alors Xn converge vers X d’apr`es l’in´egalit´e de Markov : en effet, pour tout ε >0, on a P |Xn−X|&gt

cours 23, le lundi 2 mai 2011

Convergence en probabilit´e

On dit qu’une suite (X_n) de v.a. r´eelles d´efinies sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P) converge en probabilit´e vers une v.a. r´eelle X d´efinie sur le mˆeme espace (Ω,F,P) si

∀ε >0, P |X_n−X|> ε

−→_n 0.

Si (Xn) converge vers X dans L^p(Ω,F,P), pour un p tel que 1 ≤ p < +∞, alors Xn

converge vers X d’apr`es l’in´egalit´e de Markov : en effet, pour tout ε >0, on a P |X_n−X|> ε

= P |X_n−X|^p > ε^p

≤ R

Ω|X_n−X|^pdP

ε^p = kX_n−Xk^pp

ε^p qui tend vers 0 par hypoth`ese.

Proposition.Si la suite de variables al´eatoires r´eelles(X_n)converge en probabilit´e vers la variable al´eatoire X, la loi PXn converge ´etroitement vers la loi PX.

Preuve. — Si Y et Z sont deux variables al´eatoires d´efinies sur (Ω,F,P), on remarque que pour touty r´eel et tout ε >0, on a

{Y ≤y} ⊂ {Z≤y+ε} ∪ {|Z−Y|> ε}. Par cons´equent, pour tout x r´eel,

P Xn ≤x

≤P X≤x+ε

+ P |Xn−X|> ε ,

et de mˆeme pour l’in´egalit´e inf´erieure, cette fois avec y=x−ε, Y = X et Z = Xn, P X≤x−ε

≤P Xn≤x

+ P |Xn−X|> ε . Si Xn converge vers X en probabilit´e, on aura donc pour n assez grand

P X≤x−ε

−ε≤P Xn ≤x

≤P X≤x+ε +ε, ce qui est l’expression de la convergence ´etroite des lois.

Rappel-th´eor`eme.Pour une suite (Xn)de variables al´eatoires les conditions suivantes sont ´equivalentes :

1. — la suite des lois (PXn) converge ´etroitement vers la loi PX de la variable al´eatoire X;

2. — pour toute fonction f continue born´ee sur R, r´eelle ou complexe, on a

Ef(Xn)−→_n Ef(X) ;

3. — il y a convergence simple sur R des fonctions caract´eristiques,

∀t ∈R, ϕ_Xn(t)−→_n ϕ_X(t).

D´erivabilit´e de la fonction caract´eristique d’une variable al´eatoire On rappelle que la fonction caract´eristique ϕ_X, d´efinie par

∀t ∈R, ϕ_X(t) = E e^itX= Z

Ω

e^itX(ω) dP(ω)

est une fonction continue et born´ee sur R. Pour voir si on peut d´eriver ϕ_X, on regarde la d´eriv´ee partielle de la fonction f(t, ω) d´efinie sur R×Ω par

f(t, ω) = e^itX(ω)

`a savoir

∂f

∂t(t, ω) = iX(ω) e^itX(ω); la majoration du module de cette d´eriv´ee partielle va de soi,

iX(ω) e^itX(ω)

=|X(ω)|.

Le th´eor`eme de d´erivation de la th´eorie de Lebesgue donne : pour queϕ_X soit d´erivable, il suffit que X soit int´egrable ; dans ce cas,

ϕ⁰_X(t) = i E X e^itX

= i Z

Ω

X(ω) e^itX(ω) dP(ω) = i Z

R

xe^itx dP_X(x).

En fait, la fonction caract´eristique est de classe C¹ dans ce cas, car la d´eriv´ee partielle

∂f

∂t est continue par rapport `a t, donc ϕ<sup>0</sup><sub>X</sub> est continue par le th´eor`eme de continuit´e.

On peut continuer `a d´eriver : si E|X|ⁿ<+∞ pour un entier n≥1, alors ϕ_X est de classe Cⁿ; en particulier, quand X ∈L²,

ϕ⁰⁰_X(t) =−E X²e^itX .

Quand X a des moments de tous les ordres n, la fonction ϕ_X est de classe C^∞ et

∀n≥0, ϕ⁽ⁿ⁾_X (0) = iⁿE Xⁿ.

