Mod´elisation, analyse math´ematique et num´erique de divers ´ecoulements compressibles ou incompressibles en couche mince.
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Texte intégral
(2) Plan de l’exposé. Plan de l’exposé. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 2 / 43.
(3) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 3 / 43.
(4) Dynamique de l’atmosphère Dynamique : I I I I. Fluide compressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux Fortement stratifiés en densité. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 4 / 43.
(5) Dynamique de l’atmosphère Dynamique : I I I I. Fluide compressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux Fortement stratifiés en densité. Modélisation : Équations de Navier-Stokes compressibles Approximation hydrostatique −→ Équations primitives compressibles. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 4 / 43.
(6) Dynamique de l’atmosphère Dynamique : I I I I. Fluide compressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux Fortement stratifiés en densité. Modélisation : Équations de Navier-Stokes compressibles Approximation hydrostatique −→ Équations primitives compressibles. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 4 / 43.
(7) Dynamique de l’atmosphère Dynamique : I I I I. Fluide compressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux Fortement stratifiés en densité. Modélisation : Équations de Navier-Stokes compressibles Approximation hydrostatique −→ Équations primitives compressibles. Résultats mathématiques : I I. Existence de solutions faibles globales en temps du modèle en dimension 2 Stabilité de solutions faibles en temps du modèle en dimension 3. M. Ersoy and T. Ngom Existence of a global weak solution to one model of Compressible Primitive Equations. Submitted, available at http://hal.archives- ouvertes.fr/hal- 00487370/fr/, 2010. M. Ersoy, T. Ngom and M. Sy Compressible Primitive Equations : formal derivation and stability of weak solutions. Submitted, available at http://hal.archives- ouvertes.fr/hal- 00488398/fr/, 2010.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 4 / 43.
(8) Sédimentation Sédiment : Matériau issu de l’érosion. Dynamique : I I I. Fluide incompressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 5 / 43.
(9) Sédimentation Sédiment : Matériau issu de l’érosion. Dynamique : I I I. Fluide incompressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux. Modélisation : Équations de Saint-Venant-Exner I I. Partie hydrodynamique −→ Équations de Saint-Venant Partie morphodynamique −→ Équation d’Exner. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 5 / 43.
(10) Sédimentation Sédiment : Matériau issu de l’érosion. Dynamique : I I I. Fluide incompressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux. Modélisation : Équations de Saint-Venant-Exner I I. Partie hydrodynamique −→ Équations de Saint-Venant Partie morphodynamique −→ Équation d’Exner. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 5 / 43.
(11) Sédimentation Sédiment : Matériau issu de l’érosion. Dynamique : I I I I. Fluide incompressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux Fond variable, exemple : nid d’une rivière. Modélisation : Équations de Saint-Venant-Exner I I. Partie hydrodynamique −→ Équations de Saint-Venant Partie morphodynamique −→ Équation d’Exner. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 5 / 43.
(12) Sédimentation Sédiment : Matériau issu de l’érosion. Dynamique : I I I. Fluide incompressible Faible extension verticale Mouvements principalement horizontaux. Modélisation : Équations de Saint-Venant-Exner I I. Partie hydrodynamique −→ Équations de Saint-Venant Partie morphodynamique −→ Équation d’Exner. Résultats numériques : I. Hauteur de la couche de sédiments et de la surface libre M. Ersoy and T. Ngom Dérivation formelle des équations de type Saint-Venant-Exner. In preparation. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 5 / 43.
(13) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 6 / 43.
(14) Qu’est ce qu’un écoulement transitoire mixte en conduite fermée ? Zone en Surface Libre (SL) Section non complètement pleine et écoulement incompressible. . .. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 7 / 43.
(15) Qu’est ce qu’un écoulement transitoire mixte en conduite fermée ? Zone en Surface Libre (SL) Section non complètement pleine et écoulement incompressible. . . Zone en CHarge (CH) Section complètement pleine et écoulement compressible. . .. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 7 / 43.
(16) Qu’est ce qu’un écoulement transitoire mixte en conduite fermée ? Zone en Surface Libre (SL) Section non complètement pleine et écoulement incompressible. . . Zone en CHarge (CH) Section complètement pleine et écoulement compressible. . . Point de transition. •. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 7 / 43.
(17) Quelques exemples de conduites. Le tunnel Orange-Fish. Des égouts . . . à Paris. Une conduite forcée. Et quand ça ne va plus . . . au Minnesota http://www.sewerhistory.org/grfx/ misc/disaster.htm. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 8 / 43.
(18) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 9 / 43.
