Ce document n’est pas ` a proprement parler une correction, mais plutˆ ot une s´ erie d’indications que j’esp` ere suffisamment d´ etaill´ ees.

Pr´ eparation au CAPES externe 2010-2011,

Correction succincte du probl` eme sur le laplacien discret.

Commentaires pr´ eliminaires.

Ce document n’est pas ` a proprement parler une correction, mais plutˆ ot une s´ erie d’indications que j’esp` ere suffisamment d´ etaill´ ees.

Ce sujet a ´ et´ e librement invent´ e ` a partir de la discr´ etisation du probl` eme de Dirichlet en dimensions 1 et 2 par la m´ ethode des diff´ erences finies, suite ` a une discussion avec Ludovic Rifford.

Partie I: cas de la dimension 1.

A. Approche alg` ebrique.

A.1.a. On d´ emontre H _N ¹ est le noyau de l’application lin´ eaire f _N − id _N : v ∈ ker(f N − id N ) ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , N} f (v) i = v i

⇔ ∀i ∈ {2, . . . , N − 1} v i−1 + v i+1

2 = v i ⇔ v ∈ H _N ¹ . A.1.b. La matrice F _N de f _N dans la base canonique de R ^N est:

F _N :=

















1 0 0 . . . 0

1

2 0 ¹ ₂ . .. ...

0 . .. ... ... 0 .. . . .. ¹

2 0 ¹ ₂ 0 . . . 0 0 1

















On a en particulier F ₃ =





1 0 0

1 2 0 ¹ ₂ 0 0 1



 et F ₄ =









1 0 0 0

1

2 0 ¹ ₂ 0 0 ¹ ₂ 0 ¹ ₂

0 0 0 1







 .

A.1.c. On a F N − I N =

















0 0 0 . . . 0

1

2 −1 ¹ ₂ . .. ...

0 . .. ... ... 0 .. . . .. ¹

2 −1 ¹ ₂ 0 . . . 0 0 0















 .

La famille des vecteurs lignes est li´ ee (elle contient le vecteur nul), donc le d´ eterminant de cette matrice est nul.

A.2.a. L’´ equation homog` ene pour cette suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique est x ² + x + ¹ ₄ = 0, qui admet

− ¹ ₂ comme racine double. On sait que la suite x _n est alors de la forme (− ¹ ₂ ) ⁿ (α + β n), et on trouve α = −3 et β = 5 par identification sur les deux premiers termes, d’o` u:

∀n ≥ 1, x n =

− 1 2

n

(−3 + 5 n) .

On voit facilement que x _n 6= 0 pour tout n ≥ 1.

A.2.b. On remarque que det(G 1 ) = −1, det(G 2 ) = ³ ₄ . Pour n ≥ 1, en d´ eveloppant le d´ eterminant de G _n+2 par rapport ` a la premi` ere ligne on obtient

det(G _n+2 ) = −det(G _n+1 ) − 1 2 det





















1 2

1

2 0 . . . 0 0

.. . G n

0



















 ,

et en d´ eveloppant le d´ eterminant de droite par rapport ` a la premi` ere colonne on obtient

det(G _n+2 ) = −det(G _n+1 ) − ¹ ₄ det(G _n ). On en d´ eduit que det(G _n ) = x _n pour tout n ≥ 1, et donc que det(G n ) est toujours non nul.

A.3. On remarque que F N − I N =















0 . . . . . . . . . 0

1

2 .. .

0 G N −2 0

.. . ¹ ₂

0 . . . . . . . . . 0















: la famille des vecteurs lignes est de

rang au plus N − 2, et puisque la matrice extraite G _N −2 est inversible (car de d´ eterminant non nul) on en d´ eduit que le rang de F _N − I _N est N − 2.

Le th´ eor` eme du rang indique que la dimension du noyau H _N ¹ de f N − id N est N − (N − 2) = 2.

A.4.a. Soit v ∈ R ^N , pour i ∈ {1, . . . , N} on note M _i le point de coordonn´ ees (x _i , y _i ) = (i, v _i ).

Si v est harmonique, alors pour tout i ∈ {2, . . . , N − 1} le point M _i est le milieu du segment [M i−1 , M _i+1 ] et donc les points M i−1 , M _i et M _i+1 sont align´ es. On en d´ eduit que les points M 1 , . . . , M N sont align´ es.

