Simulation num´erique de la propagation de la houle

(1)

Simulation num´erique de la propagation de la houle

Patrick Joly Patrick.Joly@inria.fr

On se place en dimension 2, (x, y) désignent les deux coordonnées de l’espace, y étant associé à la direction verticale. Ω désigne le domaine occupé par l’océan, supposé borné dans la direction y et inclus dans le quart de plan (x ≥ 0, y ≤ 0). On supposera que la frontière de Ω est “composée de deux parties” (voir dessin ci-dessous):

• ΓF fronti`ere libre co¨ıncidant avec la surface de l’eau, suppos´ee plane.

• ΓB fronti`ere rigide correspondant au fond marin.

On supposera en outre que lorsque Ω est non borné dans la direction x alors, pourx assez grand, le fond marin est plat de profondeur L > 0. Le vecteur unitaire normal sortant le long de la frontière de Ω est notén. On se place dans les hypothèses du modèle linéarisé

Γ

F

Ω

Γ

B (ocean)

y

x

n

L

(petits mouvements) et dans le cas d’un écoulement irrotationnel. Dans ce cas, le champ de vitesses v dérive d’un potentiel Φ,v =−∇Φ, et Φ devient l’inconnue du problème. Les variations de Φ en fonctions du temps sont régies par le système d’équations suivant:











−∆Φ = 0, dans Ω,

∂Φ

∂n =f, sur ΓB, 1

g

∂²Φ

∂t² +∂Φ

∂n = 0, sur ΓF, (1)

(2)

compl´et´e par des conditions initiales exprimant que le fluide est initialement au repos:

Φ(.,0) = ∂Φ

∂t (.,0) = 0, sur ΓF. (2)

Dans le modèle (1), g désigne l’accélération de la pesanteur et la fonction source f(x, t), définie sur ΓB, modélise un ébranlement du fond marin qui va provoquer les mouvements de la mer. A l’Instant t > 0, la déformée de la surface de l’eau est décrite par la courbe d’équation:

y=η(x, t), x∈ΓF, o`u η= ∂Φ

∂t|^Γ^F. (3)

Lorsque l’océan est non borné dans la direction x on bornera artificiellement le domaine de calcul à l’aide d’une condition aux limites absorbantes sur une frontiere artificielle verticale Γa d’abcisse D supérieure à celle à partir de laquelle l’océan devient de profondeur constante:

Γ

F

Ω

Γ

_B

(ocean) y

x

n

Γ a

∂Φ

∂t +c ∂Φ

∂x = 0, sur Γa. (c=^qgL) (4)

Avertissement : Le traitement des questions 1 `a 3, ainsi que celui du d´ebut de la question 8, demande un travail exclusivement sur papier. Les autres questions impliquent un travail de programmation.

Question 1 : Etude du probl`eme 2D continu.

Etablir une formulation variationnelle du probl`eme continu (1, 4) de la forme:











Trouver Φ(t) :t−→V =H¹(Ω) tel que d²

dt² m(Φ(t),Ψ) + d

dt b(Φ(t),Ψ) +a(Φ(t),Ψ) =< L(t),Ψ>, ∀Ψ∈V.

(5)

où m(·,·), b(·,·) et a(·,·) sont trois formes bilinéaires symétriques et positives que l’on définira et L(t) une forme linéaire que l’on précisera.

(3)

Etablir, lorsque f = 0, le résultat de décroissance d’énergie suivant:

d dt

( 1 2g

Z

ΓF

|∂Φ

∂t|² dx+ 1 2

Z

Ω|∇Φ|² dx dy

)

=−1 c

Z

Γa|∂Φ

∂t |² dy.

(6)

En déduire un résultat d’unicité.

Question 2 : Discr´etisation en espace.

Soit Vh un sous-espace de dimension fini de V oùh désigne un paramètre d’approximation destiné à tendre vers 0. On réalise une approximation de (5) par éléments finis:











Trouver Φh(t) :t −→Vh tel que d²

dt² m(Φh(t),Ψh) + d

dt b(Φh(t),Ψh) +a(Φh(t),Ψh) =< L(t),Ψh >, ∀Ψh ∈Vh. (7)

qui amène, après décomposition de la solution approchée sur une base deVh, à la résolution d’un système différentiel de la forme (Φh désigne le vecteur des composantes de Φh dans cette base) :

Mh

d²Φ_h dt² +Bh

dΦh

dt +AhΦ_h =Fh

(8)

où (Mh, Bh, Ah) sont trois matrices symétriques et positives dont on donnera la définition.

Préciser également la définition du vecteur second membre Fh.

Donner l’expression de l’énergie discrète, équivalent discret de l’énergie (6), qui décroit avec le temps lorsque f = 0.

Question 3 : Discr´etisation en temps.

