Modèles éléments nis de plaques et de oques omposites 35

om-posites

On ne peut aborder la littérature sur le sujet sans iter l'artile de référene

de Ahmad, Irons et Zienkiewiz [3℄. Ces auteurs ont proposé pour la première

fois un élément ni assez partiulier : il s'agit d'un modèle de oque à 8 n÷uds

dérivantd'un solide3D quidégénère sur une surfaemoyenne,ave la possibilité

de prendre en ompte le gauhissement d'une oque. Ce travail pionniera laissé

plaeàundéveloppementextraordinairedurantlesquatredernièresdéennies,en

matièred'élémentsnisàinématiquepartiulière.Unesynthèse bibliographique

est résumée par [73℄ et[88℄.Un grandnombre d'auteurs, ommeBathe, Hughes,

Zienkiewih,Taylor,Dhatt,et.ontapportéunsavoirfairequiapermisderendre

laformulation d'éléments nis de Reissner-Mindlinsimple etabordable.

Les premiers éléments nis multiouhes sont onstruits en se basant sur les

théoriesdu premierordre, notammentles modèlesde premierordrede

Reissner-Mindlinave des fateursde orretion[80,7, 6,11, 35, 8,60, 9, 75, 43, 92℄. Ces

éléments nis possèdent 5 degrés de liberté par n÷ud. L'intégration numérique

réduite est souvent utilisée pour éviter le phénomène de bloage en CT. Grâe

à leurs avantages numériques (formulation simple, ontinuité

C ⁰

, les degrés de liberté et les onditions limites physiquement failes à interpréter, onvergene

rapide. .. )et leur préision en estimant des hamps globaux,es éléments nis

restentlesplusutilisésetsontprésentsdanstouslesodesdealulommeriaux.

Undes inonvénients majeurs de e type d'élémentsréside dans l'estimation des

fateursde orretion du CT pour modéliser des strutures omposites.

Eléments nis basés sur la théorie du premier ordre (FSDT : First

order Shear Deformation Theory) :

Les dernières déennies ont vu le développement d'éléments nis, basés sur

des théories du premier ordre (Reissner/Mindlinpour lesplaques en exion/CT

et/ou Kirhho pour les plaques mines sans eet de CT), l'emporter sur elui

d'élémentsnis plus exotiques,ditsd'ordresupérieurs,qui àl'époqueétaient

enore à leur stade embryonnaire. Une liste non exhaustive d'éléments nis du

premierordre,enpartiulierpourlesplaquesépaissesenexion/CT,mériteainsi

d'êtreitée :

➤

^{LesélémentsDSQetDSTde Lardeur[80℄sontbasés sur unmodèle}

varia-tionnel mixte modié. L'auteur alule la déformation de CT en partant

des équations d'équilibre (

{ γ }

^onstant,

w

^ubique,

β

quadratique). En-suite,ilajouteà haqueté de l'élémentdeuxvariablesinématiques(

w x

,

w y

^{) et deux rotations au milieu}

(β s

^et

β n )

^{. Il obtient par exemple}

8β

et

4w

^{pour un} quadrilatère qui seront éliminés par les équations d'équi-libres.Les deux élémentséliminentle verrouillage et ne présentent pas de

nous devons alulerpour haque problème les fateurs de orretion;

➤

Bouabdallah[23℄autiliséuneformulationmixtedetypeHellinger-Reissner en ontrainte. Toutes les ontraintes sont dénies dans un seul veteur

{ σ }

^{qu'ilexprime en termesdes paramètres}

{ α }

^{.Aumoins 14paramètres}

sont néessaires pour pouvoir éviter l'apparition des modes parasites; ils

sont éliminés par ondensation statique au niveau élémentaire. L'élément

quadrilatéral à 4 n÷uds donne de bons résultats sans modes parasites.

Cependant, ette tehnique reste limitée à l'étude des strutures ourbes

essentiellement ylindriques. D'autre part, elle fait appel aux fateurs de

orretion du CT pour simuler le omportement méanique de strutures

omposites multiouhes;

➤

^{L'élémentniproposéparKatili[72℄pourlesplaquesestbasésurla}

théo-rie des plaques épaisses de Reissner/Mindlin (théorie du premier ordre).