R´ eciproquement, supposons que les points M ₁ , . . . , M _N sont align´ es. Soit alors i ∈ {2, . . . , N − 1}, les points M i−1 , M _i et M _i+1 sont align´ es, et comme x _i = i = ^i−1+i+1 ₂ = ^x

^+x ₂

on en d´ eduit que y i = ^y

^+y ₂

et donc v i = ^v

^+v ₂

. Ceci ´ etant valable pour tout i ∈ {2, . . . , N − 1}, le vecteur v est harmonique.

A.4.b. Soit v harmonique tel que v ₁ = v _N = 0. Dans ce cas M ₁ = (0, 0) et M _N = (0, 0), la droite qui passe par ces points est la droite R × {0}, donc M i = (i, 0) pour tout i ∈ {1, . . . , N }.

Le seul vecteur harmonique v tel que v 1 = v _N = 0 est donc le vecteur nul.

A.4.c. De la mˆ eme mani` ere, l’unique vecteur harmonique v ∈ R ^N pour lequel v 1 = α et v N = β est tel que

∀i ∈ {1, . . . , N } v _i = α + β − α

N − 1 (i − 1).

A.4.d. Le sev H _N ¹ est de dimension 2, une base de H _N ¹ est donc une famille libre ` a deux ´ el´ ements de H <sub>N</sub> <sup>1</sup> . On peut par exemple prendre la famille (v <sup>1</sup> , v <sup>2</sup> ) o` u v ¹ et v ² sont d´ efinis par

∀i ∈ {1, . . . , N } v ¹ _i = 0 + 1 − 0

N − 1 (i − 1) = i − 1 N − 1 . et

∀i ∈ {1, . . . , N } v ² _i = 1 + 0 − 1

N − 1 (i − 1) = N − i N − 1 . B. Approche probabiliste.

B.1. Le r´ esultat (R1) affirme que le marcheur partant de la position j sortira “presque sˆ urement”

(i.e. avec une probabilit´ e 1) de l’intervalle [min(k, l), max(k.l)], soit en passant par k soit en passant

par l: il a une probabilit´ e nulle de rester dans l’intervalle [min(k, l) + 1, max(k, l) − 1].

B.2. On remarque que C S (j, j − 1, j + 1) = {X ₁ ^S = −1} et C S (j, j + 1, j − 1) = {X ₁ ^S = 1} car le fait de passer d’abord par j − 1 ou j + 1 en partant de j se d´ ecide d` es le premier pas, donc

P(C _S (j, j − 1, j + 1)) = P(C _S (j, j + 1, j − 1)) = P(X ₁ ^S = −1) = P(X ₁ ^S = 1) = 1 2 . B.3.a. On d´ efinit la suite de variables al´ eatoires (Y _i ^σ ) i≥1 sur (Ω, P ) par

∀i ≥ 1 Y _i ^σ := X _i+1 ^S .

Ces v.a. sont toutes d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e, sont deux ` a deux ind´ ependantes, de mˆ eme loi

∀i ≥ 1 P (Y _i ^σ = −1) = P (Y _i ^σ = 1) = 1 2 et on a

∀j ∈ Z ∀n ≥ 1 σ ^j _n := j +

n

X

i=1

Y _i ^σ .

Donc (σ n ^j ) j∈ Z ,n≥1 est une marche al´ eatoire sur Z.

B.3.b. On ´ ecrit

P(C _S (j, j − 1, l)) = P(C _S (j, j − 1, l)|X ₁ ^S = −1) × P (X ₁ ^S = −1) + P (C S (j, j − 1, l)|X ₁ ^S = 1) × P (X ₁ ^S = 1)

= 1

2 P (C S (j, j − 1, l)|X ₁ ^S = −1) + 1

2 P (C S (j, j − 1, l)|X ₁ ^S = 1)

= 1

2 × 1 + 1

2 P (C _σ (j + 1, j − 1, l))

car si l’´ ev` enement X <sub>1</sub> <sup>S</sup> = −1 se produit alors il en est de mˆ eme de l’´ ev` enement C _S (j, j − 1, l) (d’o` u P (C <sub>S</sub> (j, j − 1, l)|X <sub>1</sub> <sup>S</sup> = −1) = 1), et lorsque X <sub>1</sub> <sup>S</sup> = 1 alors le marcheur suit la marche (σ n <sup>j</sup> ) j∈ Z,n≥1 en partant de la position j + 1 (d’o` u P (C S (j, j − 1, l)|X ₁ ^S = 1) = P (C σ (j + 1, j − 1, l))).