(19) Travaux antérieurs Pour les écoulements en surface libre :. Généralement les équations de Saint-Venant en canal : ∂t A + ∂x Q =20, Q + gI1 (A) = 0 ∂t Q + ∂x A A(t, x) Q(t, x) avec I1 (A) g. : : : :. aire mouillée débit pression hydrostatique gravité. Avantage Formulation conservative −→ Mise en oeuvre numérique simple Hamam et McCorquodale (82), Trieu Dong (91), Musandji Fuamba (02), Vasconcelos et al (06). M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 10 / 43.
(20) Travaux antérieurs Pour les écoulements en charge :. Généralement les équations d’Allievi : . c2 ∂x Q = 0, gS ∂t Q + gS∂x p = 0 p(t, x) Q(t, x) avec c(t, x) S(x). : : : :. ∂t p +. pression débit vitesse d’onde section. Avantage Prise en compte de la compressibilité de l’eau =⇒ Bon calcul des surpressions et dépressions. Inconvénient Formulation non conservative =⇒ Impossibilité de coupler à Saint-Venant Winckler (93), Blommaert (00). M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 11 / 43.
(21) Travaux antérieurs Pour les écoulements mixtes :. Généralement les équations de Saint-Venant avec fente de Preissmann :. ∂t A + ∂x Q =20, Q + gI1 (A) = 0 ∂t Q + ∂x A. Avantage Un seul modèle pour les deux écoulements. Inconvénient Fluide incompressible =⇒ Coup p de bélier mal calculé Vitesse d’onde en charge ' S/Tfente =⇒ Il faut ajuster Tfente Dépression =⇒ Vue comme un passage en surface libre Preissmann (61), Cunge et al. (65), Baines et al. (92), Garcia-Navarro et al. (94), Capart et al. (97), Tseng (99) M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 12 / 43.
(22) Notre Objectif : Utiliser les équations de Saint-Venant pour un écoulement à surface libre. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 13 / 43.
(23) Notre Objectif : Utiliser les équations de Saint-Venant pour un écoulement à surface libre Écrire un modèle en charge I I I. qui prend en compte la compressibilité de l’eau qui prend en compte les dépressions similaire aux équations de Saint-Venant. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 13 / 43.
(24) Notre Objectif : Utiliser les équations de Saint-Venant pour un écoulement à surface libre Écrire un modèle en charge I I I. qui prend en compte la compressibilité de l’eau qui prend en compte les dépressions similaire aux équations de Saint-Venant. Obtenir un modèle pour les écoulements mixtes Pour pouvoir simuler, par exemple :. C. Bourdarias and S. Gerbi A finite volume scheme for a model coupling free surface and pressurised flows in pipes. J. Comp. Appl. Math., 209(1) :109–131, 2007. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 13 / 43.
(25) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 14 / 43.
(26) Dérivation du modèle à surface libre Équations d’Euler incompressibles 3D. ρ0 div(U) = 0 ρ0 (∂t U + U · ∇U) + ∇p = ρ0 F Méthode : 1 On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec U 2 ≈ U U et U V ≈ U V .. 4. On introduit Asl (t, x) : l’aire mouillée, Qsl (t, x) le débit définis par : Z Asl (t, x) = dydz, Qsl (t, x) = Asl (t, x)u(t, x) Ω(t,x). u(t, x) =. M. Ersoy (LAMA). 1 Asl (t, x). Travaux de thèse. Z U (t, x) dydz Ω(t,x). 10 septembre 2010. 15 / 43.
(27) Dérivation du modèle à surface libre Équations d’Euler incompressibles 3D. ρ0 div(U) = 0 ρ0 (∂t U + U · ∇U) + ∇p = ρ0 F Méthode : 1 On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec U 2 ≈ U U et U V ≈ U V .. 4. On introduit Asl (t, x) : l’aire mouillée, Qsl (t, x) le débit définis par : Z Asl (t, x) = dydz, Qsl (t, x) = Asl (t, x)u(t, x) Ω(t,x). u(t, x) = J.-F. Gerbeau, B. Perthame. 1 Asl (t, x). Z U (t, x) dydz Ω(t,x). Derivation of viscous Saint-Venant System for Laminar Shallow Water ; Numerical Validation. Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. B, Vol. 1, Num. 1, 89–102, 2001. F. Marche Derivation of a new two-dimensional viscous shallow water model with varying topography, bottom friction and capillary effects. European Journal of Mechanic B/Fluid, 26 (2007), 49–63.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 15 / 43.
(28) Dérivation du modèle à surface libre Équations d’Euler incompressibles 3D. ρ0 div(U) = 0 ρ0 (∂t U + U · ∇U) + ∇p = ρ0 F Méthode : 1 On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec U 2 ≈ U U et U V ≈ U V .. 4. On introduit Asl (t, x) : l’aire mouillée, Qsl (t, x) le débit définis par : Z Asl (t, x) = dydz, Qsl (t, x) = Asl (t, x)u(t, x) Ω(t,x). u(t, x) =. M. Ersoy (LAMA). 1 Asl (t, x). Travaux de thèse. Z U (t, x) dydz Ω(t,x). 10 septembre 2010. 15 / 43.
