fait pas intervenir

des termes liésauomportement méanique d'uneoque. Nousproposons

dans une seonde étape une modiation de l'hypothèse méanique pour

prendre en ompte les propriétés d'une setion de oque multiouhe. Le

modèle de oque isotrope améliore sensiblement les résultats de oques

présentant des omportements assez omplexesen exion.

➤

^Le^hapitre⁵êstônsaré ^à^la^validation^numérique^des^éléments^de ôque

proposés. Une série de as-tests standards onsidérés par les ingénieurs

omme des outils importants de validationd'éléments de oque, est utili-

sée par lasuite. Diérents typesde solliitations statiques et dynamiques

(vibrationslibres)sonttraitéspourdes struturesompositesstratiéeset

sandwihs.

➤

^Le ^hapitre⁶^fournit ûneônlusion ^globale^mettantên ^évidene^lesâpa-

ités et leslimites de nos modèlesde premierordre. Des perspetives àe

travail dotoral y sontprésentées par la suite.

(27)

Analyse bibliographique

1.1 Evolution des théories aux éléments nis pour

la modélisation des omposites multiouhes

Lathéoriedes struturesmineslaplus anienneest ellede Kirho[77℄qui

néglige l'eet de CT. Elle ne peut en onséquene être appliquée qu'aux stru-

tures très mines.La théorie du premierordre lassique, ommunément assoiée

àReissner[123℄ouMindlin[91℄quifurentlespremiersàénoner sesbases,prend

en ompte les eets du CT à travers l' épaisseur. Elle onduit, de part l'hypo-

thèse des setions droites restent droites à un veteur des ontraintes de CT

onstant dans l'épaisseur, en ontradition ave une représentation quadratique

lassiquement obtenue pour les poutres (théorie de Timoshenko) ou les plaques

en exion/CT (Fig. 1.1). Pour orriger ette insusane, des fateurs dits de

orretiondu CT y sont introduits.

Il est rare de trouver une théorie qui soit appliable à tous les as possibles

(matériau omposite, anisotrope, isotrope, grand nombre de ouhes, stratia-

tionsandwihet.)etauxdiérentsdomaines(statique,dynamiqueetambage),

et qui de plus serait simple, faile et peu oûteuse en temps de alul. Une mo-

délisation adéquate pour la prise en ompte des déformations de CT, dans les

plaquesomposites etdanslessandwihsestun des domaines atifsde reherhe

auours dees dernières années. Lesthéoriesde plaqueslassiques baséessur les

hypothèsesde Kirhho[124, 147℄,négligeantleseets de CT,ne sont adéquates

quepour l'analysedes plaques omposites mines.Ces théoriesprévoient malles

réponses des strutures multiouhes modernes épaisses ave un degré d'aniso-

tropie élevé : ela est dû au faible module de isaillement de es matériaux par

rapport àleur rigiditéd'extension, quilesarendus faiblesen isaillement,e qui

induitune distributionomplexedes ontraintes deCT àtravers l'épaisseurdans

lesplaques. Dans e ontexte, plusieurs modèles de plaques 2D ont été proposés

pour prendre en ompte l'eet du CT. On peut regrouperes théories de plaque

(28)

τ xz

z

Théorie du premier ordre

⁽ τ xz Constante en z) Approximation quadratique

(représentation réelle de τ xz )

Fig.1.1 Approximationdesontraintes deCT :onstantes (théoriedupremier

ordre) etquadratiques (ordresupérieur)

2D en deux atégories : les modèles à monoouhe équivalente (approximation

globale)et les modèlesà ouhes disrètes (approximationloale).

LapremièreatégorieontientdesthéoriesdutypeReissner-Mindlin[91℄éten-

dues aux multiouhes où l'on remplae es derniers par une plaque anisotrope

homogène équivalente [144, 133℄. Reddy et Chao [122℄ ont introduit l'eet de

déformationde CT dans lesplaques omposites, en prenant une déformationde

isaillement uniformeonstante sur l'ensemble de l'épaisseur de la plaque; ette

théorie est populairement onnue sous l'appellation FSDT First Order Shear

Deformation Theory. Elle exige un fateur arbitraire de orretion de isaille-

ment,en raisonde lavariationnon-linéairedes déplaementsdans leplan à tra-

vers l'épaisseur quidoit être supposée linéaire.On trouveégalementdes théories

d'ordresupérieur HSDT Higher OrderShear Deformation Theory baséessur

l'approximation non linéairedes déplaements3D, des ontraintes 3D oumixtes

[42, 75,146℄,ainsi que des théoriesplus nes appelées RHSDT Rened Higher

Order ShearDeformationTheory[38℄. Leprinipalobjetif de toutes es théo-

ries de plaque est plus ou moins le même, ertaines se distinguent par rapport

aux autres en terme de préisions, partiulièrementsur lesontraintes de CT.