En appliquant (R2) on obtient donc

P (C S (j, j − 1, l)) = 1 2 + 1

2 P (C S (j + 1, j − 1, l)).

B.3.c. En raisonnant comme pr´ ec´ edemment on obtient

P (C S (j, k, l)) = P (C S (j, k, l)|X ₁ ^S = −1) × P (X ₁ ^S = −1) + P (C S (j, k, l)|X ₁ ^S = 1) × P (X ₁ ^S = 1)

= 1

2 P (C σ (j, k − 1, l)) + 1

2 P (C σ (j, k + 1, l))

= 1

2 P (C _S (j, k − 1, l)) + 1

2 P (C _S (j, k + 1, l)).

B.4.a. La v.a. Y ₂ suit la loi de Bernoulli de param` etre ¹ ₂ . B.4.b. On remarque que pour tout j ∈ {2, . . . , N − 1} on a

E (Y j ) = 1 × P (C _S (j, N, 1)) = P (C _S (j, N, 1)) = 1 − P (C _S (j, 1, N )).

Pour j = 2, on utilise B.3.b. pour obtenir E(Y 2 ) = ^E(Y

^)+E(Y ₂

⁾ (remarque: E(Y 1 ) = 0).

Pour j ∈ {3, . . . , N − 2}, on utilise B.3.c. pour obtenir E (Y _j ) = ^E(Y

^)+E(Y ₂

⁾ .

Pour j = N − 1, on utilise un raisonnement analogue ` a celui de B.3.b. pour obtenir que P (C S (N − 1, N, 1)) = 1

2 + 1

2 P(C S (N − 2, N, 1))

et conclure que E (Y N−1 ) = ^E(Y

^)+E(Y ₂

⁾ (remarque: E (Y _N ) = 1).

B.5.a. Pour i ∈ {2, . . . , N − 1} on a

v _i = E (Z _i ) = E (α + (β − α)Y _i ) = α + (β − α) E (Y _i )

= α + (β − α) E (Y i−1 ) + E (Y _i+1 ) 2

= α + (β − α) E (Y ) i−1 + α + (β − α) E (Y ) _i+1

2 = E (Z) i−1 + E (Z ) _i+1

2 = v i−1 + v _i+1 2 et donc v est harmonique.

B.5.b. Puisque v est harmonique, v ₁ = α et v _N = β, on obtient par identification dans la formule A.4.c. que

∀i ∈ {2, . . . , N − 1} E (Y _i ) = i − 1 N − 1 et donc

∀i ∈ {2, . . . , N − 1} P (C _S (i, 1, N )) = 1 − E (Y _i ) = N − i N − 1 .

Partie II: cas de la dimension 2.

A. Approche alg` ebrique.

A.0. On v´ erifie que

a _2,2 = 1 = a _1,2 + a _2,3 + a _3,2 + a _2,1

4 et a _2,3 = 2 = a _1,3 + a _2,4 + a _3,3 + a _2,2 4

donc A est harmonique.

Comme b 2,2 = 2 6= ⁵ ₄ = ^b

^+b

^+b ₄

^+b

, B n’est pas harmonique.

On v´ erifie que

c 2,2 = 1 = c 1,2 + c 2,3 + c 3,2 + c 2,1

4 et c 2,3 = 1 = c 1,3 + c 2,4 + c 3,3 + c 2,2

4 donc C est harmonique.

A.1.a. Puisque A est harmonique, on sait que

a _i,j = a i−1,j + a _i+1,j + a i,j−1 + a _i,j+1 4

Si a _i,j = max{a i−1,j , a _i+1,j , a i,j−1 , a _i,j+1 } alors a _i,j = a i−1,j + a _i+1,j + a i,j−1 + a _i,j+1

4 ≤ 4 × max{a _i−1,j , a _i+1,j , a i,j−1 , a _i,j+1 }

4 = a _i,j

et donc a _i,j = a i−1,j = a _i+1,j = a i,j−1 = a _i,j+1 . Ceci est donc une condition n´ ecessaire, qui est

´

evidemment suffisante.

A.1.b. Question dure !

On raisonne par l’absurde: on pose α := max {a _i,j : (i, j) ∈ I} et on suppose que

α > max {a _i,j : (i, j) ∈ J \ I }. On remarque que cela implique que α = max {a _i,j : (i, j) ∈ J } On d´ efinit

k := min {i : ∃(i, j) ∈ I a i,j = α}

et on choisit l ∈ {2, . . . , N − 1} tel que a k,l = α.