La fontionnelle utilisée est de type mixte modié de Hu-Washizu. Les

variablesinématiques

(w, β _x , β _y )

^{de ontinuité}

C ⁰

sontinterpolées de ma-nière quadratiqueen introduisantdes variables

α k

^{aumilieudu té}

k

^.

α k

sont éliminés par une tehnique utilisant les équations d'équilibre.

L'élé-ment ni, baptisé DST-BK élimine le verrouillage en CT et ne présente

pas de modes parasites. Il utilise également les fateurs de orretion du

CT pour simuler le omportement méanique de strutures omposites

multiouhes;

➤

^{ELM4 [6℄ est un élément à 4 n÷uds et 5ddl/n÷ud. Celui-i est obtenu}

via une approhe mixte améliorée. La formulation variationnelle adoptée

introduit des modes inompatibles pour améliorerla préision sur les

dé-formations planes;

➤

^{DMTSDisreteMindlinTriangleforShells[11℄estunélémentdeoque}

triangulaireà3n÷uds,formulésurlabasedunouveaumodèlevariationnel

DDM (Displaement Disrete Mindlin). On introduit de la même façon

que pour DMQS deux hypothèses disrètes de Mindlin (inématique et

méanique) au niveau de la plaque oude la partie exion/CT. DMTS

utilisel'approheparfaettesplanesave uneombinaisondel'élément

plan de membrane lassique CST àelui de plaque en exion/CT DKMT

[70℄;

➤

^{CTMQ20 [35℄ est un élément ni simple de plaque en exion/CT à 4}

n÷uds et 20ddl 5ddl /n÷ud basé sur la théoriedu premier ordre. Il

est proposépourl'analysedes plaquesomposites etstratiées arbitraires.

Cet élémentest onstruit selon laproédure suivante:

les fontions de variation de la rotation et de la déformation de CT le

long de haque té de l'élément sont déterminées à l'aide de la théorie

des poutresde Timohenko;

les hamps élémentaires des déplaements dans leplan et des rotations

ainsi quele hamp des déformations de CT sont déterminés par

utilisa-hybride simple est également proposée pour améliorer les solutions de

ontrainte.

➤

^{Belinha et al [21℄ ont étendu puis utilisé la méthode EFGM : Element}

Free Galerkin Method pour l'analyse des plaques anisotropes et

strati-ées,en onsidérantlathéorie de Reissner-Mindlin(FSDT).Lesfontions

d'approximation sont alulées sur la base d'une approhe au sens des

moindres arrés (MLS: Moving Least Square). Le verrouillage en CT est

évité par l'utilisation de polynmes d'interpolation appropriés. La

onti-nuité étantbien évidemment assurée selon lesauteurs;

➤

^{NHMiSP4/ml[134℄(NaturalHybridMixedwithShearProjetion4-node/}

MultiLayer) est un élément de oque quadrilatéral à 4 n÷uds

isopara-métriqueourbe, ave une formulationvariationnlle hybride naturelle (au

sens de Pian modié)pourla membrane etune formulationvariationnelle

mixte-hybride pour laexion et leCT;

➤

^{Dahia et al [43℄ ont développé un élément ni} quadrilatéral à 4 n÷uds et 5 ddl/n÷ud pour les plaques stratiées, àpartir de l'approhe hybride

des ontraintes basée sur la théorie du premier ordre. Le nouvel élément

appeléHQ4est une extensionde l'élément

9βQ4

^{proposé parMiranda}

et Ubertini en 2006. Ces derniers l'ont reformulé pour introduire le

ou-plage membrane-exion des plaques stratiées. L'élément est onçu pour

être simple, stable et sans verrouillage. Les ontraintes de CT à travers

l'épaisseur du stratié sont reonstruites par l'utilisation des équations

d'équilibretridimensionnelles;

➤

^{Moleiro etal [92℄ ont réemment présenté un modèle d'élémentni mixte}

à 4 n÷uds et 5 ddl/n÷ud pour l'analyse statique des plaques omposites

stratiées. La formulation est basée sur un prinipe variationnel au sens

des moindres arrés que les auteurs onsidérent omme une approhe

al-ternative aux modèles éléments nis issus de formulations variationnelles

faibleslassiques.