Rappel-exemple : v.a. U uniforme sur [−1,1]. Dans ce cas tous les moments existent, et de plus la fonction caract´eristique ϕ_U est non seulement C^∞, mais analytique, somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence +∞; en effet, on a calcul´e

ϕ_U(t) = sint

t =

+∞X

n=0

(−1)ⁿ t²ⁿ (2n+ 1)!. On v´erifie que le d´eveloppement en s´erie de Taylor

ϕ_U(0) + ϕ⁰⁰_U(0)

2 t² +· · ·= 1− t² 6 +· · · redonne E U = 0, E U² =−ϕ⁰⁰_U(0) = 1/3.

Dans le cas de la loi gaussienne centr´ee r´eduite, ou de sa densit´e g(x) = e^−x2/2

√2π , on a vu que

bg(t) = Z

R

e^−itxe^−x2/2 dx

√2π = e^−t2/2.

Th´eor`eme de la limite centrale

Avant d’attaquer le th´eor`eme, rappelons que la fonction caract´eristiqueϕ_X d’une v.a. X est de classe C² sur R quand E X² <+∞ et que dans ce cas, on a

ϕ⁰_X(0) = i E X et ϕ⁰⁰_X(0) =−E X².

Th´eor`eme de la limite centrale, version 0. Soit (Y_n) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes, centr´ees, de mˆeme loi, et telles que E Y_n² = 1; la suite des variables al´eatoires

s_n = Y₁+· · ·+ Y_n

√n

converge en loi vers la loi gaussienne centr´ee r´eduite N(0,1), c’est-`a-dire que pour tous a < b on a

P {a ≤sn ≤b}

−→_n Z b

a

e^−x2/2 dx

√2π.

Preuve. — Les variables al´eatoires (Y_n) ayant toutes la mˆeme loi, elles ont la mˆeme fonction caract´eristique qu’on appellera ϕY (on a ϕY = ϕY1 = ϕYj, pour tout j > 1).

Comme Y₁ est de carr´e int´egrable, la fonction caract´eristique ϕ_Y est de classe C², donc au voisinage de 0 on peut ´ecrire par Taylor-Young

ϕY(t) =ϕY(0) +tϕ⁰_Y(0) + t²

2 ϕ⁰⁰_Y(0) +t²ε1(t), o`u ε₁(t) tend vers 0 quand t→0. On a ici

ϕ⁰_Y(0) = i E Y = 0, ϕ⁰⁰_Y(0) =−E Y² =−1, donc, en rempla¸cant, on obtient le d´eveloppement limit´e

ϕY(t) = 1− t²

2 +t²ε1(t).

Par l’ind´ependance des v.a. (Y_j), pour tout t ∈Rfix´e, on obtient ϕ_sn(t) = E e^itsn = EYⁿ

j=1

e^itYj/√n

= Yn

j=1

E e^itYj/√n

=

=

E e^{i (t/√n)Y1}n

=ϕ_Y(t/√ n)ⁿ. On a par ailleurs

ln(1 +u) =u+uε₂(u)

au voisinage de 0, o`u ε2(u) tend vers 0 quand u→0. On a donc lnϕsn(t) =nlnϕY(t/√

n) =nln

1− t² 2n + t²

nε1(t/√ n)

. Posons

u_n=− t² 2n + t²

nε₁(t/√ n),

qui tend vers 0 avec n, ce qui entraˆıne que ε2(un) tend vers 0 ; de plus nu_n=−t²/2 +t²ε₁(t/√

n) tend vers −t²/2 quand n→+∞; on en d´eduit que

lnϕ_sn(t) =nln(1 +u_n) =nu_n+nu_nε₂(u_n)

tend vers−t²/2. Donc pour touttr´eel,ϕsn(t) converge vers e^−t2/2 =ϕG(t), en d´esignant par G une v.a. gaussienne centr´ee r´eduite. On conclut grˆace au rappel-th´eor`eme.

Th´eor`eme de la limite centrale. Soit (X_n)_n>1 une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, centr´ees, de mˆeme loi, et avec un moment d’ordre deux E X²_nfini ; posons σ² = E(X₁−E X₁)² = Var(X₁) et supposons Var(X₁)>0. La suite

s_n = X₁+· · ·+ X_n−nE X₁ σ√

n = 1

√n Xn

j=1

X_j−E X_j σ converge en loi vers la loi gaussienne centr´ee r´eduite N(0,1).

