Analyse de sch´emas d’ordre ´elev´e pour les ´ecoulements compressibles. Application `a la simulation num´erique d’une torche `a plasma.

Analyse de sch´ emas d’ordre ´ elev´ e pour les

´

ecoulements compressibles.

Application ` a la simulation num´ erique d’une torche

`

a plasma.

Vivien Clauzon

Sous la direction deSt´ephane ClainetThierry Dubois co-encadr´e par Gilles Mariaux

Laboratoire de Math´ematiques Universit´e Blaise Pascal et CNRS

Torche ` a plasma

u0= 1 600m/s T0= 12 000K R₀= 3,5 mm

Propri´et´es physico-chimiques sp´ecifiques (Ar−H )

Mod´ elisation ` a l’int´ erieur de la torche (avec S. Clain)

Contexte

Etude de l’influence des mouvements de l’arc sur la vitesse en sortie G´eom´etrie complexe

Gaz compressible

Mod` ele

Equations d’Euler avec termes sources Loi des gaz parfaits

x

0 10 20 30 40

y

-5 0 5 X Y

Z

Sch´ ema

Maillage non structur´e, m´ethode volumes finis Mont´ee en ordre de type MUSCL

Mod´ elisation dans le jet (avec T. Dubois)

Contexte

Etude de l’influence des fortes pulsations sur la dynamique Jet tr`es chaud par rapport au milieu ambiant

Mod` ele

Jet libre

Gaz mono-esp`ece Loi des gaz parfaits Equations de Navier-Stokes compressibles

Sch´ ema

Maillage cart´esien, m´ethode diff´erences finies d’ordre ´elev´e

Plan de l’expos´ e

I - Description et test de la m´ ethode multipente

Probl`eme et hypoth`eses

Stabilit´e des m´ethodes volumes finis d’ordre 2 Description de la m´ethode multipente

Validation num´erique (pr´ecision, robustesse et rapidit´e) Simulation dans la g´eom´etrie d’une torche `a plasma

II - Simulation des jets chauds fortement puls´ es

Probl`eme et aspects physiques

Sch´emas num´eriques (RK3 en temps, compact en espace) Conditions aux limites (Poinsot-Lele)

R´esultats Perspectives

Partie I :

Description et test

de la m´ ethode multipente

Position du probl` eme

Dans un domaineΩ⊂R³, on cherche `a r´esoudre l’´equation de transport scalaire

∀t >0, ∀x∈Ω, ∂u

∂t(x, t) +div F(u(x, t))

= 0,

∀x∈Ω, u(x,0) =U0(x).

SoitK_i un volume de contrˆole poly`edrique et(S<sub>ij</sub>)<sub>j∈V(i)</sub> ses faces, apr`es int´egration surK_i, on a

d dt

1

|Ki| Z

K_i

u(x, t)dx+ 1

|Ki| X

j∈V(i)

Z

S_ij

F(u(x, t)).n_ij dx= 0.

o`unij la normale exterieur `a Ki port´ee parSij.

Rappel de la g´ eom´ etrie

SoitTh une discr´etisation deΩpar des t´etra`edresKi. SoitV(i) l’ensemble des indices des voisins deKi, c’est-`a-dire les maillesKj telles que|Sij|=|Ki∩Kj| 6= 0.

D´efinition

Bi est le barycentre deKi

Q_ij= [BiBj]∩Sij

M_ij est le barycentre deS_ij

Sch´ ema num´ erique

On chercheUi(t)une approximation de la moyenne de l’inconnue sur Ki

Forme semi-discr`ete

|Ki| dU_i dt (t)

| {z }

valeurs aux ´el´ements

=− X

j∈V(i)

|Sij|F_ij(U_ij(t), U_ji(t))

| {z }

valeurs aux faces

.

Sch´ ema num´ erique

On chercheUi(t)une approximation de la moyenne de l’inconnue sur Ki

Forme semi-discr`ete

|Ki| dU_i dt (t)

| {z }

valeurs aux ´el´ements

=− X

j∈V(i)

|Sij|F_ij(U_ij(t), U_ji(t))

| {z }

valeurs aux faces

.