Une prévision des déplaements et des ontraintes des plaques sandwihs et

stratiées est donnée par Kim et Cho [75℄, en utilisant la théorie du premier

ordre renforée, basée sur une théorie variationnelle mixte appelée EFSDTM

(Enhaned rst-order plate theory based on the mixed variational theorem).

Dans la formulation mixte, les ontraintes de CT sontbasées sur une théorie de

(29)

Theory) qui fûtdéveloppée par Cho etParamerter [38℄.

Dansladeuxième atégorie,lesmodèles sontbasés sur l'approhe par ouhe

etse distinguent par lalinéarité ou la non-linéaritédes hamps dans l'épaisseur

dehaqueouhe. Cesontdes modèlessophistiqués quipermettentd'étudier des

réponsesloales,notammentsurl'interfaeentrelesouhes.Bienévidemmentle

nombredevariablesdépenddunombredeouhes,equiaugmenteonsidérable-

mentlevolumede alul.DiSiuva[45,46,47℄ proposelemodèleditZig-Zag,

sourede nombreux travauxomplémentaires.Celui-ise base sur une approhe

parouhe maisave unnombredevariablesindépendantsdunombredeouhes

.

Lesaratéristiquesde basede touteses théoriessontlaonsidérationd'une

variationparaboliquedesdéformationsetdesontraintesdeCT àtraversl'épais-

seur et, en même temps, la disontinuité des ontraintes sur les ouhes inter-

faesdustratié.Nousprésentonssurlagure1.2ladistributiondesontraintes

de CT à travers l'épaisseur, obtenue par trois théories diérentes.

Desrevuesbibliographiquesréentessurlesdiérentesthéoriespourlamodéli-

sationdesstruturesmultiouhessontdonnéespar[29,68,31,32,33,43,92,61℄.

Uneomparaisonintéressanteentrelesdiérentesthéoriesestdonnéepar[29,61℄.

Des travaux très réents, basés sur la théorie du troisième ordre, ont également

faitl'objetde publiation [58℄.

Une synthèse sur les aspets éléments nis et le lien entre les théories du

premierordre etd'ordre supérieursont développésdans la setion suivante.

τ xz FSDT

HSDT RHSDT z

FSDT : First Shear Deformation Theory HSDT : High order Shear Deformation Theory RHSDT : Refined High order Shear Deformation Theory

Fig. 1.2 Distributiondes ontraintes de CT

σ xz

^selon ³ ^théories

(30)

1.2 Synthèse bibliographique sur les modèles de

strutures multiouhes.

Un matériauomposite est onstitué de l'assemblage de plusieurs matériaux

de nature diérente, se omplétant et permettant d'aboutir à un matériaudont

l'ensemble des performanes est supérieur à laperformane des omposantspris

séparément.Il est onstitué d'unematrie etd'un renfort onstitué de bres. La

matrieest-ellemêmeomposéed'unerésine(polyester,époxyde,et.).Lerenfort

apporteaumatériauompositeses performanesméaniques élevées,alorsquela

matriepermetdetransmettreauxbreslessolliitationsméaniquesextérieures

et de lesprotéger vis-à-visdes agressions extérieures.

Une struture omposite multiouhe peut être onsidérée omme un orps

hétérogène onstitué d'unnombre ni de ouhes homogènes anisotropesollées.

Lamodélisationdes strutures multiouhes modernesave une forteanisotropie

(par exemple : faiblerapport du module de CT de l'âme par rapport au module

d'élastiitélongitudinaldes peauxdansleasdes struturessandwihs) exigedes

théoriesranéesquiprennenten ompteune bonnedesriptiondesisaillements

transversaux. On trouve dans [98, 67, 28, 66, 29℄ des revues omplètes sur les

diérentsmodèlesexistantsdetypeélastiitétridimensionnelleoudetypeplaque.