Eléments nis basés sur les théories d'ordre supérieur :

➤

^{Engblom et Ohoa[51 ℄ ont développé le modèle QHD40 sur la base d'une}

théoried'ordre supérieur en déplaement ave variation quadratique de u

et v dans l'épaisseur. Il possède huit n÷uds et sept degrés de liberté par

n÷uddans lesoins (3déplaements,deux rotations, deux termes d'ordre

supérieur orrespondant au déplaement dans le plan) et trois degrés de

liberté par n÷ud aux milieux des tés (déplaement transversal et deux

rotations). Les ontraintes de CT sont obtenues à partir des équations

d'équilibreet lesontraintes planes viales équationsonstitutives;

➤

^{Topdar etal[139℄ont développé un élémentni PRHSDT: Present}

Re-ned Higher Order Shear Deformation Theory basé sur la théorie des

7 ddl par n÷ud

(u, v, w, β x , β y , φ x , φ y )

^,

φ x

^et

φ y

^{étant lesangles de}

gau-hissement. Le déplaement transversal

w

^{est approhé par des fontions}

d'interpolationbi-ubique d'Hermite, lesautres variables sont approhées

pardesfontionsd'interpolationbilinéaires.L'élémentniproposésatisfait

les onditions de ontinuité

C ¹

du déplaement transversal aux interfaes etlesonditions de ontraintes nulles sur lesdeux faesinférieureet

supé-rieure. Lesontinuités inter-élémentaires sontainsi satisfaites;

➤

^{Ferreiraetal.[53℄ontproposéunélémentnid'ordresupérieurformulésur}

labase de lathéoriede Reddy [120℄,mais ave uneméthode sansmaillage

(Meshless Method) basée sur des fontions de base multiquadratiques

ra-diales RBFs;

➤

^{Xiao etal.[146℄ ontdéveloppé deux modèles élémentsnis, nommés}

MQ-MLPG et TPS-MLPG, pour l'analyse des plaques omposites stratiées

épaissesélastiques.Pourdévelopperleurmodèle,lesauteursutilisentd'une

part laméthode sansmaillage(MLPG:MeshlessLoalPetrovGalerkin )

ave deux fontionsradialesMQMultiQuadratisetTPS ThinPlate

Splines et, d'autre part la théorie HOSNDPT (Higher Order Shear and

Normal Deformable Plate Theory);

➤

^{Pandit et al.[110℄ ont proposé un élément ni de plaque} isoparamétrique quadrilatéral à 9 n÷uds et 11 ddl par n÷ud, basé sur la théorie d'ordre

supérieur dite Zig-Zag, ave une variation ubique des déplaements

plans; le déplaement transversal étant quadratique.

1.5 Conlusion

Grâeàsonaratèreuniversel,laméthodedesélémentsnis(MEF)estl'outil

d'ingénieurindispensablepourl'analysedesstruturesompositesparlesmodèles

déritsi-dessus.Laplupartdes modèlesEFranésbaséssur lesthéoriesd'ordre

supérieuroude ouhes disrètes présentent un nombrede variables nodales,qui

augmenteave lenombredeouhes,oudesdegrésde liberténononventionnels,

souvent diiles à appliquer en pratique. L'ingénieur doit hoisir entre les EF

lassiques, moins oûteux mais beauoup moins préis au niveau loal, et les

EF ranés, sophistiqués mais oûteux. Il s'agit bien là de l'objetif visé par e

mémoire; à savoir proposer des modèles EF simples et robustes pour l'analyses

des plaques etdes oques ompositeset stratiées.