Soit(tⁿ)une subdivision de [0, T]et∆tⁿ=tⁿ⁺¹−tⁿ. En utilisant le sch´ema d’Euler explicite en temps, on obtient

Forme totalement discr´etis´ee U_iⁿ⁺¹=U_iⁿ−∆tⁿ

|Ki| X

j∈V(i)

|S_ij|F_ij(U_ijⁿ, U_jiⁿ).

Pourquoi une m´ ethode MUSCL ?

Historiquement

Une meilleure approximation de l’inconnue surSij

=⇒meilleure approximation de Z

Sij

F(u(x, t))dx.

Van Leer, 1979, reconstructionP1 en1Dpour une meilleure approximation de l’inconnue sur l’interface :

• Ordre 1 : Uij≈Ui,

=⇒dissipation num´erique tr`es forte

• MUSCL : U_ij ≈G U_i,(U_k)_k∈V(i)

=⇒plus pr´ecismais il faut maintenir la stabilit´e

Hypoth` eses

Sur le flux num´erique

Flux num´erique r´egulier :Fij estC¹ Flux num´erique monotone

∂Fij

∂U ≥0, ∂Fij

∂V ≤0 Vitesse de convection born´ee

∂Fij

∂U

≤M,

∂Fij

∂V

≤M

R´ esultats de stabilit´ e 1/2

Stabilit´e au sens LED

Soit un sch´ema volumes finis d’ordre2tel que U_iⁿ⁺¹=U_iⁿ−∆tⁿ

|Ki| X

j∈V(i)

|Sij|Fij(U_ijⁿ, U_jiⁿ)

Si la reconstruction est convexe au sens o`u

min(U_i, U_j)≤U_ij≤max(U_i, U_j)

alors le sch´ema est LED, c’est-`a-dire

U_iⁿ est un maximum local =⇒U_iⁿ⁺¹≤U_iⁿ U_iⁿ est un minimum local =⇒U_iⁿ⁺¹≥U_iⁿ

R´ esultats de stabilit´ e 2/2

Stabilit´e au sens L^∞

Si, de plus, il existe des coefficients positifs tels que U_ij−U_i= X

k∈V(i) k6=j

ω_ijk(U_i−U_k)

et X

k∈V(i) k6=j

ω_ijk≤C_ω avecC_ω qui ne d´epend que de la g´eom´etrie.

Alors le sch´ema est stable dansL^∞

u⁰≤U_iⁿ≤u⁰ sous une condition de type CFL

Description de la m´ ethode multipente.

D´efinition : reconstruction monopente

∀Ki∈Th,∀j∈V(i)

Uij=Ui+p_i.BiXij

o`up_i est la pente qu’il faut construire.

D´efinition : reconstruction multipente

∀Ki∈Th,∀j∈V(i)

Uij =Ui+pijkBiXijk

o`upij sont les pentes qu’il faut construire.

Description de la m´ ethode multipente.

But

Calculerpij en am´eliorant lapr´ecision sans perdre lastabilit´e.

Id´ ee

Adapter les m´ethodes ´eprouv´ees en 1D.Bi,Q_ij etBj sont align´es.

Comment ?

On se ram`ene `a une g´eom´etrie 1D et on utilise un limiteur de pente.

pij =ψ(p⁺_ij, p⁻_ij)

Il faut donc calculer une pente avalp⁺_ij et une pente amontp⁻_ij.

Calcul de la pente de r´ ef´ erence

Information disponible en aval : valeur enBj. D´efinition : pente de r´ef´erence

p⁺_ij = U_j−U_i kBiBjk

Calcul de la pente de r´ ef´ erence

Information disponible en aval : valeur enBj. D´efinition : pente de r´ef´erence

p⁺_ij = U_j−U_i kBiBjk

Calcul de la pente amont

Pas d’information en amont. On construit la pente amont en utilisant les autres voisins.

Soient les uniques coefficients tels que

tij= X

k∈V(i) k6=j

βijktik

alors on d´efinit

D´efinition : pente amont

p⁻_ij= X

k∈V(i) k6=j

βijkp⁺_ik

Lesβ_ijk sont obtenus enpr´ecalculet stock´es. La m´ethode multipente est doncrapidelors de son utilisation.

