Analyse num´erique I Chapitre III : R´esolution f(x)=0

Analyse num´erique I Chapitre III : R´esolution f(x)=0

Pr. Souad EL BERNOUSSI

Universit´e Mohammed V de Rabat Facult´e des Sciences

Laboratoire de recherche : (LabMIA-SI) 4 avril 2020

Table des mati`eres

1 Introduction 1

2 M´ethode de la bissection (ou dicotomie). 3

3 M´ethode de Newton-Raphson : 3

4 M´ethode de la s´ecante 4

5 M´ethode du point fixe 5

6 Convergence et ordre de convergence. 5

6.1 Ordre de convergence. . . 5

7 S´erieN^◦3 7

1 Introduction

On va se limiter au cas scalaire :

f :R→R

Soitf une fonction num´erique d’une variable r´eelle.

(1) f(x) = 0

— Isoler les racines, c’est `a dire trouver un intervalle [a, b] dans lequel α est l’unique racine r´eelle de (1).

— Trouver cet intervalle :

th´eor`eme des valeurs interm´ediaires :

— f(a)∗f(b)<0 fadmet un nombre impair de racines

— Sif(a)∗f(b)>0 f admet un nombre pair de racines.

— Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

— Combiner les 2 m`ethodes.

Exemple 1 1)D´eterminer le nombre de solutions r´eelles de l’´equation f(x) =x⁵−5x+ 1 = 0(1).

2)a) Montrer que dans[1,2], l’´equation(1)admet une unique solution r´eelle.

b) Calculer une valeur approch´ee de cette solution `a = 10⁻¹pr´es.

On supposera donc d´esormais avoir trouv´e un intervalle [a, b] o`u f admet une unique racine simple et on supposera que f est d´efinie, continue, et autant de fois continument d´erivable que n´ecessaire.

D´efinition 2 Nous appellerons algoritnme toute m´ethode de r´esolution d’un probl`eme donn´e.

Pour tout probl`eme, nous avons des donn´ees et des r´esultats.

— Les donn´ees sont appel´ees param`etres d’entr´ee(input)

— les r´esultats param`etres de sortie (output) Ils constituent l’interface de l’algorithme.

Les algorithmes classiques que nous allons ´etudiersont les suivants :

1. M´ethode de la bissection 2. M´ethode de Newton-Raphson 3. M´ethode de la s´ecante 4. M´ethode du point fixe.

Notre objectif est simple :

construire une suite(xn)n qui converge versxunique solution def(x) = 0dans un intervalle[a, b]⊂R`apr´es.

2 M´ethode de la bissection (ou dicotomie).

Soitf(x)continue et cherchonsptel quef(p) = 0.

— Supposons qu’on a localis´e un intervalle[a, b]dans lequel la fonction change de signe.

— on posec=^a+b₂ ,

— sif(a)∗f(c)≺0on remplacebparc

— sinon on remplaceaparc,

— on continue cette operation jusqu’`a ce qu’on trouve pavec la pr´ecision de- mand´ee.

Algorithme 3 Trouver une approximation de la solution def(x) = 0dans[a, b]. en construisant une suite d’intervalles([a_n, b_n])_ncontenant la racine et tets quea_noub_n est le milieu de l’intervalle[a_n−1, b_n−1].

Entr´ees:a, b, ,N0

Sortie: la valeur approch´eep:f(p) = 0

1. Sif(a) = 0imprimer la solution esta. Sif(b) = 0imprimer la solution estb, aller `a 10

2. sif(b)∗f(a)>0, imprimer (pas de changement de signe). Aller `a 10 3. poserN = 1

4. Tant queN≤N₀,faire les ´etapes 5 `a 8 5. poserp= ^a+b₂

6. Sif(p) = 0ou ^b−a₂ ≤, imprimerp. Aller `a 10 7. poserN =N+ 1

8. Sif(a)∗f(p)>0,alors posera=p, sinon poserb=p

9. Imprimer apr´esN₀ it´erations l’approximation obtenue estpet l’erreur maxi- male est ^b−a₂

10. Fin

3 M´ethode de Newton-Raphson :

Le principe consiste `a construire une suite(x<sub>n</sub>)<sub>n</sub>,telle quex<sub>n+1</sub>soit l’intersection de la tangente `a la courbe defau point(xn, f(xn))avec l’axe horizontal.

On a :







A= (x₀, f(x₀)), B= (x₁,0)∈axe(Ox) AetB∈D:y=ax+b donc

Algorithme 4 Entr´ees :une approximation initiale p0

ε(la pr´ecision d´esir´ee)

N0(le nombre maximum d’it´erations) Sortie :valeur approch´ee depou un message d’´echec

1. N = 1

2. Tant queN≤N0,faire les ´etapes 3 `a 6.

3. Poser p=p0−_f^f(p0(p⁰0⁾)

4. Si|p−p0|≤εalors imprimerp, aller `a l’´etape 8.

5. PoserN =N+ 1.

6. Poserp₀=p.

7. Imprimer la m´ethode a ´echou´e apr`esN it´erations.

8. Fin.

4 M´ethode de la s´ecante

La m´ethode de Newton-Raphson suppose le calcul def⁰(p). On remplac¸e dans la m´ethode de Newtonf⁰(p_n)par

f(pn)−f(pn−1) pn−p_n−1 . L’´equation de la s´ecante s’´ecrit :

s(x) =f(pn) + (x−pn)^f(p_p^{n)−f(pn−1)}

n−pn−1

Si

s(pn+1) = 0, on en d´eduit :

pn+1=pn−f(pn)_f(p^pn−pn−1

n)−f(pn−1)