L'intérêtd'uneapprohetridimensionnellerésidedansl'obtentionderésultats

exats tridimensionnels, utiles notamment omme référene. L'adoption d'une

approhe tridimensionnelle ne présente toutefois d'utilité quedans lamesure où

leséquationsdiérentiellesnalementobtenues peuventêtrerésolues.L'approhe

tridimensionnelle (3D) est don limitée à ertains as de géométrie, empilement

et hargement simple [105, 106, 131, 130℄. De même, la prise en ompte des

endommagements spéiques aux stratiés (délaminage, ssure transverse, . . .

) exige une bonne desription des hamps au voisinage des interfaes. Durant

es dernières années, plusieurs modèles bidimensionnels ont été développés pour

la modélisation des strutures multiouhes tenant ompte des eets de CT ou

des endommagements.Ilspeuventêtre regroupésenfontiondu typed'approhe

adoptée :

➤

^Approhe ^monoouhe équivalente;

➤

^Approhe ^par ^ouhe^;

➤

^Approhe ^par développement asymptotique.

1.2.1 Approhe monoouhe équivalente

Dans l'approhe monoouhe équivalente, le nombre d'équations ne dépend

pas du nombre de ouhes, la plaque multiouhe est homogénéisée et est don

onsidéréeommeune seuleouhe. Depuis lepremiertravailde SophieGermain

(31)

x 3

0 u α

α

w ,

α

w ,

w 0

x α

Fig. 1.3 Cinématique de Love-Kirhho

de Love-Kirhho et de Reissner-Mindlin, de nombreux auteurs ont développé

des théories de plaques à partir de inématiques ou hamps de ontraintes plus

ranés.Nousprésentonsdanslessetionssuivantes,lesprinipauxmodèlesbasés

sur ette approhe.

Les modèles lassiques de Love-Kirhho

Ces modèles sont basés sur une distribution linéaire des déplaements dans

l'épaisseur[124,147℄.L'hypothèsedeontraintesplanesadoptéeestelledeLove-

Kirhho [77℄, les déformations dues au CT étant négligées. La normale reste

droiteet perpendiulaire àla surfae moyenneaprès déformation(Fig. 1.3).

u 1 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = u ⁰ ₁ (x 1 , x 2 ) − zw ,x1 (x 1 , x 2 )

^(1.1)

u 2 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = u ⁰ ₂ (x 1 , x 2 ) − zw ,x2 (x 1 , x 2 )

^(1.2)

u 3 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = w (x 1 , x 2 )

^(1.3)

ave;

u ⁰ _α

^:^le ^déplaement ^de ^membrane ^dans ^la^diretion

α = 1, 2

^;

w

^: ^le^déplaement transversal;

w xα

^: ^la ^rotation^due ^à ^la^exion ^(sans isaillement).

(32)

Les modèles de Reissner-Mindlin

L'hypothèse inématique de Reissner-Mindlin [91, 123℄ est adoptée pour in-

troduirel'eetduCT.Elleestbaséeessentiellementsurleshypothèsessuivantes:

➤

^Hypothèses inématiques

H1 :Hypothèse des setions droites

Les points matériels situés sur une normale à la surfae moyenne

non déformée restent sur une droite mais non néessairement normale

à la surfae moyenne dans la onguration déformée

H2 : La omposante transversale de la déformation suivant l'épaisseur

est onstante.

➤

^Hypothèses ^méaniques

H3 :Hypothèse des ontraintes planes

La ontrainte

σ _z

^est négligeable devant les autres omposantes du tenseur des ontraintes

H4:Hypothèsed'anisotropieplanepourhaqueouhedansleasd'une

plaqueomposite.Cettehypothèseonsidèrezommeaxed'orthotropie

de toutes les ouhes (orthotropie dans le plan LT)

➤

^Le ^hamp ^de déplaementsde Reissner-Mindlins'érit (Fig. 1.4) :

u 1 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = u ⁰ ₁ (x 1 , x 2 ) + zφ 1 (x 1 , x 2 )

^(1.4)

u 2 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = u ⁰ ₂ (x 1 , x 2 ) + zφ 2 (x 1 , x 2 )

^(1.5)

u 3 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = w (x 1 , x 2 )

^(1.6)

ave

φ _α

^:^la ^rotation^de ^la^normale^au ^plan ^moyen ^dans ^le^plan

x _α x ₃ (α = 1, 2)

^;

γ _α ⁰ = (w _,α + φ _α )

^:^la déformationde CT mesurée sur le plan moyen.