(29) Dérivation du modèle à surface libre Équations d’Euler incompressibles 3D. ρ0 div(U) = 0 ρ0 (∂t U + U · ∇U) + ∇p = ρ0 F Méthode : 1 On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec U 2 ≈ U U et U V ≈ U V .. 4. On introduit Asl (t, x) : l’aire mouillée, Qsl (t, x) le débit définis par : Z Asl (t, x) = dydz, Qsl (t, x) = Asl (t, x)u(t, x) Ω(t,x). u(t, x) =. M. Ersoy (LAMA). 1 Asl (t, x). Travaux de thèse. Z U (t, x) dydz Ω(t,x). 10 septembre 2010. 15 / 43.
(30) Le modèle à surface libre ∂t Asl + ∂x Q = sl 2 Q sl + psl (x, Asl ) = ∂t Qsl + ∂x Asl . 0, −gAsl. dZ + P rsl (x, Asl ) − G(x, Asl ) dx. avec psl. = gI1 (x, Asl ) cos θ. : loi de pression hydrostatique. P rsl. = gI2 (x, Asl ) cos θ. : terme source de pression. G. = gAsl z. M. Ersoy (LAMA). d cos θ dx. : terme de courbure. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 16 / 43.
(31) Le modèle à surface libre ∂t Asl + ∂x Q = sl 2 Q sl + psl (x, Asl ) = ∂t Qsl + ∂x Asl . 0, dZ + P rsl (x, Asl ) − G(x, Asl ) dx Qsl |Qsl | − gK(x, Asl ) Asl | {z }. −gAsl. friction ajoutée après calcul. avec psl. = gI1 (x, Asl ) cos θ. : loi de pression hydrostatique. P rsl. = gI2 (x, Asl ) cos θ. : terme source de pression. G. = gAsl z. K. =. M. Ersoy (LAMA). d cos θ dx 1. Ks2 Rh (Asl )4/3. : terme de courbure : loi de Manning-Strickler. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 16 / 43.
(32) Dérivation du modèle en charge Équations d’Euler compressibles 3D isentropique. ∂t ρ + div(ρU) = 0 ∂t (ρU) + div(ρU ⊗ U) + ∇p = ρF avec. p = pa +. ρ − ρ0 avec c vitesse d’onde c2. Méthode : 1. On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires.. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec ρU ≈ ρU et ρU 2 ≈ ρU U .. 4. On introduit Ach (t, x) : l’aire mouillée équivalente, Qch (t, x) le débit définis par : ρ S(x), Qch (t, x) = Ach (t, x)u(t, x) ρ0 Z 1 u(t, x) = U (t, x) dydz S(x) Ω(x). Ach (t, x) =. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 17 / 43.
(33) Dérivation du modèle en charge Équations d’Euler compressibles 3D isentropique. ∂t ρ + div(ρU) = 0 ∂t (ρU) + div(ρU ⊗ U) + ∇p = ρF avec. p = pa +. ρ − ρ0 avec c vitesse d’onde c2. Méthode : 1. On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires.. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec ρU ≈ ρU et ρU 2 ≈ ρU U .. 4. On introduit Ach (t, x) : l’aire mouillée équivalente, Qch (t, x) le débit définis par : ρ S(x), Qch (t, x) = Ach (t, x)u(t, x) ρ0 Z 1 u(t, x) = U (t, x) dydz S(x) Ω(x). Ach (t, x) =. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 17 / 43.
(34) Dérivation du modèle en charge Équations d’Euler compressibles 3D isentropique. ∂t ρ + div(ρU) = 0 ∂t (ρU) + div(ρU ⊗ U) + ∇p = ρF avec. p = pa +. ρ − ρ0 avec c vitesse d’onde c2. Méthode : 1. On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires.. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec ρU ≈ ρU et ρU 2 ≈ ρU U .. 4. On introduit Ach (t, x) : l’aire mouillée équivalente, Qch (t, x) le débit définis par : ρ S(x), Qch (t, x) = Ach (t, x)u(t, x) ρ0 Z 1 u(t, x) = U (t, x) dydz S(x) Ω(x). Ach (t, x) =. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 17 / 43.