Description de la m´ ethode multipente.

Phase de limitation de la pente

Propri´et´es du limiteur

• ψ(p, q) = 0quandp q≤0 (d´eg´en´erescence aux extrema),

• ψ(p, p) =p (consistance),

• ψ(p, q) =ψ(q, p) (sym´etrie).

D´efinition : reconstruction enQ_ij

∀Ki∈Th,∀j∈V(i)

U_ij=U_i+p_ijkB_iQ_ijk avecp_ij =ψ(p⁺_ij, p⁻_ij)

Contraintes g´ eom´ etriques

Contrainte sur le limiteur

ψ(p, q)≤τlimmin(p, q) o`uτ_lim= min

Ki∈Th j∈V(i)

kB_iB_jk

kBiQ_ijk ∈]1,2]d´epend du maillage.

Contrainte g´eom´etrique

µ_ij≥α >0 ; X

j∈V(i)

µ_ij = 1

X

j∈V(i)

µijBiBj =0

Condition sur le pas de temps

D´efinition

Cω= max

Ki∈Th j∈V(i)

1−µij

µ_ij =1−α

α >0, contrainte g´eom., δ= min

Ki∈Th j∈V(i)

|Ki|

|Sij|, longueur de r´ef´erence,

∂Fij

∂U

≤M,

∂Fij

∂V

≤M, vitesse de convection.

Condition CFL

∆t≤ δ

4M(1 +Cω) < δ

4M (CFL `a l’ordre 1)

A propos des contraintes

Contrainte g´eom´etrique En g´en´eral, on a

Cij =1−µij

µ_ij ≈3

⇒marquer les mauvaises mailles ^{5 10 15 20}

0 1000 2000 3000 4000

Nombre de mailles en fonction deCij

Contrainte sur le limiteur De mˆeme, pour

τ_ij = kB_iB_jk kBiQ_ijk ≈2

⇒utiliser le limiteur minmod ^{1 1,5 2 2,5 3 3,5 4}

0 1000 2000 3000 4000 5000

Nombre de mailles en fonction deτij

Autre point de reconstruction

L’approximation de l’int´egrale du flux sur chaque facetteSij est Z

Sij

F(u(x)).nij≈ |Sij|Fij(Uij, Uji)

et une reconstruction enM_ij (le point de Gauss) serait plus pr´ecise.

Probl` eme

Mij n’est pas align´e avecBi etBj ...

=⇒Pas de r´esultat math´ematiquesatisfaisantpour le moment mais des r´esultats num´eriques tr`es encourageantssous contrainte de convexit´e manuelle

Exemple : cas lin´ eaire scalaire 1/2

Equation de convection en 3 dimensions d’espace :

∂u

∂t +a(x).∇u= 0

On teste la m´ethode multipente en convectant des profils dans le domaine[−0,5; 0,5]³ `a la vitesse a(x) = (−y, x,0).

Exemple : cas lin´ eaire 2/2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Profil r´egulier (r) Profil discontinu (d)

m´ethode ordreL¹ (r) ordreL¹ (d) ordreL^∞(r) complexit´e

ordre 1 0,7 0,4 0,7 1,0

gradient 0,8 0,4 0,8 2,08

multipente Q 1,0 0,5 0,95 1,28

Exemple : tube ` a choc

R´esolution par diff´erents solveurs (Roe, HLLC, Lax-Friedrichs, ...) des

´equations d’Euler pour un gaz parfait en 3D.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2 2,5 3 3,5

Densit´e et ´energie interne `at= 0.2. (Solveur HLLC,≈90 pts par direction.)

=⇒La m´ethodemultipente enQ_ij est plus pr´ecise que la m´ethode d’ordre 1.