Algorithme 5 Trouver une solution def(x) = 0 Entr´ees :deux approximations initialesp0etp1

ε(la pr´ecision d´esir´ee)

N0(le nombre maximum d’it´erations) Sortie :la valeur approch´ee depou un message d’´echec

1. poserN = 1,q0=f(p0),q1=f(p1) 2. Tant queN≤N₀+ 1,faire les ´etapes 3 `a 6 3. poserp=p1−q1(p1−p0)

q₁−q0

4. Si|p−p1|≤εalors imprimerp, aller `a l’´etape 8 5. PoserN =N+ 1

6. Poserp₀=p₁,q₀=q₁,p₁=p,q₁=f(p) 7. Imprimer la m´ethode a ´echou´e apr´esN0it´erations 8. Fin

5 M´ethode du point fixe

Nous pouvons observer que la m´ethode de Newton peut s’interpr´eter comme pn+1=g(pn) o`u g(x) =x−(f(x)

f⁰(x)).

Si la fonctiong(x)est continue et si l’algorithme converge (c.`a.d.pn→p), Alors, puiquep_n+1=g(p_n), on ap:p=g(p);

on dit quepest un point fixe deg.

Algorithme 6 trouver une solution deg(x) =x Entr´ees : une approximation initialep0

ε(la pr´ecision d´esir´ee)

N0le nombre maximale d’it´erations Sortie :valeur approch´ee depou un message d’´echec

6 Convergence et ordre de convergence.

SoitDune partie deRetFune application deDdansD.On dit que la fonctionF est contractante si

∀x, y∈D ,∃k∈[0,1[ tel que

|F(x)−F(y)|≤k |x−y|. kest le co´efficient de contraction ou de Lipschitz deF.

Th´eor`em 7 Consid´erons le segmentS = [p₀−a, p₀+a]⊂D;siFest contractante surSet si|F(p₀)−p₀|≤(1−k)a,alors l’it´erationp_n+1 =F(p_n)de point initial p0,converge vers l’unique point fixep∈SdeF.

Th´eor`em 8 SiF est diff´erentiable au voisinage d’un point fixepet si| F⁰(p) |< 1 alors :

∃V voisinage deptels quep0∈V etpn+1=F(pn)converge versp.

6.1 Ordre de convergence.

Consid´erons une suite{pn}convergeant verspet posonse_n=p_n−p.

On dit dans le cas o`un

en

en−1

o

converge, que la suitepnconverge lin´eairement versp ou encore que la m´ethode est du premier ordre.

Si on an

e_n (en−1)^k

o

converge, alors la convergence est dite d’ordrek.

Six^∗est racine simple def(x) = 0,alorsf⁰(x^∗)6= 0 et il existe un voisinageV dex^∗tel que :

pour toutp0∈V,la suite(pn)nconverge versx^∗ et l’ordre de convergence est 2.

Pour d´eterminer l’ordre de convergence, on utilise la formule de Taylors en x^∗ : F(x) =F(x^∗) +F⁰(x^∗)(x−x^∗) +F⁰⁰(θx)^(x−x₂^∗)2).

7 S´erie N

3

Exercices 1

R´esoudre `a l’aide de la m´ethode de bisectiontanx−x= 0dans l’intervalle[4; 4.7].

Exercice 2

On consid`ere l’´equation (1)e^x−4x= 0

1) D´eterminer le nombre et la position approximative des racines de (1) situ´ees dans .x≥0

2) Utiliser l’algorithme de bissection pour d´eterminer la plus petite de ces racines

`aεpr`es.(par exemple 10⁻⁷)

3) Sans faire d’it´erations, d´eterminer combien vous devriez en faire pour calculer la plus grande racine `a l’aide de la bissection avec une pr´ecision de 10⁻⁸, si l’intervalle de d´epart est[2; 2,5]

Exercice 3

Ecrire un algorithme pour calculer par la m´ethode de Newton la racine K-i`eme d’un´ nombre.

Quelle est la valeur de s= q

2 +p 2 +√

2 +...?

Suggestion : ´ecrire .p_n+1=G(p_n),p₀=0 Quel est l’ordre de convergence ? Exercice 4

Ecrire 3 m´ethodes it´eratives pour la r´esolution de´ x³ −x−1 =0 et v´erifier exp´erimentalement leur convergence avecx0 = 1,5. Trouver `a 10<sup>−6</sup>pr`es la racine comprise entre 1 et 2. Connaissant la valeur de cette racine, calculer l’ordre de conver- gence de vos 3 m´ethodes. Ce r´esultat coincide-t-il avec l’exp´erience ?

Exercice 5

R´esoudre x²-1=0 en utilisant la m´ethode de la s´ecante avecx0=−3etx1= 5/3.

Qu’arrivera-t-il si on choisit etx0= 5/3etx1=−3? Expliquez.