1`ere 11 Correction DM 3 5 novembre 2014 Exercice Op´erations et valeur absolue
(1) Six>0 ety>0 alors |x|=xet|y|=y, donc|x×y|=x×y=|x| × |y|. Six60 ety60 alors |x|=−xet |y|=−y donc|x| × |y|=−x× −y=x×y, de plusx×y >0 donc|x×y|=x×y.
Six>0 ety 60 alors|x|=xet |y|=−y donc|x| × |y|=−x×y, de plusx×y <0 donc|x×y|=−x×y. Si x60 et y>0, on utilise le mˆeme argument
(2) On suppose quex6= 0
1x
× |x|= x1×x
= 1, en divisant par|x|, on obtient la premi`ere ´egalit´e.
x y
=|x| ×
1 y
=|x| ×|y|1 =|x||y|
Exercice 72 p. 60
(1) M A=xetM B= 8−xavecx∈]0; 8[. Doncf(x) = 1 x+ 1
8−x= 8−x+x
x(8−x) = 8
x(8−x).16−(x−4)2= 16−(x2−8x+16) = x2+ 8xdoncf(x) = 8
16−(x−4)2.
(2) Soitud´efinie sur ]0; 8[ paru(x) = 16−(x−4)2.u(x) = 0 six= 8 oux= 0 doncf est bien d´efinie sur ]0; 8[.
On sait queuest croissante sur ]0; 4[ et d´ecroissante sur ]4; 8[, doncf est d´ecroissante sur ]0; 4[ et croissante sur ]4; 8[.
(3) f(x) est donc minimal lorsque x=AM= 4.
Exercice 73 p. 60
(1) On conjecture quef est d´ecroissante sur [0; 1].
(2) a. Les deux cercles sont tangents donc la distance qui s´epare M et N et la somme des deux rayons du cercle. On a M N =x+y doncM N2= (x+y)2.
Le triangleM EN donc rectangle enE, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore,EM2+EN2=M N2.
On sait de plus queF M=xdoncM E = 1−xetHN =y doncN E= 1−y. DoncM N2= (1−x)2+ (1−y)2. b. On a donc (x+y)2= (1−x)2+ (1−y)2, c’est-`a-dire 1−2x+x2+ 1−2y+y2=x2+y2+ 2xy, ce qui ´equivaut `a
2−2x−2y= 2xy, o`u encore 1−x=y(1 +x). D’o`u l’´equationy= 1−x
1 +x (x∈[0; 1] donc 1 +x6= 0).
(3) a. −1 + 2
1 +x= −(1 +x) + 2
1 +x = 1−x
1 +x =y=f(x) b. 1 +x6= 0 sur [0; 1] doncf est d´efinie sur [0; 1].
x7→1 +xest croisante sur [0; 1] doncx7→ 1
1 +x est d´ecroissante sur [0; 1] doncf est d´ecroissante sur [0; 1].
Exercice 3
(1) (1 +x)26= 0 six6=−1 doncf est d´efinie sur ]− ∞;−1[∪]−1; +∞[.
(2) a. La fonction carr´ee est d´ecroissante sur ]− ∞; 0[ et croissante sur ]0; +∞[.
b. D´emontrons un cas. Sif(x)<0 etf est d´ecroissante surI alorsf2est croissante surI.
Soient a ∈ I et b ∈ I tels que a < b. Donc f(a) > f(b). f(a) et f(b) sont n´egatifs, donc, par d´ecroissance de la fonction carr´ee, f2(a)> f2(b).
La fonctionf2 est donc croissante surI.
(3) 1 2 1−
1− 2
1 +x 2!
=1 2
1−
1− 4
1 +x+ 4 (1 +x)2
=1 2
4
1 +x− 4 (1 +x)2
=1 2
4(1 +x)−4 (1 +x)2
= 2x
(1 +x)2. (4) x7→1 +xest croissante sur ]− ∞;−1[ et sur ]−1; +∞[, doncx7→ 1
1 +x est d´ecroissante sur ]− ∞;−1[ et sur ]−1; +∞[
et x7→1− 2
1 +x est croissante sur ]− ∞;−1[ et sur ]−1; +∞[.
Soitud´efinie surR\ {−1}paru(x) = 1− 2
1 +x. ´Etudions le signe deusurR\ {−1}.u(x) =1−x
1 +x, le tableau de signes
deuest donc : x 1−x 1 +x u(x)
−∞ −1 1 +∞
− − 0 +
− 0 + +
+ − 0 +
uest strictement croissante et positive sur ]− ∞;−1[ et sur ]1; +∞[ doncu2 est strictement croissante sur ]− ∞;−1[ et sur ]1; +∞[.
f = 12 1−u2
est donc strictement d´ecroissante sur ]− ∞;−1[ et sur ]1; +∞[.
uest strictement croissante et n´egative sur ]−1; 1].u2est donc strictement d´ecroissante sur ]−1; 1].
f = 12 1−u2
est donc strictement croissante sur ]−1; 1].