Ave e hoix des hamps de déplaements, les déformations de CT

γ α

^sont

onstantesen

z

^.^Lesôntraintes^de^CT^sont^donûniformes^dans^haqueôuheêt

disontinuesentre lesouhes. Cettemauvaise desriptionobligeàintroduiredes

÷ientsorreteurspourmieuxprendre enomptedansl'ériturede l'énergie,

(33)

Fig.1.4 Cinématique de Reissner-Mindlin

Les modèles d'ordre supérieur

Pour franhirleslimites des théoriesdu premierordre, plusieurs auteurspro-

posentdes théoriesàunordresupérieur.Lesmodèlessontbaséssur unedistribu-

tionnonlinéairedes hampsdedéplaementsoudesontraintesdansl'épaisseur.

Ces modèles permettent de représenter le gauhissement de la setion dans la

ongurationdéformée(Fig. 1.5).

Laplupartdes modèles d'ordresupérieur utilisentun développementen série

de Taylor des hampsde déplaements quis'érivent, ave

iǫ { 1, 2, 3 }

^:

u i (x 1 , x 2 , x 3 ) = u ⁰ _i (x 1 , x 2 ) + zφ ⁰⁽¹⁾ _i (x 1 , x 2 ) + z ² φ ⁰⁽²⁾ _i (x 1 , x 2 ) + z ³ φ ⁰⁽³⁾ _i (x 1 , x 2 ) + z ⁴ φ ⁰⁽⁴⁾ _i (x 1 , x 2 ) + ...

(1.7)

Dans le as des théories du premier ordre de Reissner-Mindlin, nous avons

φ ^0(j) _i = 0

^pour

j = 2, 3, 4

^et

φ ⁰⁽¹⁾ ₃ = 0

^. ^Pour ^réduire ^le ^nombre ^de ^para-

mètres des déplaements, plusieurs simpliations sont proposées an d'abou-

tir à des modèles d'ordre supérieur. Souvent, on impose les onditions de nul-

lité des ontraintes de CT aux surfaes supérieure et inférieure de la plaque.

Le développement de (1.7) est utilisé ave

φ ⁰⁽⁴⁾ _i = φ ⁰⁽²⁾ _i = φ ⁰⁽³⁾ ₃ = φ ⁰⁽¹⁾ ₃ = 0

,

φ ⁰⁽³⁾ α

^.

α = { 1, 2 }

^dépendent^à

φ ⁰⁽³⁾ α

^et

w _,xα

^.L'expressionorrespondantedevient:

(34)

Fig. 1.5 Cinématique d'ordresupérieur

u 1 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = u ⁰ ₁ (x 1 , x 2 ) − zw ,x1 (x 1 , x 2 ) + f (z) γ _x1 ⁰ (x 1 , x 2 )

^(1.8)

u 2 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = u ⁰ ₂ (x 1 , x 2 ) − zw ,x2 (x 1 , x 2 ) + f (z) γ _x2 ⁰ (x 1 , x 2 )

^(1.9)

u 3 (x 1 , x 2 , x 3 = z) = w (x 1 , x 2 )

^(1.10)

Dansequisuit,nousrappelonsquelquesapprohesdelalittératureassoiées

à des modèles d'odre supérieur. Elles dièrent selon l'expression de la fontion

de isaillement

f (z)

^:

➤

^Approhe ^de Ambartsumyan [5℄:

f (z) = z 2

h ² 4 − z ²

3

;

➤

^Approhe ^de ^Reissner ^[123℄, ^Pan ^[109℄^et ^Kazkowski ^[65℄ ^:

f (z) = 5 4 z

1 − 4z ² 3h ²

;

➤

^Approhe ^de ^Levinson ^[84℄, ^Murthy ^[95℄, ^Reddy ^[120℄^et ^[68℄ ^:

f (z) = z

1 − 4z ² 3h ²

(35)

Danslemodèlede Reddy [120℄,lehampdes déplaementsmembranaires est

ubique et le déplaement normal

w

êst ônstant. ^Ce ^modèle ^donne ûne ^bonne

approximation des ontraintes de CT par rapport à la solution élastique tridi-

mensionnelle.Ladistributionde es ontraintes est paraboliquedans l'épaisseur.