(35) Dérivation du modèle en charge Équations d’Euler compressibles 3D isentropique. ∂t ρ + div(ρU) = 0 ∂t (ρU) + div(ρU ⊗ U) + ∇p = ρF avec. p = pa +. ρ − ρ0 avec c vitesse d’onde c2. Méthode : 1. On écrit les équations d’Euler en coordonnées curvilinéaires.. 2. On adimensionnalise en introduisant le paramètre = H/L et on prend = 0.. 3. On intègre le long de la section verticale avec ρU ≈ ρU et ρU 2 ≈ ρU U .. 4. On introduit Ach (t, x) : l’aire mouillée équivalente, Qch (t, x) le débit définis par : ρ S(x), Qch (t, x) = Ach (t, x)u(t, x) ρ0 Z 1 u(t, x) = U (t, x) dydz S(x) Ω(x). Ach (t, x) =. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 17 / 43.
(36) Le modèle en charge ∂t Ach + ∂x Q = 0, ch 2 Q dZ ch + pch (x, Ach ) = −gAch + P rch (x, Ach ) − G(x, Ach ) ∂t Qch + ∂x Ach dx avec pch. = c2 (Ach − S). P rch. = c2. G. = gAch z. M. Ersoy (LAMA). . Ach −1 S. : loi de pression acoustique . d cos θ dx. dS dx. : terme source de pression. : terme de courbure. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 18 / 43.
(37) Le modèle en charge ∂t Ach + ∂x Q = 0, ch 2 Q dZ ch + pch (x, Ach ) = −gAch + P rch (x, Ach ) − G(x, Ach ) ∂t Qch + ∂x Ach dx Qch |Qch | − gK(x, S) A | {z ch } friction ajoutée après calcul. avec pch. = c2 (Ach − S). P rch. = c2. G. = gAch z. K. =. M. Ersoy (LAMA). . Ach −1 S. : loi de pression acoustique . d cos θ dx. 1 Ks2 Rh (S)4/3. dS dx. : terme source de pression. : terme de courbure : loi de Manning-Strickler Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 18 / 43.
(38) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 19 / 43.
(39) Le modèle PFS Des modèles formellement très proches . . .. ∂t Asl + ∂x Q = 0, sl 2 dZ Q sl + psl (x, Asl ) + P rsl (x, Asl ) = −g Asl ∂t Qsl + ∂x Asl dx −G(x, Asl ) Qsl |Qsl | −gK(x, Asl ) Asl ∂t Ach + ∂x Q = 0, ch 2 dZ Q ch + pch (x, Ach ) = −g Ach + P rch (x, Ach ) ∂t Qch + ∂x Ach dx −G(x, Ach ) Qch |Qch | −gK(x, S ) Ach. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 20 / 43.
(40) Le modèle PFS Des modèles formellement très proches . . .. ∂t Asl + ∂x Q = 0, sl 2 dZ Q sl + psl (x, Asl ) = −g Asl + P rsl (x, Asl ) ∂t Qsl + ∂x Asl dx −G(x, Asl ) Qsl |Qsl | −gK(x, Asl ) Asl ∂t Ach + ∂x Q = 0, ch 2 dZ Q ch + pch (x, Ach ) = −g Ach + P rch (x, Ach ) ∂t Qch + ∂x Ach dx −G(x, Ach ) Qch |Qch | −gK(x, S ) Ach. Critère de continuité M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 20 / 43.
(41) Le modèle PFS Des modèles formellement très proches . . .. ∂t Asl + ∂x Q = 0, sl 2 dZ Q sl + psl (x, Asl ) = −g Asl + P rsl (x, Asl ) ∂t Qsl + ∂x Asl dx −G(x, Asl ) Qsl |Qsl | −gK(x, Asl ) Asl ∂t Ach + ∂x Q = 0, ch 2 dZ Q ch + pch (x, Ach ) = −g Ach + P rch (x, Ach ) ∂t Qch + ∂x Ach dx −G(x, Ach ) Qch |Qch | −gK(x, S ) Ach. Critère « mixte » M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 20 / 43.
(42) Le modèle PFS Des modèles formellement très proches . . .. ∂t Asl + ∂x Q = 0, sl 2 dZ Q sl + psl (x, Asl ) + P rsl (x, Asl ) = −g Asl ∂t Qsl + ∂x Asl dx −G(x, Asl ) Qsl |Qsl | −gK(x, Asl ) Asl ∂t Ach + ∂x Q = 0, ch 2 dZ Q ch = −g Ach + pch (x, Ach ) + P rch (x, Ach ) ∂t Qch + ∂x Ach dx −G(x, Ach ) Qch |Qch | −gK(x, S ) Ach. A coupler M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 20 / 43.
(43) Le modèle PFS La variable « mixte ». On introduit l’indicateur d’état 1 si l’écoulement est en charge (CH), E= 0 si l’écoulement est à surface libre (SL). M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 21 / 43.
(44) Le modèle PFS La variable « mixte ». On introduit l’indicateur d’état 1 si l’écoulement est en charge (CH), E= 0 si l’écoulement est à surface libre (SL) et la section d’eau physique S par : S = S(Asl , E) =. M. Ersoy (LAMA). S Asl. Travaux de thèse. si si. E = 1, E = 0.. 10 septembre 2010. 21 / 43.