Formulation théorique d'un modèle

d'élément ni disrêt pour les

plaques omposites. Le modèle

DDM

2.1 Introdution

L'objet de toute théorie de plaque est le alul approhé des grandeurs

général-isées, sur la base d'équations d'équilibre, de ompatibilité et de onditions aux

limites. Ces équations sont omplétées par une loi de omportement reliant les

ontraintes aux déformations généralisées. Rappelons enore une fois que l'on

peut regrouperles théoriesde plaque multiouhes en deux atègories génèrales.

LapremièreatégorieestrelativeauxthéoriesdutypeReissner-Mindlin[91℄

éten-duesauxmultiouhes,oùl'onremplaelemultiouheparuneplaquehomogène

équivalente. Dans la deuxième atégorie, les modèles sont basés sur l'approhe

parouheetsedistinguentparlalinéaritéounondeshampsdansl'épaisseurde

haque ouhe. Néanmoinsen pratique, lemodèle le plus répandu est le modèle

lassique[143℄ oùl'on introduitdes ÷ientsde orretion surles omposantes

de la matrie de omportement en isaillement transversal, pour améliorer la

représentativité de l'eort tranhant. Les résultats obtenus, en partiulier pour

les ontraintes de CT, dépendent essentiellement du hoix des ÷ients

or-reteurs de CT et l'étude des plaques omposites épaisses reste assez aléatoire

par e type d'approhe inématique. En eet, la démarhe adoptée pour

identi-er es ÷ients orreteurs onsiste à postuler l'égalité de ertaines réponses

globales(ontraintesmoyennes,énergiededéformationtransverse,modespropres

. . . ),aluléespardesthéoriesdupremierordre,etellesobtenuesparlathéorie

de l'élastiité tridimensionnelle. Ces fateurs de orretion, notés

k ₁₁ , k ₂₂ , k ₁₂

^,

sont don liés d'une part au matériau et d'autre part au hargement. Ils sont

évalués en onsidérant des hypothèses assoiées au matériau ou au hargement

(exion ylindrique) qui rendent l'identiationpossible,mais diile à justier

dans lesas omplexes. Ontrouvera dans lesréférenes [98,136℄ quelques

proé-dures de alul pour prendre en ompte le aratère multiouhe des struutres

omposites.

Dansehapitre,nousprésentonslaformulationthéoriqueetl'évaluationd'un

nouvelélémentnidupremierordrepourlesplaquesompositesmultiouhes. Il

est basésur un modèlevariationnel endéplaement quenousonsidéronsomme

disrêt, dans la mesure où l'on introduit loalement et de manière disrête des

hypothèses inématiques et méaniques. Ce modèle que nous appelons DDM

(Disrete Displaement Mindlin) fournit un élément ni géométriquement

sim-ple (un quadrilatère à 4 n÷uds et 3 ddl par n÷ud) et eae par l'existene de

ourbures de exion linéaires, issues d'une représentation quadratique des

rota-tions de la normale à la surfae moyenne. Le nouvel élément de plaque, baptisé

DMQPml (Disrete Mindlin Quadrilateral Plate multilayer), est une extension

aux as multiouhes du modèle isotrope DKMQ proposé par Katili [71℄. Nous

avons introduit loalement des hypothèses modiées de Mindlin dans l'élément

DKMQ, pour prendre en ompte le aratère multiouhe des omposites. Il

prend en ompte les eets de CT à travers l'épaisseur et reproduit les résultats

de plaques mines, quelque soit l'élanement (absene de vérrouillage en CT).

Desmodèlesmixte-hybrides isotropesbaséssur lamêmeapprohe ontégalement

été proposés par Ayadet ses ollaborateurs [14, 11℄.

2.2 Formulation théorique de l'élément de plaques

multiouhes DMQPml

Dansette setion,nous développerons lespartiesgéométriques, inématiqueset

méaniques néessaires à la onstrution du modèle DMQPiso 1

. L'extension au

as de plaques multiouhes fera l'objet de lasetion 2.2.2.

2.2.1 Rappel du modèle isotrope. L'élément DMQPiso

Une plaque est un solide 3D déni par une surfae de référene plane (plan xy

noté A qui est généralement le plan moyen de la plaque) et par une épaisseur

(notée h) petite par rapport aux autres dimensions (longueur et largeur) (Fig.