On d´ emontre d’abord par l’absurde que k = 2. Si on suppose k > 2, on d´ eduit de la question pr´ ec´ edente et du fait que α = max {a _i,j : (i, j) ∈ J } que

a _k,l = a k−1,l = a _k,l+1 = a _k+1,l = a k,l−1 .

Or puisque k > 2 on remarque que (k − 1, l) appartient ` a I , et comme a k−1,l = α on obtient une contradiction avec la d´ efinition de k. On a donc prouv´ e que k = 2.

On applique ` a nouveau le fait que α = max {a _i,j : (i, j) ∈ J }, et on obtient de mˆ eme que a _2,l = a _1,l = a _2,l+1 = a _3,l = a 2,l−1 .

Or (1, l) appartient ` a J \ I, et donc

α ≤ max {a _i,j : (i, j) ∈ J \ I } en contradiction avec l’hypoth` ese de d´ epart, ce qui conclut la preuve.

A.1.c. On pose B = −A. Puisque B est harmonique, en lui appliquant le r´ esultat de A.1.b. on obtient

min {a _i,j : (i, j) ∈ I } ≥ min {a _i,j : (i, j) ∈ J \ I } . A.1.d. Si a i,j = 0 pour tout (i, j) ∈ J \ I alors

min {a _i,j : (i, j) ∈ J \ I} = max {a _i,j : (i, j) ∈ J \ I} = 0 D’apr` es les deux questions pr´ ec´ edentes on obtient alors que

0 ≤ min {a _i,j : (i, j) ∈ I } ≤ max {a _i,j : (i, j) ∈ I} ≤ 0 et donc tous les coefficients de A sont nuls.

A.2.a. Par d´ efinition de g, si A est dans son noyau alors en particulier g(A) _i,j = 0 pour tout (i, j) ∈ I , et donc

∀(i, j) ∈ I a _i,j = a i−1,j + a _i+1,j + a i,j−1 + a _i,j+1

4 .

Ainsi si g(A) = 0 alors A ∈ H _N,K ² .

A.2.b. Si A est dans le noyau de g, alors en particulier g(A) i,j = 0 pour tout (i, j) ∈ J \ I. De plus, A est harmonique d’apr` es la question pr´ ec´ edente. On conclut alors de A.1.d que tous les coefficients de A sont nuls: le seul ´ el´ ement du noyau de g est donc la famille A dont tous les coefficients sont nuls, donc l’application lin´ eaire g est injective.

A.2.c. L’endomorphisme g : E → E ´ etant injectif, il est bijectif. Soit alors (b _i,j ) _(i,j)∈J\I , on d´ efinit l’´ el´ ement C = (c _i,j ) _(i,j)∈J de E par

∀(i, j) ∈ J \ I c _i,j = b _i,j ,

∀(i, j) ∈ I c _i,j = 0.

Puisque g est bijectif, C a un unique ant´ ec´ edent par g, qui est l’un unique ´ el´ ement A = (a _i,j ) _(i,j)∈J de E harmonique et tel que

∀(i, j) ∈ J \ I a i,j = b i,j .

A.2.d. On d´ eduit de la question pr´ ec´ edente que la dimension de H _N,K ² est 2N + 2K − 8.

B. Approche num´ erique.

B.0. On obtient A 1 =





1 2 0 ³ ₄ ³ ₄ 0

2 1



 , A 2 =





1 2

0 ¹⁵ ₁₆ ¹⁵ ₁₆ 0

2 1



 , A 3 =





1 2

0 ⁶³ ₆₄ ⁶³ ₆₄ 0

2 1



 .

B.1. Comme A est harmonique, on obtient directement des d´ efinitions que h(A) = A, donc A est un point fixe de h sur E _b .

Soit C = (c i,j ) (i,j)∈J un point fixe de h sur E b . Comme h(C) = C, on en d´ eduit que C est une

matrice ´ ecorn´ ee harmonique. De plus, comme C appartient ` a E _b on sait que c _i,j = b _i,j pour tout

(i, j) ∈ J \ I. D’apr` es la question A.2.c., on obtient que C = A. On a donc obtenu que A est l’unique point fixe de h sur E _b .

B.2.a. Soit D ∈ E. Pour all´ eger les notations, on note (c _i,j ) _(i,j)∈J := h(D − A). On a alors:

sup

(i,j)∈I

|c _i,j | = max

(i,j)∈I

d i−1,j − a i−1,j + d i+1,j − a i+1,j + d i,j−1 − a i,j−1 + d i,j+1 − a i,j+1

4

≤ max

(i,j)∈I

|d _i−1,j − a i−1,j | + |d _i+1,j − a _i+1,j | + |d _i,j−1 − a i,j−1 | + |d _i,j+1 − a _i,j+1 | 4

≤ max

(i,j)∈J |d _i,j − a _i,j | = kD − Ak _∞ et comme

max

(i,j)∈J\I |c _i,j | = max

(i,j)∈J \I |d _i,j − a _i,j | ≤ kD − Ak ∞

on obtient l’in´ egalit´ e demand´ ee.