Exemple non lin´ eaire vectoriel : Marche montante 1/2

X

Y

0.62 0.64 0.66 0.68

0.92 0.94 0.96 0.98

X

Y

0.56 0.58 0.6 0.62 0.64

0.92 0.94 0.96 0.98

Densit´eρ, Maillage 2D (350 000 ´el´ements), ordre 1 (en haut) et

Exemple non lin´ eaire vectoriel : G´ eom´ etrie 3D 1/2

Explosion dans une ville

On impose une pression tr`es forte localement dans une g´eom´etrie 3D com- plexe.

Le front de pression pro- gresse et se d´eforme en contournant les obstacles.

Le maillage utilis´e contient un million ´el´ements.

Exemple non lin´ eaire vectoriel : G´ eom´ etrie 3D 2/2

Vent dans une ville

On impose un profil de vitesse en x = 0 dans la mˆeme g´eom´etrie de ville.

Ce profil se d´eforme en contournant lesbˆatiments.

Torche ` a plasma

Vitesse dans une g´eom´etrie de torche sans apport d’´energie

Apport d’´ energie

x

0 20 40

y

-5 0 5 T:1.5 8 14.5 21 27.5 34 40.5

R´ esultats pr´ eliminaires

Capteurs de vitesse

60 70 80 90

3 4 5 6 7 8

60 70 80 90

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Capteur sur l’axe Capteur `a 2 cm de l’axe

=⇒R´egime oscillatoire directement li´e `a l’apport d’´energie.

Conclusions

Conclusions

Le code MUSCL multipente est robuste et performant: calculs 3D avec plus de 1 million d’´el´ements.

La m´ethode multipente est int´egr´ee dans la librairie OFELI

Perspectives

Meilleure int´egration du flux, plus de point de reconstruction Couplage volumes finis / ´el´ements finis

Autre type de maille

Partie II :

simulation des jets chauds

fortement puls´ es

Th` emes abord´ es dans cette partie

Description du probl` eme Sch´ emas num´ eriques Conditions aux limites R´ esultats

Perspectives

Mod` ele

Equations de Navier-Stokes´ compressiblesmono-esp`ece Loi des gaz parfaits modifi´ee (γ= 1,2etR= 187)⇒c=√

γRT Tables de viscosit´e et de conductivit´e thermique de 300 `a 12 000 K.

0 5000 10000 15000

0,0e+00 5,0e-05 1,0e-04 1,5e-04 2,0e-04 2,5e-04

0 5000 10000 15000

0 1 2 3 4 5

Viscosit´e et conductivit´e thermique en fonction de la temp´erature Re= 840, Pr= 0,5, Ma= 0,7

Maillage

Domaine de calcul

(0, Lx)×(−Ly/2, Ly/2)×(−Lz/2, Lz/2)

Discr´ etisation

Nx×Ny×Nz points

En pratique

Lx= 60etLy =Lz= 40 Nx= 500etNy=Nz= 241

⇒jusqu’`a 30 millions de points

X

Y

0 10 20 30 40 50 60

-20 -10 0 10 20 30

Grille, 1 point sur 10 est repr´esent´e

Sch´ emas num´ eriques

∂U

∂t =F(U), F n´ecessite 21 ´evaluations de d´eriv´ees

Sch´ ema en temps

1 seul stockage temporaire (Wray 1986)

bon compromis temps de calcul, coˆut m´emoire / pr´ecision

Sch´ ema en espace

Sch´ema aux diff´erences finies compact d’ordre 6 (Lele 1992) : implicite, centr´e, peu dissipatif, syst`eme tridiagonal (d´ecomposition LDU)

Af⁰=Bf

Conditions aux limites

Bords lat´ eraux

domaine large : 40 fois le rayon de l’injecteur zone ´eponge forte sur10%du domaine conditions aux limites de Dirichlet

En entr´ ee

Il faut imposer 4 variables sur 5 u etT sont impos´ees

ρest calcul´ee par la m´ethode de Poinsot-Lele

Origine du jet

En sortie

Il faut imposer 1 variables sur 5

u etEsont calcul´ees par la m´ethode de Poinsot-Lele

Test des conditions aux limites

Coupe de la vitesse axiale

Test des conditions aux limites

Profil de temp´ erature

Le jet est `a temp´eratureT0= 1(12 000K) Le milieu ambiant est `a temp´eratureT_∞≤T₀ T_∞= 1/4⇐⇒ milieu ambiant `a3 000K T∞= 1/10⇐⇒milieu ambiant `a1 200K

Profil de vitesse

-1 0 1 2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Profil de vitesse Instabilit´es de Kelvin-Helmholtz Un profil raide favorise le d´eveloppement de la turbulence.