2.1). Pour les plaques homogènes isotropes, la validité de la théorie de plaque

retenue dépend des aratéristiques géométriques. On admet généralement les

hypothèses de Mindlin si

4 ≤ L/h ≤ 20

^{et elles de Kirhho si}

L/h ≻ 50

^{où L}

estunedimensionaratéristiquedansleplanxy. Leas

20 < L/h ≤ 50

^onstitue

1

une transition pour laquelle la plaque peut-être onsidérée omme modérément

Surface moyenne (z=0)

o

q p k

r

Figure2.1: Géométrie d'une plaque

Approximation des variables inématiques

ˆ Géométriede l'élémentDMQPiso :

L'élémentDMQPiso(Fig. 2.2)possèdequatren÷udset3ddlparn÷ud

(w i , β xi , β yi )

: le déplaementtransversal suivantl'axe zetles deux rotationsde lanormaleà

lasurfae moyenne dans lesdeux plans

x − z

^et

y − z

^.

(a) Elément de départ DMQP β (b) Elément final DMQP

Elimination des ∆β sk

β xi ; β yi W ; i

Figure 2.2: Géomètrie de l'élément DMQP

x =

x _i , y _i

^{sont lesoordonnées desn÷uds,}

N _i

^lesfontions d'interpolationbilinéaires

{ N i } { P k }

Table 2.1: Fontions d'interpolation bi-linéaireset quadratiques inomplètes de

l'élément initialDMQS

β

ˆ Cinématique d'une plaque de Reissner-Mindlin :

Dans la onguration intiale

C ⁰

, le veteur position du point quelonque

q 0

^est

donné par :

Enonsidérantuniquementleseets deexionetdeCT, leveteurpositiond'un

point quelonque q de la plaque s'érit dans la onguration déformée

C

(Fig.

2.3) :

~x q = ~x p0 + w(x, y)~k + z~kΛ~θ ; n

~θ o T

= h θ x θ y θ z i

^(2.3)

ˆ Champdes déplaements :

Le hamp des déplaements virtuels orrespondant, supposé petit entre lesdeux

ongurations

C ⁰

et

C

,est déni par :

w, β x , β y

^sont respetivement le déplaement transversal et les deux rotations de la normale dans les plans x-z et y-z. Leur approximation doit satisfaire la

ondition de ontinuité

C ⁰

.

L'élément DMQPiso étant formulé seulement en exion/CT, les omposantes

u ^∗ (x, y)

^et

v ^∗ (x, y)

^{du veteur déplaement de membrane} n'apparaissent don pas dans l'expression de

− → u ^∗ _q (x, y)

^{. Nous proposons d'approher les rotations}

β _x

^et

β _y

^{à l'aide d'une} interpolation quadratique inomplète qui fera apparaître des aroissementsde rotations

∆β sk

^{sur les quatre bords} élémentaires.

ɂ _x

Figure2.3: Cinématique d'un point d'une plaque en exion/CT.

β x

Figure2.4: Cosinusdireteurs sur un bord élémentaire k

∆β _sk

^{sont lesvariables assoiées àla} représentation quadratique de

β _x

^et

β _y

^.

Les÷ients

C k

^et

S k

^{sontlesosinusdireteursd'unté}

k

^{assoiéauxn÷uds}

Variation de β _n

Figure2.5: Variationdes rotations

i

^et

j

^{(Fig. 2.4). A partir des oordonnées des n÷uds, on peut dénir es}

÷ients de la façon suivante:

C k = cosθ k = ^x _L ^ji

La relation entre les rotations

β x

^et

β y

^{et les rotations}

β s

^et

β n

^{devient ainsi}

possible grâe à es deux ÷ients :

β _s

De façon plus générale, nous pouvons noter que, sur un té de n÷uds

ex-trémités

i

^et

j

^{et de n÷ud milieu}

k

^, l'approximation des rotations

β s

^et

β n

Le leteur pourra onstater que les approximations retenues pour

β x

^et

β y

^sont

tellesque

β s

^est quadratiqueet

β n

^{linéaireenfontionde}

s

^{sur unté(Fig. 2.5).}

Champs des déformations

Dans le adre des petites déformations et des petits déplaements entre les

on-gurations initiale et nale, l'hypothèse de Mindlin/Reissner permet de dénir

les diérentes omposantes du veteur des déformations omme suit :

{ ε s } = { ε 0 } + z { ε 1 }

^(2.10)

{ ε 1 } = { χ } , { χ } =

de exionet de CT.