Les onditions aux limites sur les surfaes libres sont satisfaites. Les modèles

issus d'une approhe monoouhe équivalente présentent des ontraintes de CT

disontinuesauxinterfaessilesouhesontdespropriétésdiérentes,mêmesila

ontinuité du hamp de déformations est assurée. Cei présente un inonvénient

sérieux lorsde l'analyse loalesur l'interfae des strutures multiouhes.

1.2.2 Approhe par ouhe

Ces approhes sont destinées justement àmieux dérireles eets d'interfae.

Plusieurs modèles issus de l'approhe par ouhe ont été proposés [130, 45, 46,

94,36,27, 49,2,30,42, 43℄.Lemultiouheest subdiviséen sous-strutures(or-

respondanten faitàhaqueouhe ouhaqueensemble deouhes).Onapplique

àhaquesous-struture unethéoriedu premierordreouun modèled'ordresupé-

rieur. Lesmodèles de e type sont relativement oûteux (lenombre de variables

dépend du nombre de ouhes), mais permettent l'obtention de résultats plus

préis, notamment en e qui onerne le alul des ontraintes hors plan. D'une

manièregénérale, lesmodèlesissus de l'approhepar ouhe peuvent êtrelassés

endeuxgroupes:lesmodèlesàouhesdisrètes,oùhaqueouheestonsidérée

ommeune plaque en imposant les onditions de ontinuité en déplaements ou

enontraintesauxinterfaes,etlesmodèlesZig-Zagoùlainématiquesatisfaità

priori les onditions de ontat et est indépendante du nombre de ouhes (Fig.

1.6).

Les modèles Zig-Zag

Ande réduirelenombrede paramètresinonnues,Di Siuvaestlepremierà

proposer lemodèleZig-Zagdupremierordre[45, 46,38℄. Danse modèle,lesdé-

plaements membranaires sont lesrésultats de la superposition du hampglobal

desdéplaementsd'unethéoriedu premier ordreetd'unefontion Zig-Zag(ave

l'emploi de la fontion d'Heaviside) [52℄. La fontion Zig-Zag donne une ontri-

bution des déplaements membranaires, ontinue en z, mais sa dérivée première

est disontinue à l'interfae (Fig. 1.7). Les déformations transversales sont don

disontinues et la ontinuité des ontraintes de CT aux interfaes est assurée.

L'avantage prinipaldu hampde déplaements desmodèlesZig-Zagrésidedans

labonne modélisationde ladistorsionde lanormaleà lasurfae déformée,ainsi

quedans lavériationdes onditionsdeontinuité, sansaugmenterpourautant

lenombre etl'ordredes équationsfondamentales de la théoriedu premierordre.

(36)

z

Premier ordre z

Ordre superieur

x, y

Interfaces

(a) modèleàouhesdisrètes

z

Premier ordre

z

ordre superieur

x,y

Interfaces

Champs de déplacements sans effet Zig-Zag Fonction

Zig-Zag

- - - -

(b)modèleZig-Zag

Fig.1.6Champdedéplaementspourlesdeuxatégoriesdemodèles.Approhe

inématique

En se basant sur leonept Zig-Zag premierordre[45℄, plusieurs auteurs

ont réalisé des améliorations signiatives du modèle en question [94, 10, 63,

29, 30, 68℄. L'amélioration prinipale est l'introdution d'une distribution non

linéairedes déplaements. On superpose lehamp zig-zag(linéairepar moreau)

à un hamp de déplaements d'ordre supérieur (souvent ubique) [139, 138, 68,

75, 110℄(Fig.1.8). Lesonditionsde ompatibilitésontsatisfaitessurlessurfaes

supérieure etinférieure des plaques pour réduirelenombre de paramètres.

Les résultatsnumériquesdetous es travauxmontrentquelemodèleZig-Zag

assure un bon ompromis entre la préision des solutions et le oût de alul.

