Approhe par ouhe

Ces approhes sont destinées justement àmieux dérireles eets d'interfae.

Plusieurs modèles issus de l'approhe par ouhe ont été proposés [130, 45, 46,

94,36,27, 49,2,30,42, 43℄.Lemultiouheest subdiviséen sous-strutures

(or-respondanten faitàhaqueouhe ouhaqueensemble deouhes).Onapplique

àhaquesous-struture unethéoriedu premierordreouun modèled'ordre

supé-rieur. Lesmodèles de e type sont relativement oûteux (lenombre de variables

dépend du nombre de ouhes), mais permettent l'obtention de résultats plus

préis, notamment en e qui onerne le alul des ontraintes hors plan. D'une

manièregénérale, lesmodèlesissus de l'approhepar ouhe peuvent êtrelassés

endeuxgroupes:lesmodèlesàouhesdisrètes,oùhaqueouheestonsidérée

ommeune plaque en imposant les onditions de ontinuité en déplaements ou

enontraintesauxinterfaes,etlesmodèlesZig-Zagoùlainématiquesatisfaità

priori les onditions de ontat et est indépendante du nombre de ouhes (Fig.

1.6).

Les modèles Zig-Zag

Ande réduirelenombrede paramètresinonnues,Di Siuvaestlepremierà

proposer lemodèleZig-Zagdupremierordre[45, 46,38℄. Danse modèle,les

dé-plaements membranaires sont lesrésultats de la superposition du hampglobal

desdéplaementsd'unethéoriedu premier ordreetd'unefontion Zig-Zag(ave

l'emploi de la fontion d'Heaviside) [52℄. La fontion Zig-Zag donne une

ontri-bution des déplaements membranaires, ontinue en z, mais sa dérivée première

est disontinue à l'interfae (Fig. 1.7). Les déformations transversales sont don

disontinues et la ontinuité des ontraintes de CT aux interfaes est assurée.

L'avantage prinipaldu hampde déplaements desmodèlesZig-Zagrésidedans

labonne modélisationde ladistorsionde lanormaleà lasurfae déformée,ainsi

quedans lavériationdes onditionsdeontinuité, sansaugmenterpourautant

lenombre etl'ordredes équationsfondamentales de la théoriedu premierordre.

z

Premier ordre z

Ordre superieur

x, y

Interfaces

(a) modèleàouhesdisrètes

z

Premier ordre

z

ordre superieur

x,y

Interfaces

Champs de déplacements sans effet Zig-Zag Fonction

Zig-Zag

-(b)modèleZig-Zag

Fig.1.6Champdedéplaementspourlesdeuxatégoriesdemodèles.Approhe

inématique

En se basant sur leonept Zig-Zag premierordre[45℄, plusieurs auteurs

ont réalisé des améliorations signiatives du modèle en question [94, 10, 63,

29, 30, 68℄. L'amélioration prinipale est l'introdution d'une distribution non

linéairedes déplaements. On superpose lehamp zig-zag(linéairepar moreau)

à un hamp de déplaements d'ordre supérieur (souvent ubique) [139, 138, 68,

75, 110℄(Fig.1.8). Lesonditionsde ompatibilitésontsatisfaitessurlessurfaes

supérieure etinférieure des plaques pour réduirelenombre de paramètres.

Les résultatsnumériquesdetous es travauxmontrentquelemodèleZig-Zag

assure un bon ompromis entre la préision des solutions et le oût de alul.

Néanmoins, les modèles Zig-Zag ont des limites de validation dans l'analyse du

délaminage. Le alul des ontraintes de CT par les équations onstitutives des

modèles Zig-Zag devient, moins préis quand le rapport d'élanement diminue

[63℄. Un autre inonvenient des modèles Zig-Zag, tout omme pour les modèles

d'ordre supérieur, est laontinuité de type

C ¹

requise quiomplique leur implé-mentation numérique.