B.2.b. Puisque h est lin´ eaire et A est un point fixe de h on a

∀n ≥ 0 kA _n+1 − Ak _∞ = kh(A _n ) − h(A)k _∞ = kh(A _n − A)k _∞ ≤ kA _n − Ak _∞ et donc la suite (kA _n − Ak ∞ ) n est d´ ecroissante.

On en d´ eduit que

∀n ≥ 0 kA _n k _∞ ≤ kA _n − Ak _∞ + kAk _∞ ≤ kA ₀ − Ak _∞ + kAk _∞ =: M.

B.3.a. Soit D ∈ E _b avec D 6= A. On sait par la question B.2.a. que kh(D − A)k _∞ ≤ kD − Ak _∞ , et on montre par l’absurde que kh(D − A)k ∞ 6= kD − Ak ∞ . Pour all´ eger les notations, on note (c _i,j ) _(i,j)∈J := h(D − A). Puisque D ∈ E _b , on a c _i,j = 0 pour tout (i, j) ∈ J \ I, donc

kh(D − A)k _∞ = max{|c _i,j | : (i, j) ∈ I}.

Soit k := min{i ≥ 1 : ∃l, |c _i,j | = kh(D − A)k _∞ } et soit l tel que c _k,l = kh(D − A)k _∞ . Comme D 6= A et c 1,j = 0 pour tout j ∈ {2, . . . , N − 1} on a n´ ecessairement k 6= 1 et donc k ≥ 2. De mˆ eme, l appartient forc´ ement ` a {2, . . . , N − 1}. Alors si kh(D − A)k _∞ = kD − Ak _∞ on a :

kD − Ak ∞ = kh(D − A)k ∞ = |c _k,l |

=

d k−1,l − a k−1,l + d _k+1,l − a _k+1,l + d k,l−1 − a k,l−1 + d _k,l+1 − a _k,l+1 4

≤ |d _k−1,l − a k−1,l | + |d _k+1,l − a k+1,l | + |d _k,l−1 − a j,l−1 | + |d _j,l+1 − a k,l+1 | 4

≤ max

(i,j)∈J |d _i,j − a i,j | = kD − Ak _∞ et donc les in´ egalit´ es sont des ´ egalit´ es. En particulier

|c _k−1,l | = |d _k−1,l − a k−1,l | = kh(D − A)k _∞ ce qui contredit la d´ efinition de k, et termine la preuve.

B.3.b. Soit α ∈ ]0, M ], alors l’application D 7→ ^kh(D−A)k _kD−Ak

∞

est bien d´ efinie et continue sur le compact {D ∈ E _B : kD − Ak ∞ ∈ [α, M ]} (il faut remarquer que cet ensemble est ferm´ e et born´ e dans E, qui est de dimension finie), donc elle atteint son maximum β en un ´ el´ ement D ⁰ de ce compact. Comme α > 0 on a D ⁰ 6= A, et d’apr` es la question pr´ ec´ edente, on a n´ ecessairement

β = kh(D ⁰ − A)k ∞

kD ⁰ − Ak _∞ < 1.

B.3.c. La suite (kA _n − Ak _∞ ) _n est positive et d´ ecroissante, donc elle a une limite positive.

On d´ emontre par l’absurde que cette limite est nulle. Supposons que cette limite soit α > 0, alors en appliquant le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente on obtient qu’il existe β ∈ ]0, 1[ tel que

∀D ∈ E B kD − Ak ∞ ∈ [α, M] ⇒ kh(D − A)k ∞ ≤ βkD − Ak ∞ . Puisque A n ∈ E B et kA _n − Ak _∞ ∈ [α, M ] pour tout n ≥ 0, on a donc

∀n ≥ 0 kA _n+1 − Ak ∞ ≤ βkA _n − Ak ∞ ≤ . . . ≤ β ⁿ⁺¹ kA ₀ − Ak ∞ .

Comme 0 < β < 1, on en d´ eduit que (kA _n − Ak _∞ ) n tend vers 0, ce qui contredit l’hypoth` ese de d´ epart, et ach` eve la d´ emonstration.

FIN.