Néanmoins, les modèles Zig-Zag ont des limites de validation dans l'analyse du

délaminage. Le alul des ontraintes de CT par les équations onstitutives des

modèles Zig-Zag devient, moins préis quand le rapport d'élanement diminue

[63℄. Un autre inonvenient des modèles Zig-Zag, tout omme pour les modèles

d'ordre supérieur, est laontinuité de type

C ¹

requise quiomplique leur implé- mentation numérique.

Les modèles à ouhes disrètes

Les modèles à ouhes disrètes adoptent une approximation plus ne des

hamps suivant l'épaisseur du multiouhe que les modèles de plaque d'ordre

supérieur ou Zig-Zag, puisqu'ils proposent une inématique par ouhe plutt

qu'une inématiqueglobale (Figs.1.6 et1.9).Enfait, ave lesmodèlesà ouhes

(37)

Linéaire Zig-Zag Linéaire + Zig-Zag

z = 0 Ω

z z z

4 2 3

1

Fig. 1.7 Champde déplaementsdes modèles zig-zagdu premierordre [29℄

Non Linéaire Zig-Zag Non Linéaire + Zig-Zag

z z z

z = 0 Ω 4

3 2 1

Fig. 1.8 Champde déplaements des modèles zig-zagd'ordre supérieur[29℄

(38)

Fig. 1.9 Représentation des déplaements etdes fontions d'interpolation La-

grangienne globalesutilisées dans lathéorie LWT. [29℄

ouplées par des eorts d'interfae. Les onditions de ontinuité aux interfaes

sontassurées. Lenombrede paramètresinonnues dépend du nombre de ouhes

de laplaque omposite.

➤

^Dans ^leurs^travaux^[130,^121, ^96, ^135, ^129,^146℄, ^les^auteurs^proposent^une

inématique du premierordre oud'ordre supérieur par ouhe. Les équa-

tions fondamentales par ouhe sont obtenues en utilisant le prinipe des

travauxvirtuels.Lesonditionsauxlimitessontégalementdonnées ouhe

par ouhe.

➤

^Les^travaux^suivants^[104,^125,^69, ^114℄êt^[148, ^149℄ûtilisentûneâpproxi-

mation des hamps de ontraintes et de déplaements par ouhe ou une

ontraintemixte inématique:

[104℄ utilisentune fontion paraboliquepour lesontraintes de CT etle

déplaement transversal. Ils développent un modèle basé sur l'approhe

disrèteparouheen introduisantunélémentnilagrangienà9n÷uds

etl'élément Hétérosis;

[125℄ utilisent un hamp de ontraintes dont la omposante de CT est

quadratiqueparouheetlesdéplaementssontonsidérésubiquespar

ouhe etontinus auxinterfaes;

[69℄ proposent une approhe dans laquelle le hamp de ontraintes est

onstruitsouslaformed'unproduitde fontionsàvariablesséparéespar

ouhe, àpartirdel'équilibredes foresetdesmoments.Lesontraintes

planes sontsupposées onstantes dans l'épaisseur;

[148, 149℄ utilisentles fontions de ontraintes par ouhe [82℄ pour dé-

terminer lesontraintes interlaminaires. Ellessont approhées de façon

polynmialedans l'épaisseur;

(39)

dans haque ouhe disrète, àtravers l'épaisseur du stratié,inlut des

distributions quadratiques etubiquesdes déplaementsplans, ajoutéà

ela des approximationslinéairesassoiées àlathéoriedu premierordre

par ouhe.