Preuve. — Comme les X_i sont de carr´e int´egrable par rapport `a la mesure finie P sur Ω, elles sont aussi P-int´egrables ; comme elles ont la mˆeme loi, elles ont la mˆeme int´egrale m= E X_i = E X₁. Posons

Y_i = X_i−m

σ ;

ces variables sont ind´ependantes comme fonctions Y_i =g(X_i) de variables ind´ependantes, o`u

g(x) = x−m σ ,

et les (Y_i) ont la mˆeme loi (elles sont obtenues par la mˆeme fonction g `a partir de v.a.

de mˆeme loi). On a E Y_i = E X_i−m

/σ= 0 et E Y_i² = 1

σ² E(X_i−m)² = 1

E(X1−E X1)² E(X_i−E X_i)² = 1.

Le r´esultat annonc´e d´ecoule de la version 0, appliqu´ee aux (Yi).

Lois des grands nombres

On peut penser que le fait de consid´erer la moyenne Z_n(ω) = X₁(ω) +· · ·+ X_n(ω)

n

des r´esultats ind´ependants successifs (X_n(ω)) d’une mˆeme exp´erience al´eatoire, pour n assez grand, a des chances de stabiliser le ph´enom`ene, en r´eduisant l’influence de l’al´ea.

C¸ a n’est pas toujours le cas, comme on l’a vu dans le cas des variables de Cauchy : dans ce cas la loi de Z_n est constamment ´egale `a la loi de Cauchy.

Remarque 1.Si la suite (X_n) tend presque sˆurement vers X, alors (X_n) tend vers X en probabilit´e.

En effet, pour tout ε >0 donn´e, la suite des fonctions sur Ω f_n(ω) =1_{{|Xn−X|>ε}}(ω)

converge P-presque partout vers 0 en ´etant domin´ee par la fonction P-int´egrable fixe 1.

Il en r´esulte que Z

Ω

fn(ω) dP(ω) = P |Xn−X|> ε

−→_n 0.

Loi faible des grands nombres

L’effet r´egularisant escompt´e aura lieu pour les lois qui ont un moment absolu d’ordre 1, autrement dit pour les variables al´eatoires int´egrables. On va commencer par un r´esultat assez simple qui est `a notre port´ee.

Th´eor`eme (loi faible des grands nombres). Si les variables al´eatoires (X_n)_n>1 sont ind´ependantes, de mˆeme loi et int´egrables, la variable al´eatoire

X₁+· · ·+ X_n n

converge en probabilit´e, donc en loi, vers la constante E X₁. Preuve. — On recentre en posant

Y_j = X_j−E X_j,

et il s’agit de montrer que V_n = (Y₁ +· · ·+ Y_n)/n tend en probabilit´e vers la varia- ble al´eatoire constante 0, partout ´egale `a 0 ; dans le cas de la limite constante 0, la convergence des lois suffit pour obtenir la convergence en probabilit´e : si ψ est une fonction continue telle que ψ(0) = 1 et

0≤ψ ≤1_[−ε,ε],

la convergence de P_Vn vers δ₀, la loi de la limite 0, implique P |V_n| ≤ε

≥ Z

R

ψ(t) dP_Vn(t)−→_n Z

R

ψ(t) dδ₀(t) =ψ(0) = 1, donc pour n assez grand, on a P |V_n| ≤ε

>1−ε et P |V_n|> ε

< ε, ce qui signifie que Vn converge en probabilit´e vers 0.

D’apr`es le rappel-th´eor`eme, on sait que la convergence ´etroite des lois P_Vn des v.a. Vn vers la mesure de Dirac δ0 au point 0 ´equivaut `a la convergence simple sur R des fonctions caract´eristiques. Or

ϕ⁰(t) = E e^it.0 = 1, et

ϕY(t) = 1 +tϕ⁰_Y(t) +tε(t) = 1 + itE Y +tε(t) = 1 +tε(t) ; il en r´esulte que

ϕ_Vn(t) = E e^itVn = EYⁿ

j=1

e^{i (t/n)Yj}

= Yn

j=1

E e^{i (t/n)Yj} =

= Yn

j=1

ϕ_Yj(t/n) = ϕ_Y(t/n)n

= 1 + t

nε(t/n)n

−→_n 1.