Les modèles à ouhes disrètes

Les modèles à ouhes disrètes adoptent une approximation plus ne des

hamps suivant l'épaisseur du multiouhe que les modèles de plaque d'ordre

supérieur ou Zig-Zag, puisqu'ils proposent une inématique par ouhe plutt

qu'une inématiqueglobale (Figs.1.6 et1.9).Enfait, ave lesmodèlesà ouhes

Linéaire Zig-Zag Linéaire + Zig-Zag

z = 0 Ω

z z z

4

2 3

1

Fig. 1.7 Champde déplaementsdes modèles zig-zagdu premierordre [29℄

Non Linéaire Zig-Zag Non Linéaire + Zig-Zag

z z z

z = 0 Ω 4

3

2 1

Fig. 1.8 Champde déplaements des modèles zig-zagd'ordre supérieur[29℄

Fig. 1.9 Représentation des déplaements etdes fontions d'interpolation

La-grangienne globalesutilisées dans lathéorie LWT. [29℄

ouplées par des eorts d'interfae. Les onditions de ontinuité aux interfaes

sontassurées. Lenombrede paramètresinonnues dépend du nombre de ouhes

de laplaque omposite.

➤

^{Dans leurstravaux[130,121, 96, 135, 129,146℄, lesauteursproposentune}

inématique du premierordre oud'ordre supérieur par ouhe. Les

équa-tions fondamentales par ouhe sont obtenues en utilisant le prinipe des

travauxvirtuels.Lesonditionsauxlimitessontégalementdonnées ouhe

par ouhe.

➤

^{Lestravauxsuivants[104,125,69, 114℄et[148, 149℄utilisentune}

approxi-mation des hamps de ontraintes et de déplaements par ouhe ou une

ontraintemixte inématique:

[104℄ utilisentune fontion paraboliquepour lesontraintes de CT etle

déplaement transversal. Ils développent un modèle basé sur l'approhe

disrèteparouheen introduisantunélémentnilagrangienà9n÷uds

etl'élément Hétérosis;

[125℄ utilisent un hamp de ontraintes dont la omposante de CT est

quadratiqueparouheetlesdéplaementssontonsidérésubiquespar

ouhe etontinus auxinterfaes;

[69℄ proposent une approhe dans laquelle le hamp de ontraintes est

onstruitsouslaformed'unproduitde fontionsàvariablesséparéespar

ouhe, àpartirdel'équilibredes foresetdesmoments.Lesontraintes

planes sontsupposées onstantes dans l'épaisseur;

[148, 149℄ utilisentles fontions de ontraintes par ouhe [82℄ pour

dé-terminer lesontraintes interlaminaires. Ellessont approhées de façon

polynmialedans l'épaisseur;

dans haque ouhe disrète, àtravers l'épaisseur du stratié,inlut des

distributions quadratiques etubiquesdes déplaementsplans, ajoutéà

ela des approximationslinéairesassoiées àlathéoriedu premierordre

par ouhe.

➤

^{Parmi les modèles à ouhes disrètes existants, nous pouvons trouver}

des modèles multipartiulaires. Le premier travail semble être elui de

Pagano [107℄ qui propose le modèle loal. Celui-i est onstruit à partir

de laformulationvariationnellede Hellinger-Reissneretd'une

approxima-tion polynmiale des hamps de ontraintes par ouhe. Les polynmes

sont du premier degré pour les ontraintes membranaires, quadratiques

pour les ontraintes de CT et don ubiques pour les ontraintes

nor-males. La formulation variationnelle de Hellinger-Reissner, restreinte aux

approximations de es hamps de ontraintes, onduit à une inématique

du multiouhe à 7nhamps en (x; y) ( n étant le nombre de ouhes de

laplaque). Ces hamps inématiquesontiennent des omposantes

orres-pondantes àdes moments du seondordre qui n'ont pas un sens physique

très lair. La formulation mixte de Hellinger-Reissner permet de déduire

le omportement élastique linéaire généralisé du modèle. Ce modèle pose

quelquesdiultésauniveaudesonditionsauxlimitesetresteassezlourd

omptetenu dunombre élevéde hampsinématiques intervenantdans la

formulation.Ce modèle aété le point de départ pour un ensemble de

tra-vaux,dontl'objetifestdeproposerunesériedesimpliationspermettant

d'alléger la formulation tout en onservant un bon niveau de

préditibi-lité, nous itons en partiulier les travaux développés dans les référenes

[36, 26, 59,48, 27, 97℄.

Dans le document Mod´ elisation num´ erique des structures composites multicouches ` a l’aide d’une approche discr` ete au sens de Mindlin. (Page 35-39)