➤

^Parmi ^les ^modèles ^à ^ouhes ^disrètes ^existants, ^nous ^pouvons ^trouver

des modèles multipartiulaires. Le premier travail semble être elui de

Pagano [107℄ qui propose le modèle loal. Celui-i est onstruit à partir

de laformulationvariationnellede Hellinger-Reissneretd'uneapproxima-

tion polynmiale des hamps de ontraintes par ouhe. Les polynmes

sont du premier degré pour les ontraintes membranaires, quadratiques

pour les ontraintes de CT et don ubiques pour les ontraintes nor-

males. La formulation variationnelle de Hellinger-Reissner, restreinte aux

approximations de es hamps de ontraintes, onduit à une inématique

du multiouhe à 7nhamps en (x; y) ( n étant le nombre de ouhes de

laplaque). Ces hamps inématiquesontiennent des omposantes orres-

pondantes àdes moments du seondordre qui n'ont pas un sens physique

très lair. La formulation mixte de Hellinger-Reissner permet de déduire

le omportement élastique linéaire généralisé du modèle. Ce modèle pose

quelquesdiultésauniveaudesonditionsauxlimitesetresteassezlourd

omptetenu dunombre élevéde hampsinématiques intervenantdans la

formulation.Ce modèle aété le point de départ pour un ensemble de tra-

vaux,dontl'objetifestdeproposerunesériedesimpliationspermettant

d'alléger la formulation tout en onservant un bon niveau de préditibi-

lité, nous itons en partiulier les travaux développés dans les référenes

[36, 26, 59,48, 27, 97℄.

1.2.3 Approhe par développement asymptotique

Le développement asymptotique est appliqué à des strutures a priori peu

épaisses, oùle rapport entre l'épaisseur et la plus grande dimension est petit. Il

estdon natureld'envisager un développementasymptotique suivante rapport.

Ce développement intervientauniveau de l'intégrationdes équationsde l'élasti-

ité(équationsonstitutives,équationsdemouvement).Lesréférenes[78,4,150℄

utilisent les résultats de la théorie lassique des plaques. Puis, au voisinage du

bord, lesauteursorrespondantsposent leproblème tridimensionnelde ladéter-

minationdes hamps (déplaementset ontraintes). Ce problème est déomposé

en problèmes bidimensionnels (ouhes limites perpendiulaires au bord). En-

suite,onintroduitune approhe mixteen ontrainte-déplaementrésoluepar des

développements en séries de Fourier par exemple. L'endommagement dans les

(40)

1.3 Fateurs de orretion du CT

Danslesannées70,lehampdedéplaementsd'unpointquelonquedeplaque

fût basé sur lathéorie du premierordre. Enoptantpoure hoix,les herheurs

onsidéraient que les ontraintes et les déformations de CT sont onstantes à

travers l'épaisseur. Dans le as réel, ei n'est pas vrai. En eet, les ontraintes

deCTsontquadratiquesàtraversl'épaisseur(Fig.1.1).Pourorrigerlaonstane

des ontraintes de CT, dont l'expression est issuede la théoriedu premierordre,

des fateursde orretion sontintroduits.

Lesfateursdeorretionsontalulésàl'aided'uneomparaisonentrel'éner-

gie de CT assoiée à la théorie du premier ordre et elle due aux ontraintes de

CT. Ces ontraintes sont déduites des équations de l'équilibre tridimensionnel

[80, 136, 23℄. Un alul plus exat [6℄ des fateurs de orretion est obtenu en

omparant l'énergie de isaillementdu premier ordre et elle assoiée à la théo-

rie d'ordre supérieur. Dans le as de la théorie du premier ordre, le ÷ient

orretif

k

^permet ^d'estimer ^a ^priori ^la sensibilité des poutres au isaillement transversal.Dans unesetionomposite,ela permetd'optimiser lesorientations

des bres quand il s'agit de matériau unidiretionnel ou les épaisseurs relatives

des diérentes ouhes dans lesautres as.

Les fateurs de orretion

k 11 ; k 22 ; k 12

Les fateurs peuvent devenir très petits pour les strutures sandwihs. Vla-

houtsis[141℄proposeuneétudedétailléesurl'évolutiondeesfateurssuivantle

type de stratiation.Il a notamment onstaté que, quand ononsidère un mul-

tiouhe à nombre de ouhes roissant, lesfateurs de orretion ne onvergent

pas vers 5/6, mais vers une autre valeur, dépendant du matériauutilisé dans la

ouhe élémentaire. Nous pouvons apporté une expliation à e phénomène. En

eet, lorsque le nombre de ouhes augmente, les ontraintes de CT tendent à

devenir paraboliques (omme dans une plaque homogène). Par ontre, lesdéfor-

mationsdeCTseronttoujoursparaboliquesparmoreaux,avedesdisontinuités

proportionnellesà

G 13 /G 23

^si^les ^bres ^sont suessivement orientées à 0°et 90°.

Or le fateur de orretion, essentiellement basé sur un ritère énergétique, uti-

Mod´ elisation num´ erique des structures composites multicouches ` a l’aide d’une approche discr` ete au sens de Mindlin.