On v´erifie l’affirmation pr´ec´edente en prenant le logarithme, lnϕ_Vn(t) =nln

1 + t

nε(t/n)

∼nt

nε(t/n)

=tε(t/n) −→_n 0.

Le cas L²

Si les Y_i sont des v.a. r´eelles dans L², ind´ependantes et centr´ees, elles sont orthogonales ; en effet, pouri 6=j,

hY_i,Y_ji= Z

Ω

Y_i(ω)Y_j(ω) dP(ω) = E Y_iY_j = E Y_iE Y_j = 0.

Il r´esulte de l’orthogonalit´e (^hhth´eor`eme de Pythagoreⁱⁱ dans l’espace L²(Ω,F,P)) que pour des v.a. de carr´e int´egrable centr´ees et ind´ependantes (Y_j), on a

EXⁿ

j=1

Y_j2

=

Xn

j=1

Y_j

2 2 =

Xn

j=1

kY_jk²2 = Xn

j=1

E Y_j².

Proposition 1. Si les variables al´eatoires X_i sont ind´ependantes et sont dans l’espace L²(Ω,F,P), on a

VarXⁿ

i=1

X_i

= Xn

i=1

Var(X_i).

Preuve. — Posons Y_i = X_i − E X_i; les (Y_j) sont ind´ependantes et centr´ees, ce qui ram`ene au cas pr´ec´edent : on a

VarXⁿ

i=1

X_i

= EXⁿ

i=1

X_i− Xn

i=1

E X_i2

= EXⁿ

i=1

Y_i2

= Xn

i=1

E Y²_i = Xn

i=1

Var(X_i).

Avec l’in´egalit´e de Tchebychev, on obtient pour tout δ > 0 et tout n ≥ 1, lorsque les (X_j) sont ind´ependantes de mˆeme loi, de carr´e int´egrable

P

Pn i=1X_i

n −E X

≥δ

= P

Xn

i=1

Xi−EXⁿ

i=1

Xi

≥nδ

≤ Var(Pn i=1X_i)

n²δ² = Var(X) δ²n . On retrouve la loi faible, mais avec une estimation de la vitesse de convergence, alors qu’il n’y avait aucune information de vitesse dans le th´eor`eme pr´ec´edent.

Remarque. Si on arrivait `a gagner un ε >0, sous la forme P

Pn

i=1X_i

n −E X

≥δ

≤ C(X, δ) n^1+ε ,

on aurait une s´erie convergente et on pourrait d´eduire la loi forte des grands nombres par Borel-Cantelli (voir la preuve donn´ee plus loin).

Le vrai th´eor`eme : la loi forte

Th´eor`eme(loi forte des grands nombres). Si les (X_n)_n>1 sont ind´ependantes, de mˆeme loi et int´egrables, on a presque sˆurement

X1+· · ·+ Xn

n −→_n E X.

La loi forte implique la faible d’apr`es la remarque 1. On ne montrera ici qu’un cas particulier simple, celui o`u E X⁴ <+∞.

Proposition. On suppose que les (Y_i)_i>1 sont ind´ependantes, centr´ees et que b⁴ = sup

i

E Y⁴_i <+∞. Alors pour tout δ >0 et tout n≥1, on a

P

Y₁+· · ·+ Y_n n

≥δ

≤ 3b⁴ δ⁴n². Preuve. — On pose Sn =P_n

j=1Yj et on d´eveloppe sauvagement E S⁴_n = E

Y4 k=1

Xⁿ

jk=1

Y_jk

= X

(j¹,j²,j³,j⁴)

E Y_j1Y_j2Y_j3Y_j4

.

Par l’ind´ependance et le centrage, l’esp´erance du produit de quatre est nulle d`es qu’un terme Y<sub>jk</sub> n’apparaˆıt qu’une seule fois, comme dans (j, i, j, j), avec i6=j. Il ne reste que les termes de la forme (i, i, i, i) ou bien les (i, i, j, j), (i, j, i, j), (i, j, j, i), o`u le deuxi`eme indice i a trois positions possibles. Il en r´esulte, en notant que (E Y²)² ≤E Y⁴, que

E S⁴_n = Xn

i=1

E Y⁴_i + 3X

i6=j

E Y_i²E Y²_j ≤nb⁴+ 3(n²−n)b⁴ = (3n²−2n)b⁴ ≤3n²b⁴. On conclut avec Markov,

P |S_n|/n≥δ

= P(S⁴_n ≥δ⁴n⁴)≤ E S⁴_n

δ⁴n⁴ ≤ 3b⁴ δ⁴n².