{ χ }

^{est leveteur des ourburesde exion. Il est important}

de remarquer que dans la diretion de l'épaisseur (axe z), les déformations de

exion sontlinéaires etles déformations de CT sont onstantes.

REMARQUE : On se limitera au as d'une plaque de Reissner/Mindlin en

exion et CT, sans la prise en ompte du omportement membranaire.

Seules les ourbures de exion

{ χ }

^{et les} déformations de CT seront par onséquent onsidérées dans l'étude.

➤

^{Courbures de exion :}

L'éritured'unereprésentationmatriielleduveteurdesourburesdeexion

né-essitel'approximationdestermes

β x,x

^,

β x,y

^,

β y,y

^et

β y,x

^{. Unexemple}d'approximation de

β x,x

^{à partir de} l'interpolationde larotation

β x

^{(2.5) onduità :}

β x,x = ^∂N _∂x ¹ β x1 + ^∂N _∂x ² β x2 + ^∂N _∂x ³ β x3 + ^∂N _∂x ⁴ β x4 +

∂P 5

∂x c 5 ∆β s5 + ^∂P _∂x ⁶ c 6 ∆β s6 + ^∂P _∂x ⁷ c 7 ∆β s7 + ^∂P _∂x ⁸ c 8 ∆β s8

(2.13)

Lesdérivées en

x

^{peuvent être obtenues en fontion des dérivées en}

ξ

^du

sys-tèmede référene àl'aide de la relationsuivante :

_δ

Jao-bienne

[J]

^{. Cette dernière s'érit ommesuit :}

[J ] =

{ χ } = [B f ]

Il est importantde noter quelesinonnues nodales

w i

^{n'ont auuntermeassoié}

dans lamatrie

[B f ]

^{. Ellessont} introduitesnaturellement lorsde l'évaluationde l'équation (2.28).

ˆ Déformations naturelles de CT. Utilisation de la méthode des

déformations de substitution (méthode ANS)

Nousdénissons lesdéformationsartésiennes de CT

{ γ 0 }

^{en fontiondes}

défor-mations isoparamétriques

{ γ ξ }

^{que nous} interpolons linéairement, deux à deux, sur lesbords élémentaires(Fig. 2.6).

{ γ 0 } =

surlesquatretés(5,6,7,8)respetivement. Ellessontreliéesauxdéformations

tangentielles de bord

γ _s5 , γ _s6 , γ _s7 , γ _s8

^{par :}

1

2 4

5 6 7

8

x y

. . ^z

3

γ ηζ6

n v

γ ξζ5

γ ξζ7

n v

γ ηζ8

n v

ξ η

γ s5

γ s8

γ s7

γ s6

Figure2.6: Déformations de CT de bords

Nousérivonsdon

{ γ 0 }

^enfontionde

{ γ sk }

^{souslaformematriiellesuivante}

:

{ γ 0 } = [N γ ] { γ sk } ; { γ sk } ^T =< γ s5 γ s6 γ s7 γ s8 >

^(2.26)

[N γ ] = ¹ ₄

j 12 (1 − η) L 5 j 11 (1 + ξ) L 6

j 22 (1 − η) L 5 j 21 (1 + ξ) L 6

− j 12 (1 + η) L 7 − j 11 (1 − ξ) L 8

− j 22 (1 + η) L 7 − j 21 (1 − ξ) L 8

(2.27)

Hypothèses disrètes de Mindlin

Nousintroduisonsles hypothèses disrètes de Mindlin, dans lebut d'éliminer les

rotations quadratiques

{ ∆β _sk }

^{et d'érire les} déformations de exion et de CT uniquement en fontiondes degrés de liberté élémentaires

{ U n }

^.