(45) Le modèle PFS La variable « mixte ». On introduit l’indicateur d’état 1 si l’écoulement est en charge (CH), E= 0 si l’écoulement est à surface libre (SL) et la section d’eau physique S par : S = S(Asl , E) =. S Asl. si si. E = 1, E = 0.. On pose ensuite A. =. ρ̄ S= ρ0. (. S(Asl , 0) = Asl ρ̄ S(Asl , 1) = Ach ρ0. si SL si CH. Q = Au. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. :. la variable « mixte ». :. le débit. 10 septembre 2010. 21 / 43.
(46) Le modèle PFS La variable « mixte ». On introduit l’indicateur d’état 1 si l’écoulement est en charge (CH), E= 0 si l’écoulement est à surface libre (SL) et la section d’eau physique S par : S = S(Asl , E) =. S Asl. si si. E = 1, E = 0.. On pose ensuite A. =. ρ̄ S= ρ0. (. S(Asl , 0) = Asl ρ̄ S(Asl , 1) = Ach ρ0. si SL si CH. Q = Au. :. la variable « mixte ». :. le débit. Continuité de S au point de transition M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 21 / 43.
(47) Le modèle PFS Construction de la pression « mixte ». Continuité de S =⇒ continuité de p au point de transition −→ p(x, A, E) = c2 (A − S) + gI1 (x, S) cos θ. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 22 / 43.
(48) Le modèle PFS Construction de la pression « mixte ». Continuité de S =⇒ continuité de p au point de transition −→ p(x, A, E) = c2 (A − S) + gI1 (x, S) cos θ. Même construction pour le terme source de pression : dS A 2 −1 + gI2 (x, S) cos θ P r(x, A, E) = c S dx. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 22 / 43.
(49) Le modèle PFS. ∂t (A) + ∂x (Q) =0 2 d Q + p(x, A, E) = −g A Z(x) ∂t (Q) + ∂x A dx +P r(x, A, E) −G(x, A, E) Q|Q| −g K(x, S) A C. Bourdarias, M. Ersoy and S. Gerbi A model for unsteady mixed flows in non uniform closed water pipes and a well-balanced finite volume scheme. Int. J. On Finite Volumes, 6(2) :1–47, 2009.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 23 / 43.
(50) Les équations PFS Propriétés mathématiques Le système PFS est strictement hyperbolique pour A(t, x) > 0. Pour des solutions régulières, la vitesse moyenne u = Q/A satisfait 2 u + c2 ln(A/S) + g H(S) cos θ + g Z = −g K(x, S) u |u| ∂t u + ∂x 2 et pour u = 0, on a : c2 ln(A/S) + g H(S) cos θ + g Z = cte où H(S) est la hauteur d’eau physique. Il admet une entropie mathématique E(A, Q, S) =. Q2 + c2 A ln(A/S) + c2 S + gZ(x, S) cos θ + gAZ 2A. qui satisfait l’inégalité ∂t E + ∂x (E u + p(x, A, E) u) = −g A K(x, S) u2 |u| 6 0 M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 24 / 43.
(51) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 25 / 43.
(52) Schéma numérique Volumes Finis (VF). d’ordre 1. Schéma numérique centré. Les équations PFS sous forme vectorielle sont : ∂t U(t, x) + ∂x F (x, U) = S(t, x). M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 26 / 43.
(53) Schéma numérique Volumes Finis (VF). d’ordre 1. Schéma numérique centré. Les équations PFS sous forme vectorielle sont :. Avec Uni. cte par maille. ≈. M. Ersoy (LAMA). ∂t U(t, x) + ∂x F (x, U) = S(t, x) Z 1 U(tn , x) dx et S(t, x) constant par maille, ∆x mi. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 26 / 43.
(54) Schéma numérique Volumes Finis (VF). d’ordre 1. Schéma numérique centré. Les équations PFS sous forme vectorielle sont :. Avec Uni. cte par maille. ≈. ∂t U(t, x) + ∂x F (x, U) = S(t, x) Z 1 U(tn , x) dx et S(t, x) constant par maille, ∆x mi. on a un schéma VF centré : Un+1 = Uni − i. ∆tn Fi+1/2 − Fi−1/2 + ∆tn S(Uni ) ∆x. où n. ∆t. Sin. Z. tn+1. ≈. S(t, x) dx dt tn. M. Ersoy (LAMA). Z mi. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 26 / 43.