On peut aussi montrer par r´ecurrence que si les Y_n sont ind´ependantes centr´ees, de mˆeme loi, et b⁴ = E Y⁴, c⁴ = E Y²2

, alors

E S⁴_n =nb⁴+ 3n(n−1)c⁴

(qui est donc≤3n²b⁴, comme on a vu). En effet, E S⁴₁ = E Y⁴₁ =b⁴ montre le pas n= 1, et le passage de n`a n+ 1 se d´emontre en ´ecrivant d’abord que

E S⁴_n+1 = E(S_n+ Y_n+1)⁴ = E S⁴_n+ 4 E S³_nY_n+1+ 6 E S²_nY²_n+1+ 4 E S_nY³_n+1+ E Y_n+1⁴ ; ensuite, par l’ind´ependance, on a que E S³_nY_n+1 = E S³_n E Y_n+1 = 0, et de mˆeme, on voit que E SnY³_n+1 = E SnE Y³_n+1 = 0, donc

E S⁴_n+1 = E S⁴_n+ 6 E S²_nE Y²_n+1+ E Y⁴_n+1

=nb⁴+ 3n(n−1)c⁴+ 6nc²c²+b⁴ = (n+ 1)b⁴+ 3(n+ 1)nc⁴, ce qu’il fallait obtenir au pas n+ 1.

Proposition. On suppose que les (X_i)_i>1 sont ind´ependantes de mˆeme loi et que a⁴ = E X⁴_i <+∞.

Il en r´esulte que presque sˆurement

X₁+· · ·+ X_n

n −→_n E X1.

Preuve. — On a pour les int´egrales par rapport `a une probabilit´e E|X| ≤(E X²)^1/2 ≤(E X⁴)^1/4

donc

|E X_j| ≤a, E X²_j ≤a²,

puisque par hypoth`ese E X⁴_j ≤ a⁴. Les variables Y_i = X_i−E X_i sont centr´ees ind´epen- dantes et (E Y⁴_i)^1/4 ≤2a (in´egalit´e triangulaire dans L⁴). Avec b= 2a, on trouve

P

X₁+· · ·+ X_n

n −E X

≥δ

= P

Y₁+· · ·+ Y_n n

≥δ

≤ 3b⁴ δ⁴n². On a donc que la suite des ´ev´enements

A_n= A_n(δ) =nY₁+· · ·+ Y_n n

≥δo v´erifie P

P(A_n)<+∞, autrement dit Z

Ω

^+∞X

n=1

1_An(ω)

dP(ω) = X+∞

n=1

Z

Ω

1_An(ω) dP(ω) =

+∞X

n=1

P(A_n)<+∞,

donc la fonction sous l’int´egrale est finie presque sˆurement. Cela veut dire qu’il existe un ensemble n´egligeable N(δ)∈ F tel que pour toutω /∈N(δ), il n’existe qu’un nombre fini de valeurs de n telles que ω ∈ An(δ). Quand ω /∈N(δ), on peut donc trouver un entier n₀(ω) tel que

n≥n₀(ω) ⇒

Y₁(ω) +· · ·+ Y_n(ω) n

< δ.

Pour chaque δ= 2^−k, k ∈N, on dispose d’un ensemble n´egligeable N(2^−k). Par r´eunion d´enombrable en k ∈ N de n´egligeables, on obtient N ∈ F tel que P(N) = 0 et tel que pour tout k ≥ 0, tout ω /∈ N, il existe un entier n₀(k, ω) tel que pour n ≥n₀(k, ω), on ait ω /∈ A_n(2^−k). C’est la convergence presque sˆure ; pour tout ω /∈ N on a le r´esultat suivant : pour tout entier k, il existe un entier n₀ =n₀(k, ω) tel que pour tout n≥n₀,

on ait

Y1(ω) +· · ·+ Yn(ω) n

<2^−k.

Autrement dit, pour tout ω /∈N, c’est-`a-dire pour presque toutω ∈Ω, la suite Y₁(ω) +· · ·+ Y_n(ω)

n tend vers 0 = E Y quand n tend vers l’infini.