ˆ Hypothèse inématique :

Lesdéformations naturellesouisoparamétriquesde bord

{ γ sk }

^{sontprojetées sur}

lesdegrés de liberté élémentaires

{ U n }

^et

{ ∆β sk }

^{sousune formedisrète, dénie}

par une intégrale de ontour le longde haque té k :

L k

Z

0

(γ sk − ˜ γ sk ) ds = 0 (

^{Hyp. inématique}

)

^(2.28)

Cette équation nous indique que la diérene entre les déformations réelles

γ _s

etelles exprimées sous formedisrète

γ ˜ s

^{doivents'annuler sur haun des tés}

d'un élément. L'expression de

γ sk

^{sur un té en fontion des} déformations

γ xk

et

γ yk

^{est donnée par :}

γ sk = C k γ xk + S k γ yk = (w ,s + β s ) _k

^(2.29)

γ _sk L _k = w _j − w _i + ^L ₂ ^k (β _si + β _sj ) + ² ₃ L _k ∆β _sk

γ sk L k = w j − w i + ^L ₂ ^k (C k β xi + S k β yi ) + ^L ₂ ^k (C k β xj + S k β yj ) + ² ₃ L k ∆β sk

(2.30)

β sm = C k β xm + S k β ym

^(2.31)

L'appliationdel'hypothèseinématique(2.30)surleték onduitàunélément

à 8 n÷uds ave des degrés de liberté additionnels aux n÷uds milieux des tés.

Celui-ipossèdeenorelesrotations

{ ∆β sk }

^{ommeddl dont}l'utilisationest peu pratique ar elle néessite des maillages éléments nis adaptés. Ce problème a

été signalé dans les travaux de Zienkiewiz etses ollaborateurs [152, 103℄ ainsi

que eux de Ayad et al.[14℄. Nous avons opté pour une méthode heuristique

qui onsiste à utiliser une deuxièmehypothèse modiée de Mindlin, dans le but

d'extraire es mêmes rotations

{ ∆β sk }

^{et de les élimineren les}substituant dans l'expression des déformations de bords

{ γ sk }

^.

ˆ Hypothèse méanique :

L'hypothèse méanique, issue de la loi de omportement en CT, s'érit pour un

matériauhomogène isotrope:

¯

γ sk = T s

D _ct

^(2.32)

Considéronslesrelationsd'équilibrereliantl'eort

T s

^{auxmomentsde exion}

sur lebord k (Fig. 2.7) :

T s = M s,s + M sn,n

^(2.33)

M s

^et

M sn,n

^{sont donnés par :}

M s = D f (β s,s + νβ n,n ) M sn = D f 1−ν

2 (β s,n + νβ n,s )

^(2.34)

D ct = Eh

2(1 + ν) k

^et

D f = Eh ³

12(1 − ν ² )

^(2.35)

Il est possible d'obtenir l'hypothèse méanique en fontion des rotations

tan-gentielle

β s

^{et normale}

β n

^{, par} l'introdution des équations (2.33 et 2.34) dans l'équation (2.32). Nous érivons :

¯

γ sk = D f

D _ct

β s,ss + νβ n,ns + 1 − ν

2 (β s,nn + νβ n,ns )

(2.36)

i

A s : section transversale A _n : section normale s : direction tangentielle n : direction normale h

de plaque au voisinage au bord k

Figure2.7: Hypothèses de Mindlin sur un bord élémentaire i-j

Lesexpressions de

β s

^et

β n

^{sont données par les deux équations (2.8, 2.9). Nous}

obtenons nalement l'expression de

γ ¯ sk

^{en fontion seulement de la dérivée}

se-onde de

β s

^{par rapport à}

s

^:

se-onde de

β s

^{par rapport à}

s

^:

Dans le document Mod´ elisation num´ erique des structures composites multicouches ` a l’aide d’une approche discr` ete au sens de Mindlin. (Page 43-188)