(55) Schéma numérique Volumes Finis (VF). d’ordre 1. Schéma numérique décentré. Les équations PFS sous forme vectorielle sont :. Avec Uni. cte par maille. ≈. ∂t U(t, x) + ∂x F (x, U) = S(t, x) Z 1 U(tn , x) dx et S(t, x) constant par maille, ∆x mi. on a un schéma VF décentré : Un+1 = Uni − i. M. Ersoy (LAMA). ∆tn e Fi+1/2 − Fei−1/2 ∆x. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 26 / 43.
(56) Choix du flux numérique. Objectif : définir Fi+1/2 en conservant le plus de propriétés du modèle continu Positivité de A , conservativité de A, équilibres discrets, inégalités d’entropie discrètes. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 27 / 43.
(57) Choix du flux numérique. Objectif : définir Fi+1/2 en conservant le plus de propriétés du modèle continu Positivité de A , conservativité de A, équilibres discrets, inégalités d’entropie discrètes. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 27 / 43.
(58) Choix du flux numérique. Objectif : définir Fi+1/2 en conservant le plus de propriétés du modèle continu Positivité de A , conservativité de A, équilibres discrets, inégalités d’entropie discrètes. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 27 / 43.
(59) Choix du flux numérique. Objectif : définir Fi+1/2 en conservant le plus de propriétés du modèle continu Positivité de A , conservativité de A, équilibres discrets, inégalités d’entropie discrètes Notre choix Solveur cinétique. Solveur VFRoe. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 27 / 43.
(60) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 28 / 43.
(61) Principe Fonction de densité. On introduit Z. Z. χ(ω) = χ(−ω) ≥ 0 ,. χ(ω)dω = 1, R. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. ω 2 χ(ω)dω = 1 ,. R. 10 septembre 2010. 29 / 43.
(62) Principe Équilibre de Gibbs. On introduit Z. Z. χ(ω) = χ(−ω) ≥ 0 ,. χ(ω)dω = 1, R. ω 2 χ(ω)dω = 1 ,. R. puis on définit l’équilibre de Gibbs par M(t, x, ξ) = avec. A(t, x) χ b(t, x). . ξ − u(t, x) b(t, x). r I1 (x, A) g cos θ A r b(t, x) = I1 (x, S) g cos θ + c2 S. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. . si SL si CH. 10 septembre 2010. 29 / 43.
(63) Principe Relations micro-macroscopiques. Comme. Z. Z. χ(ω) = χ(−ω) ≥ 0 ,. χ(ω)dω = 1, R. et. ω 2 χ(ω)dω = 1 ,. R. . A(t, x) ξ − u(t, x) χ b(t, x) b(t, x) Z A = M(t, x, ξ) dξ ZR Q = ξM(t, x, ξ) dξ R Z Q2 + A b2 = ξ 2 M(t, x, ξ) dξ A R. M(t, x, ξ) = alors. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 29 / 43.
(64) Principe [P02] La formulation cinétique (A, Q) est solution forte du système PFS ssi M satisfait l’équation de transport : ∂t M + ξ · ∂x M − gΦ ∂ξ M = K(t, x, ξ) où K(t, x, ξ) est un noyau de collision vérifiant p.p. (t, x) Z Z K dξ = 0 , ξ Kd ξ = 0 R. R. et Φ correspond aux termes sources. B. Perthame. Kinetic formulation of conservation laws. Oxford University Press. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, Vol 21, 2002.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 30 / 43.
(65) Principe La formulation cinétique (A, Q) est solution forte du système PFS ssi M satisfait l’équation de transport : ∂t M + ξ · ∂x M − gΦ ∂ξ M = K(t, x, ξ) où K(t, x, ξ) est un noyau de collision vérifiant p.p. (t, x) Z Z K dξ = 0 , ξ Kd ξ = 0 R. R. et Φ correspond aux termes sources. Forme générale du terme source : conservatif. Φ=. z }| { d Z + dx. produit non conservatif. }| { d B· W dx z. friction. z }| { Q|Q| +K 2 A. avec W = (Z, S, cos θ). M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 30 / 43.
(66) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 31 / 43.
(67) Discrétisation des termes sources On rappelle A, Q et Z, S, cos θ constants par maille On oublie la friction : « splitting ». . .. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 32 / 43.
(68) Discrétisation des termes sources On rappelle A, Q et Z, S, cos θ constants par maille On oublie la friction : « splitting ». . . ◦. Alors ∀(t, x) ∈ [tn , tn+1 [× mi Φ(t, x) = 0 puisque Φ=. M. Ersoy (LAMA). d d Z +B· W dx dx. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 32 / 43.
(69) Simplification de l’équation de transport On rappelle A, Q et Z, S, cos θ constants par maille On oublie la friction : « splitting ». . . ◦. Alors ∀(t, x) ∈ [tn , tn+1 [× mi Φ(t, x) = 0 puisque Φ=. d d Z +B· W dx dx. =⇒ ∂t M + ξ · ∂x M = K(t, x, ξ). M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 32 / 43.