Approximation polynomiale de Weierstrass par les polynˆomes de Bernstein

Th´eor`eme d’approximation de Weierstrass. Si f est une fonction r´eelle ou complexe continue sur l’intervalle ferm´e [0,1], il existe une suite de fonctions polynomiales qui tend vers f uniform´ement sur [0,1].

Preuve. — Sur l’ensemble `a deux points {0,1} consid´erons, pour tout x ∈ [0,1], la probabilit´e µx d´efinie par

µ_x({1}) =x, µ_x({0}) = 1−x.

Sur Ω_n = {0,1}ⁿ on regarde les fonctions coordonn´ees : pour ω = (ω₁, . . . , ω_n)∈Ω_n et i= 1, . . . , n on pose

X_i(ω) =ω_i ∈ {0,1} ⊂R. On introduit sur Ω_n les probabilit´es (P_x)_x∈[0,1] produit, P_x =µ_x⊗ · · · ⊗µ_x =µ^⊗n_x

produit tensoriel de n facteurs ´egaux `a µ_x. Comme P_x est une mesure produit, on a quand Aj ⊂ {0,1}, j = 1, . . . , n,

(∗) P_x(A₁× · · · ×A_n) = Yn

j=1

µ_x(A_j).

Pour la probabilit´e Px, on a

P_x(X_i = 1) =x,

r´esultat obtenu en prenant A_i ={1} et les A_j, j 6=i, ´egaux `a {0,1}, P_x(X_i = 1) =µ_x({1})Y

j6=i

µ_x({0,1}) =µ_x({1}) =x.

Sous la loi P_x, les (X_i) sont donc de mˆeme loi µ_x. L’´egalit´e (∗) peut se r´ecrire sous la forme

P_x (X₁ ∈A₁) &. . .& (X_n ∈A_n)

= Yn

j=1

P_x(X_j ∈A_j), qui montre que sous la loi P_x, les variables (X_i) sont ind´ependantes.

Ces probabilit´es P_x sont ^hhpolynomiales par rapport au param`etre x ∈ [0,1]ⁱⁱ, puisque pour tout singleton {(t1, . . . , tn)} contenu dans Ωn on a

Px({(t1, . . . , tn)}) =x^k(1−x)^n−k,

o`u k est le nombre de 1 dans la suite (t₁, . . . , t_n)∈Ω_n; le r´esultat pr´ec´edent est obtenu en prenant Aj ={tj}, j = 1, . . . , n. On a par ailleurs

ExXi = 1.Px(Xi = 1) + 0.Px(Xi = 0) =x, et

VarxXi = Ex(Xi−x)² = (1−x)²x+x²(1−x) =x(1−x)≤1/4.

Posons

S_n = Xn

j=1

X_j, M_n = S_n n . On v´erifie que

E_xM_n =x.

Par la proposition 1, on a Var_xS_n =nVar_xX₁ =nx(1−x), donc

Varx(Mn) = Varx(Sn/n) = Varx(Sn)/n² =nx(1−x)/n² ≤1/(4n).

Donc par Tchebychev,

Px(|Mn−x| ≥δ)≤ 1 4δ²n.

On retrouve le principe de la loi des grands nombres : il y a de grandes chances, pour la probabilit´e P_x, que la valeur de M_n soit proche dex.

Sif est continue sur [0,1], il y aura aussi de grandes chances que la valeur def(M_n) soit proche de f(x), et en particulier que l’esp´erance E_xf(M_n) soit proche def(x). Cela

´etant vrai pour tout x, on aura approch´e x → f(x) par x → E_xf(M_n), qui se trouve ˆetre une fonction polynomiale. On aura ainsi une preuve du th´eor`eme d’approximation polynomiale de Weierstrass.

Il faut pr´eciser les choses ; siε > 0 est donn´e, il existeδ >0 tel que|f(y)−f(x)|< ε d`es que |x−y| < δ. On va voir que x → E<sub>x</sub>f(M<sub>n</sub>) est polynomiale, et uniform´ement proche de x→f(x), ce qui d´emontre le th´eor`eme de Weierstrass dans le cas de [0,1].

D´eterminons la loi de S_n; il est clair que S_n prend des valeurs enti`eres qui peuvent varier de k = 0 `a k =n; pour ces valeurs de k, on a

P_x(S_n =k) = n

k

x^k(1−x)^n−k.