On introduit un pas de temps constant ∆t > 0 et on désigne pa Φⁿ_h l’approximation de Φ_h(tⁿ). Pour θ ∈[0,1/2] donné, on approche (8) par le θ-schéma suivant (F_hⁿ=Fh(tⁿ)):

Mh

Φⁿ⁺¹_h −2Φⁿ_h+Φⁿ⁻_h ¹

∆t² +Bh

Φⁿ⁺¹_h −Φⁿ⁻_h ¹

2∆t +AhΦ^n,θ_h =F_hⁿ. (9)

ou on a pos´e:

Φ^n,θ_h =θΦⁿ⁺¹_h + (1−2θ)Φⁿ_h +θ Φⁿ⁻_h ¹

Montrer que la mise en oeuvre de (9) implique à chaque pas de temps la résolution d’un système linéaire dont on précisera la matrice. Montrer que cette matrice est inversible pour tout θ >0. Que se passe t-il pour θ = 0 ?

On suppose maintenant que θ = 1/4. Montrer un ´equivalent discret de l’identit´e (6)

(4)

lorsque f = 0. Ce résultat implique la décroissance entre deux pas de temps consécutifs de cette énergie discrète et démontre la stabilité inconditionnelle du schéma.

Question 4 : Mise en oeuvre de l’approximation par ´el´ements finis P1.

On discrétise le domaine Ω à l’aide d’un maillage triangulaire T^h de pas h. On choisit comme espace Vh l’espace d’approximation par éléments finis P1:

Vh ={Ψh ∈C⁰(Ω)/∀K ∈ T^h,(Ψh)|^K ∈P1} (10)

Ecrire un programme pour la mise en oeuvre du sch´ema.

Question 5 : Simulations numériques pour une géométroie rectangulaire.

On consid`ere un terme source de la forme:

ΓF

ΓB

Ω ^(ocean)

y

x

Γa

ΓF

ΓB

Ω ^(ocean)

y

x

f(x, t) =χI(x)S(t), (11)

où χI désigne la fonction caractéristique d’un segment I de la frontière ΓB et la fonction source S(t) est donnée par:











S(t) = A exp−(t−t0

a )² si 0≤t ≤2t0

= 0 sinon.

(12)

Pour la visualisation des résultats des expériences numériques, on conseille de représenter

`a divers instants t pr´ealablement choisis:

- la d´eform´ee de la surface de l’eau, - les lignes de niveau du potentiel.

On divise la suite du travail en deux ´etapes

• Effectuer des simulations numériques correspondant aux donnees suivantes (en con- sidérant successivement les deux situations où le bord vertical droit est rigide puis absorbant):











I ={(0, y),0≤y≤L/2}, L= 4000m, D= 32500m A = 0.169, a= 11,1408, t0 = 35s, g= 10m/s² (13)

(5)

Etudier l’influence des paramètres de discrétisation ∆t, ∆x et ∆y sur la qualité du résultat obtenu. On pourra faire un premier calcul de référence avec ∆t = 2 s,

∆x= ∆y= 500m.

• Etudier l’influence sur les phénomènes observés des diverses données du problemes : les dimensions L et D, la position et la taille du segment I, les paramètres de la source a et t0. (Attention il convient de veiller à ce que exp−(t0/a)² reste petit devant 1)

Question 6 : Cas de géométries plus générales.

On considére la cas plus général où le domaine de calcul peut être vu comme une réunion de rectangles, par exemple pour les géométries ci-dessous. Ecrire dans ce cas un pro-

ΓF

ΓB y

x

Γa Ω ^(ocean)

ΓF

ΓB y

Ω ^(ocean)

x

ΓF

ΓB y

x

Γa Ω

ΓF

ΓB y

Ω ^x

gramme de simulation numérique basé sur le schéma décrit aux section 2 et 3 et sur une approximation par éléments finis Q1 comme à la question 4.

Effectuer des simulations numériques correspondant aux géométries ci-dessus. Interpréter les résultats obtenus.

Proposer et effectuer d’autres cas de simulation.

Question 7 : Un mod`ele en petite profondeur.

On suppose que le domaine fluide dépend d’un petit paramètre ε qui représente le fait qu’on se place en petite profondeur:

Ω^ε ={(x, y)/0< x < D,−ε L(x) < y <0} (14)

o`u L(x) est une fonction strictement positive telle queL(x) =Lpourx > D0 avecD0 < D.

(6)

On suppose que la fonction source f = f^ε est à support inclus dans le segment vertical d’abcisse x = 0 de la frontière de Ω^ε. On cherche un développement asymptotique formel de la solution sous la forme:

Φ^ε(x, y, t) = Φ⁰(x,y ε, t√

ε) +εΦ¹(x,y ε, t√

ε) +ε² Φ²(x,y ε, t√

ε) +...

où les fonctions Φ^j, j = 0,1,2, ...sont définies sur le domaine de référence Ω1 correspondant

àε= 1. Déterminer l’équation aux dérivées partielles 1D dont la fonction Φ⁰ est solution.

Compl´eter par une condition aux limites en x = 0 (on supposera que f^ε est une fonction fixe de y/ε et t√

ε).

Ecrire un programme de simulation pour le modèle limite (le choix du schéma numérique est laissé libre) et effectuer plusieurs simulations numériques en profondeur constante ou non. Commenter les résultats observés.

Comparer les résultats obtenus par le code 2D à ceux obtenus à l’aide du modèle petite profondeur. Commenter.