(70) Simplification de l’équation de transport On rappelle A, Q et Z, S, cos θ constants par maille On oublie la friction : « splitting ». . . ◦. Alors ∀(t, x) ∈ [tn , tn+1 [× mi Φ(t, x) = 0 puisque Φ=. d d Z +B· W dx dx. =⇒ ∂t f + ξ · ∂x f. =. f (tn , x, ξ). =. 0 def A(tn , x, ξ). M(tn , x, ξ) :=. b(tn , x, ξ). χ. ξ − u(tn , x, ξ) b(tn , x, ξ). . en négligeant le terme de collision M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 32 / 43.
(71) Discrétisation de l’équation de transport Sur [tn , tn+1 [×mi , on a : . M. Ersoy (LAMA). ∂t f + ξ · ∂x f f (tn , x, ξ). = 0 = Mni (ξ). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 33 / 43.
(72) Discrétisation de l’équation de transport Sur [tn , tn+1 [×mi , on a : . ∂t f + ξ · ∂x f f (tn , x, ξ). i.e. fin+1 (ξ) = Mni (ξ) + ξ. M. Ersoy (LAMA). = 0 = Mni (ξ). ∆tn − Mi+ 1 (ξ) − M+ 1 (ξ) i− 2 2 ∆x. Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 33 / 43.
(73) Discrétisation de l’équation de transport Sur [tn , tn+1 [×mi , on a : . ∂t f + ξ · ∂x f f (tn , x, ξ). i.e. fin+1 (ξ) = Mni (ξ) + ξ. = 0 = Mni (ξ). ∆tn − Mi+ 1 (ξ) − M+ 1 (ξ) i− 2 2 ∆x. d’où Un+1 i. M. Ersoy (LAMA). =. An+1 i Qn+1 i. . def. Z . :=. R. Travaux de thèse. 1 ξ. . fin+1 (ξ) dξ. 10 septembre 2010. 33 / 43.
(74) Discrétisation de l’équation de transport Sur [tn , tn+1 [×mi , on a : . ∂t f + ξ · ∂x f f (tn , x, ξ). i.e. fin+1 (ξ) = Mni (ξ) + ξ ou encore. = 0 = Mni (ξ). ∆tn − Mi+ 1 (ξ) − M+ 1 (ξ) i− 2 2 ∆x. ∆tn e− + Fi+1/2 − Fei−1/2 ∆x Z 1 = ξ M± (ξ) dξ. i± 12 ξ R. Un+1 = Uni − i avec ± Fei± 1 2. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 33 / 43.
(75) Les flux microscopiques Interprétation : barrière de potentiel transmission positive. M− i+1/2 (ξ). =. z }| { 1{ξ>0} Mni (ξ). q + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 >0} Mni+1 − ξ 2 − 2g∆Φni+1/2 | {z } transmission négative. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 34 / 43.
(76) Les flux microscopiques Interprétation : barrière de potentiel transmission positive. réflexion. z }| { = + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 <0} Mni (−ξ) q + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 >0} Mni+1 − ξ 2 − 2g∆Φni+1/2 | {z }. M− i+1/2 (ξ). z }| { 1{ξ>0} Mni (ξ). transmission négative. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 34 / 43.
(77) Les flux microscopiques Interprétation : barrière de potentiel transmission positive. réflexion. z }| { = + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 <0} Mni (−ξ) q + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 >0} Mni+1 − ξ 2 − 2g∆Φni+1/2 | {z }. M− i+1/2 (ξ). z }| { 1{ξ>0} Mni (ξ). transmission négative. ∆Φni+1/2 peut aussi être interprété comme une pente dépendant du temps ! M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 34 / 43.
(78) Les flux microscopiques Interprétation : pente dynamique =⇒ décentrement de la friction transmission positive. réflexion. z }| { = + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 <0} Mni (−ξ) q + 1{ξ<0, ξ2 −2g∆Φni+1/2 >0} Mni+1 − ξ 2 − 2g∆Φni+1/2 | {z }. M− i+1/2 (ξ). z }| { 1{ξ>0} Mni (ξ). transmission négative. ∆Φni+1/2 peut aussi être interprété comme une pente dépendant du temps !. . . . on réintègre la friction . . . M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 34 / 43.
(79) Décentrement des termes sources Terme conservatif ∂x W : Wi+1 − Wi Terme non-conservatif B∂x W : B(Wi+1 − Wi ) où Z. 1. B(s, φ(s, Wi , Wi+1 )) ds. B= 0. pour les chemins « segment », i.e. φ(s, Wi , Wi+1 ) = sWi+1 + (1 − s)Wi , s ∈ [0, 1] G. Dal Maso, P. G. Lefloch and F. Murat. Definition and weak stability of nonconservative products. J. Math. Pures Appl. , Vol 74(6) 483–548, 1995. C. Bourdarias, M.Ersoy and S. Gerbi. A kinetic scheme for transient mixed flows in non uniform closed pipes : a global manner to upwind all the source terms. To appear in J. Sci. Comp., 2010.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 35 / 43.
