TS9 DS 5 8 janvier 2019 Dur´ee 125 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Suites de matrices (35 minutes) (6 points)
Le droit de pˆeche dans une r´eserve marine est r´eglement´e : chaque pˆecheur doit poss´eder une carte d’accr´editation annuelle. Il existe deux types de cartes :
— une carte de pˆeche dite libre(le pˆecheur n’est pas limit´e en nombre de poissons pˆech´es) ;
— une carte de pˆeche diteavec quota (le pˆecheur ne doit pas d´epasser une certaine quantit´e hebdo- madaire de poisson).
On suppose que le nombre total de pˆecheurs reste constant d’ann´ee en ann´ee.
On note, pour l’ann´ee 2017 +n:
— `n la proportion de pˆecheurs poss´edant la carte de pˆeche libre ;
— qn la proportion de pˆecheurs poss´edant la carte de pˆeche avec quota.
On observe que :
— chaque ann´ee, 65 % des possesseurs de la carte de pˆeche libres ach`ete de nouveaux une carte de pˆeche libre l’ann´ee suivante ;
— Chaque ann´ee, 45 % des possesseurs de la carte de pˆeche avec quota achet´e une carte de pˆeche libre l’ann´ee suivante ;
— En 2017, 40 % des pˆecheurs ont achet´e une carte de pˆeche libre. On a donc `0= 0,4 et q0 = 0,6.
On note, pour tout entier naturel n,Pn= `n
qn
.
1. D´emontrer que, pour tout entier natureln,Pn+1=M Pn, o`u M est la matrice carr´ee
0,65 0,45
0,35 0,55
. 2. Calculer la proportion de pˆecheurs achetant une carte de pˆeche avec quota en 2019.
3. Un logiciel de calcul formel donne les r´esultats ci-dessous : 1
◦
M :={{0,65,0,45},{0,35,0,55}}
X M :=
0,65 0,45 0,35 0,55
2
◦
P0 :={{0,4},{0,6}}
X P0:=
0,4 0,6
3
◦
Q:={{9,1},{7,- 1}}
X Q:=
9 1
7 −1
4
◦
T :={{1/16,1/16},{7/16,−9/16}}
X T :=
1
16 1 7 16 16 −169
5
◦
T Q
→
1 0
0 1
6
◦
QT
→
1 0
0 1
7
◦
D:=T M Q
→ D:=
1 0
0 15
En vous appuyant sur les r´esultats pr´ec´edents, r´epondre aux deux questions suivantes : (a) Justifier queQ est une matrice inversible et pr´eciser sa matrice inverse.
On noteraQ−1 la matrice inverse de Q.
(b) Justifier queM =QDQ−1 et d´emontrer que, pour tout entier natureln non nul : Mn=QDnQ−1.
4. (a) En d´eduire Mn, puisPn en fonction de n.
(b) Justifier que, pour tout entier natureln :
`n= 9 16 −13
80×0,2n.
5. La proportion de pˆecheurs achetant la carte de pˆeche libre d´epassera-t-elle 60 % ?
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Exercice 2 : Chiffrement de Hill (40 minutes) (7 points)
Le but de cet exercice est d’´etudier, sur un exemple, une m´ethode de chiffrement publi´ee en 1929 par le math´ematicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donn´ee d’une matrice A, connue uniquement de l’´emetteur et du destinataire.
Dans tout l’exercice, on noteA la matrice d´efinie par :A=
5 2
7 7
. Partie A – Chiffrement de Hill
Voici les diff´erentes ´etapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres :
Etape 1´ On divise le mot en blocs de deux lettres cons´ecutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des ´etapes suivantes.
Etape 2´ On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x1 etx2 tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le mˆeme ordre, dans le tableau suivant :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Etape 3´ On transforme la matriceX = x1
x2
en la matriceY = y1
y2
v´erifiant Y =AX.
Etape 4´ On transforme la matrice Y = y1
y2
en la matriceR= r1
r2
, o`ur1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 etr2 celui de la division euclidienne dey2 par 26.
Etape 5´ On associe aux entiers r1 etr2 les deux lettres correspondantes du tableau de l’´etape 2.
Le bloc chiffr´e est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.
Question :utiliser la m´ethode de chiffrement expos´ee pour chiffrer le motHILL. Partie B - Quelques outils math´ematiques n´ecessaires au d´echiffrement
1. Soit aun entier relatif premier avec 26.
D´emontrer qu’il existe un entier relatifu tel queu×a≡1 modulo 26.
2. On consid`ere l’algorithme suivant : u←0
r←0
Tant quer 6= 1 u←u+ 1
r ←reste(u×a,26) Fin Tant que
On entre la valeur a= 21 dans cet algorithme.
(a) Reproduire sur la copie et compl´eter le tableau suivant, jusqu’`a l’arrˆet de l’algorithme.
u 0 1 2 . . .
r 0 21 . . . .
(b) En d´eduire que 5×21≡1 modulo 26.
3. On rappelle que A est la matrice A=
5 2
7 7
et on noteI la matrice :I =
1 0
0 1
. (a) Calculer la matrice 12A−A2.
(b) En d´eduire la matrice B telle que BA= 21I. (c) D´emontrer que si AX=Y, alors 21X =BY.
TS9 DS 5 Page 3 sur 3 Partie C - D´echiffrement
On veut d´echiffrer le mot VLUP.
On noteX= x1
x2
la matrice associ´ee, selon le tableau de correspondance, `a un bloc de deux lettres avant chiffrement, et Y =
y1
y2
la matrice d´efinie par l’´egalit´e : Y =AX=
5 2
7 7
X.
Sir1 et r2 sont les restes respectifs dey1 ety2 dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres apr`es chiffrement est associ´e `a la matriceR=
r1
r2
.
1. D´emontrer que :
21x1 = 7y1−2y2
21x2 = −7y1+ 5y2
2. En utilisant la question B .2., ´etablir que :
x1 ≡ 9r1+ 16r2 modulo 26 x2 ≡ 17r1+ 25r2 modulo 26 3. D´echiffrer le mot VLUP, associ´e aux matrices
21
11
et
20
15
.
Exercice 3 : Arithm´etique (50 minutes) (7 points)
1. (a) Quel est le reste de la division euclidienne de 610 par 11 ? Justifier.
(b) Quel est le reste de la division euclidienne de 64 par 5 ? Justifier.
(c) En d´eduire que 640≡1 [11] et que 640≡1 [5].
(d) D´emontrer que 640−1 est divisible par 55.
2. Dans cette questionx ety d´esignent des entiers relatifs.
(a) Montrer que l’´equation
(E) 65x−40y = 1 n’a pas de solution.
(b) Montrer que l’´equation
(E0) 17x−40y= 1 admet au moins une solution.
(c) D´eterminer `a l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de l’´equation (E0).
(d) R´esoudre l’´equation (E0).
En d´eduire qu’il existe un unique naturelx0 inf´erieur `a 40 tel que 17x0≡1 [40].
3. Pour tout entier naturela, d´emontrer que si a17≡b [55] et sia40≡1 [55], alorsb33≡a [55].