Pour r´esoudre l’´ecoulement il faut au moins 10 points dans la zone de cisaillement.

⇒ compromis entre le nombre de points et le profil d’entr´ee

Profil de vitesse

Vitesse moyenne

ujet=Ma 1

2−1 2tanh

r−R₀ δ

vjet=wjet= 0

Perturbation

u(0, r, θ, t) =ujet

1 +

axiale

z }| { εasin (Stat)

+εhsin (Stht+θ) r r₀

| {z }

h´elico¨ıdale

ε:amplitude ≈30%

St : repr´esentatif de la fr´equence

Nombre de Strouhal et temps de calcul

St=2πr0f^∗

c₀ = 2πr0

c₀τ^∗

La p´eriode adimentionnelle correspondante estτ= 2π St Pour une torcheτ^∗≈0,2 ms,⇒St≈0,045etτ ≈140

∆t≈4×10⁻³ ⇒700 000it´erationspour une simulation sur20τ NEC SX-8, IDRIS, CNRS ⇒4,7 spar it´erations

La simulation num´erique est trop coˆuteuse :≈1000h

En pratique, on utilise des fr´equences 7 fois plus grandes =⇒ 130 heures Code parall`ele, sur 4 processeurs (24 GFlops) : temps de retour<40h

Effets des perturbations

Isobarre, mode 0, 1 et 0+1

Nombre de Reynolds effectif

Nombre de Reynolds bas´e sur les caract´eristiques du milieu ambiant Re_∞≈

rT0

T_∞ µ(T0) µ(T_∞)Re

0 2500 5000 7500 10000 12500

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

3000 4500 6000 7500 9000 10500 12000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Re∞en fonction deT∞

Filtrage

Causes

Taille des mailles inadapt´ee (Re_∞ trop grand)

Toutes les ´echelles ne sont plus r´esolues sur le maillage

Cons´ equences

Accumulation d’´energie dans les petites ´echelles turbulentes Excitation de la plus haute fr´equence support´ee par le maillage

Solution

Pour ´eliminer cet exc´edent ´energie au niveau des mailles on filtre (compact, passe bas) les hautes fr´equences

R´ esultat

Effet dissipatif sur les petites ´echelles

=⇒ La simulation devient une SGE sans mod´elisation de sous maille

Statistiques de vitesse axiale

0 10 20 30 40

0 0,2 0,4 0,6 0,8

12 000 K 9000 K 6000 K 3000 K

Profils moyens de vitesse axiale en fonction dex

Donn´ ees instantan´ ees

150 200 250

0,2 0,4

150 200 250

0,8 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85

Capteur de vitesse et de pression enx= 20sur l’axe du jet pourT∞= 0,25 (3 000 K)

=⇒ ´ecoulement turbulent (Re_∞≈3 500)

Jets chauds fortement puls´ es : temp´ erature

Jets chauds fortement puls´ es : vorticit´ e

Perspectives

Ne plus utiliser de filtre =⇒beaucoup plus de points≈300 millions Prise en compte de la couche limite en conductivit´e thermique

0 5000 10000 15000

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

0,5 1 1,5 2 2,5 3

Conductivit´e thermique en fonction deT, puis der`a l’entr´ee Utilisation d’une tabulation pour le gaz r´eel (pas gaz parfait) Fluide multi-esp`ece, avec particules

Conclusions

Objectif

Fournir et valider des sch´emas num´eriques utilisables pour la simulation num´erique des torches `a plasma

R´ esultats

Nouvelle m´ethode volumes finis : robuste et efficace Simulation directe de jets chauds fortement puls´es

Perspectives

R´ealiser des simulations plus proches du cas r´eel pour confronter les codes de calcul aux exp´eriences