(80) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 36 / 43.
(81) Avec. 1 χ(ω) = √ 1[−√3,√3] (ω) 2 3. on a :. Propriétés Positivité de A (sous une condition CFL), Conservativité de A, Traitement naturel des écoulements sur fond sec et de l’assèchement. par exemple. E. Audusse and M-0. Bristeau and B. Perthame. Kinetic schemes for Saint-Venant equations with source terms on unstructured grids. INRIA Report RR3989, 2000.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 37 / 43.
(82) Avec. 1 χ(ω) = √ 1[−√3,√3] (ω) 2 3. on a :. Propriétés Positivité de A (sous une condition CFL), Conservativité de A, Traitement naturel des écoulements sur fond sec et de l’assèchement. par exemple. −→ schéma non équilibré avec un tel χ −→ mais calcul explicite des flux E. Audusse and M-0. Bristeau and B. Perthame. Kinetic schemes for Saint-Venant equations with source terms on unstructured grids. INRIA Report RR3989, 2000.. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 37 / 43.
(83) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 38 / 43.
(84) Impact du décentrement de la friction 2.15. La « double rupture de barrage ». • Conduite horizontale : L = 100 m, R = 1 m. • État inital : Q = 0 m3 /s, y = 1.8 m. • Conditions aux limites symétriques :. Hauteur piezometrique (m). 2.1 2.05 2 1.95 1.9 1.85 1.8. 0. 20. 40 60 Temps (s). 80. 100. Amont et aval. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 39 / 43.
(85) Analyse qualitative de convergence T = 0.000 Eau Ligne piezometrique 104. m d’eau. 103. 102. 101. 100. 99 0. 100. 200. 300. 400. 500 m. 600. 700. 800. 900. charge amont constante égale à 104 m Niveau piezometrique aval 103.2 103 102.8. m d’eau. 102.6 102.4 102.2 102 101.8 101.6. Hauteur piezo haut du tuyau. 101.4. hauteur piézométrique aval : M. Ersoy (LAMA). 0. 2. Travaux de thèse. 4. 6. 8 Temps (s). 10. 12. 14. 10 septembre 2010. 40 / 43.
(86) Convergence Lors du transitoire t = 100 s Erreur L2 : Ligne piezometrique au temps t = 100 s 0.8. Ordre VFRoe (polyfit) = 0.91301 VFRoe (sans polyfit) Ordre FKA (polyfit) = 0.88039 FKA (sans polyfit). 0.6 0.4 0.2 0. kykL2. -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 2. 2.2. M. Ersoy (LAMA). 2.4. 2.6. 2.8 Travaux de thèse. 3. 3.2. 3.4. 3.6. 10 septembre 2010. ln(∆x) 40 / 43.
(87) Convergence En fin de simulation t = 500 s Erreur L2 : Ligne piezometrique au temps t = 500 s 0. Ordre VFRoe (polyfit) = 1.0742 VFRoe (sans polyfit) Ordre FKA (polyfit) = 1.0371 FKA (sans polyfit). -0.2 -0.4 -0.6 -0.8. kykL2. -1. -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 2. 2.2. M. Ersoy (LAMA). 2.4. 2.6. 2.8 Travaux de thèse. 3. 3.2. 3.4. 3.6. 10 septembre 2010. ln(∆x) 40 / 43.
(88) Plan. Plan. 1. Exemples d’écoulements en couche mince. 2. Écoulements en conduite fermée : les équations PFS (Pressurized and Free Surface) Travaux antérieurs Dérivation formelle du modèle à surface libre et en charge Relation de couplage : le modèle PFS. 3. Approximation numérique des équations PFS Principe du solveur cinétique Le schéma cinétique Propriétés du schéma. 4. Quelques résultats numériques. 5. Conclusion et perspectives M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 41 / 43.
(89) Conclusion. Formulation simple et conservative (simplicité de mise en œuvre numérique) Prise en compte de la compressibilité de l’eau pour la charge coup de bélier dépression. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 42 / 43.
(90) Conclusion et perspectives. Formulation simple et conservative (simplicité de mise en œuvre numérique) Prise en compte de la compressibilité de l’eau pour la charge coup de bélier dépression. Perspectives : cavitation condensation évaporation. M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 42 / 43.
(91) Merci de votre e r t o v e d erci M. attention n o i t n e t t a M. Ersoy (LAMA). Travaux de thèse. 10 septembre 2010. 43 / 43.
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