C’est assez clair directement (pour que la somme de valeurs 0 ou 1 soit ´egale `a k, il faut qu’il y ait exactement k valeurs ´egales 1, chacune obtenue avec probabilit´e x, et ind´ependamment, ce qui donne le facteurx<sup>k</sup>, mais les k places avec des 1 sont n’importe o`u parmin, ce qui am`ene le coefficient du binˆome), mais on va le confirmer par r´ecurrence.

Le r´esultat est clair quand n= 1 : pour k = 0,1,

P_x(S₁ =k) = P_x(X₁ =k) =x^k(1−x)^1−k = 1

k

x^k(1−x)^1−k. Passons de n≥1 `a n+ 1. On a

P_x(S_n+1 =k) = P_x (S_n =k) & (X_n+1 = 0)

+ P_x (S_n =k−1) & (X_n+1 = 1)

=

= P_x(S_n =k) (1−x) + P_x(S_n=k−1)x=

= n

k

x^k(1−x)^n−k(1−x) + n

k−1

x^k−1(1−x)^n−k+1x=

=

n+ 1 k

x^k(1−x)^n+1−k.

On v´erifie ainsi que E_xf(M_n) =

Xn

k=0

fk n

P(S_n =k) = Xn

k=0

fk n

n k

x^k(1−x)^n−k,

polynˆome de Bernstein x→P_n(f, x) de degr´e n. D’un autre cˆot´e, en d´ecoupant suivant que |Mn−x|< δ ou non, on obtient

E_xf(M_n)−f(x)

≤E_x

f(M_n)−f(x) ≤

≤εP(|Mn−x|< δ) + 2kfk∞P(|Mn−x| ≥δ) ≤ε+ kfk∞

2δ²n . Cela est valable pour tout x ∈[0,1], donc

(∗∗) kP_n(f)−fkC([0,1])≤ε+ kfk∞

2δ²n.

Si on donne ε >0, on lui associe δ >0 (d´ependant de f), on peut ensuite choisir n0 tel que

kfk∞

2δ²n₀ ≤ε.

Pour tout n≥n₀, on aura alors

kP_n(f)−fkC([0,1])≤2ε.

Remarque. Si f est 1-lipschitzienne on peut prendre δ = ε et la preuve indique, en supposant aussi kfk^∞≤1, qu’il faut associer εetn de fa¸con que

1 ε²n ∼ε;

si on donnen≥1 et si on poseε=n^−1/3, on trouve d’apr`es (∗∗) kPn(f)−fkC([0,1])≤2n^−1/3.

Mais en fait la preuve se simplifie dans ce cas Lipschitz. On peut ´ecrire directement

|^Exf(Mn)−f(x)|≤Ex|Mn−x| ≤(Ex(Mn−x)²)^1/2=

rx(1−x)

n ≤ 1

2√ n. On ne peut pas faire mieux que n^−1/2 comme vitesse de convergence dans le cas lip- schitzien, comme le montre l’exemplef(x) =|x−1/2|et une application du th´eor`eme de la limite centrale. Dans le cas o`u f est de classe C², on peut ´ecrire avec Taylor-Lagrange

|^f(y)−f(x)−(y−x)f⁰(x)|≤ kf⁰⁰k^∞(y−x)² 2 qui implique, comme ExMn =x, que

Ex(Mn−x)f⁰(x) = 0, donc

|^{E f(M )}−f(x)|⁼|^E (f(M )−f(x)−(M −x)f⁰(x))|≤

≤ kf⁰⁰k^∞Ex(Mn−x)²/2 =kf⁰⁰k^∞x(1−x)

2n ≤ kf⁰⁰k^∞ 8n .

On ne peut pas faire mieux que la vitesse 1/n, comme montre l’exemple f(x) = x². En effet,

ExM²n = Ex((Mn−x) +x)²= Ex(Mn−x)²+x²,

donc l’´ecart entre la valeur Exf(Mn) = ExM²_n donn´ee par Bernstein et la vraie valeur f(x) =x² est

ExM²_n−x²= Ex(Mn−x)²= x(1−x) n ,

de l’ordre de 1/n; pr´ecis´ement, on a pour le polynˆome d’approximation Pn(f), dans le cas pr´esent o`u f(x) =x²,

kPn(f)−fk^C([0,1])= 1 4n.