Montrer que l’application (xn)n7→ N X k=0 xk est lin´eaire continue de `2(N, C) dans C

Universit´e Mohammed Premier Ann´ee 2020/2021

Facult´e Pluridisciplinaire de Nador Fili`ere SMA, S6

Espaces de Hibert et Analyse de Fourier 1 D´epartement de Math´ematiques

S´erie 1

Exercice 1 :

Pour tout entier N ∈ N, on note MN le sous-espace vectoriel de `²(N,C) form´e des suites (x_n)n∈N telles que

N

X

n=0

x_n= 0.

1. Montrer que l’application (x_n)_n7→

N

X

k=0

x_k est lin´eaire continue de `<sup>2</sup>(N, C) dans C. Que peut-on en d´eduire sur M<sub>N</sub>? Conclure que `²(N,C) =M_N ⊕M_N^⊥.

2. Soit E ={(y_n)_n: pour 0≤i < j ≤N, on aity_i =y_j ety_n= 0 pour n > N}.

a) Montrer que l’orthogonal M_N^⊥ deM_N contient E.

b) Montrer que M_N^⊥ =E (remarquer que, pour 0≤i < j ≤N, la suite (x_n) telle que x_i = 1, x_j =−1 et x_n = 0 si n6=i etn6=j appartient M_N).

Exercice 2 :

D´eterminer une expression de la projection sur la boule unit´e ferm´ee de H.

Exercice 3 :

Soit H =`²(N,R). On noteC ={x= (x_n)∈H; ∀n ∈N, x_n ≥0}.

1. D´emontrer que C est convexe ferm´e.

2. D´eterminer la projection sur ce convexe C.

3. Reprendre la question pr´ec´edente avec H =`²(N,C).

Exercice 4 :

Soit H un espace de Hilbert, et F un sous-espace ferm´e deH, non r´eduit `a {0}. On note pla projection orthogonale de H surF. D´emontrer que :

1. p◦p=p.

2. ∀(x, y)∈H², hp(x), yi=hx, p(y)i.

3. kpk= 1.

Exercice 5 :

SoitHun espace de Hilbert, etF un sous-espace ferm´e deH, non r´eduit {0}. On note pla projection orthogonale deH surF. Six est un ´el´ement de H, on appelle distance de x F la quantit´e

d(x, F) = inf{kx−yk; y∈F}.

1. Montrer qued(x, F) = kx−p(x)k.

2. Montrer qued(x, F) = max{|< x, z >|; z ∈F^⊥ et kzk= 1}.

3. On suppose dans cette question que F est un sous-espace de dimension finie, et on note (e₁, ..., e_n) une base orthonormale deF.

a) Quel r´esultat du cours assure l’existence d’une telle base orthonormale?

b) D´eterminer en fonction dee₁,...,e_n, l’expression de p(x).

c) En d´eduire la valeur de : inf

Z 1

0

|t²−at−b|²dt; a ∈R, b∈R

.

4. On suppose d´esormais que F est un sous-espace de dimension infinie. Justifier que F poss`ede une base hilbertienne, puis exprimer p(x) en fonction de cette base.

5. On suppose d´esormais que H =`²(N,C). Pour n un entier fix´e, on pose M =

(

x∈H;

n

X

k=0

xk = 0 )

.

V´erifier queM est un sous-espace ferm´e de H. Chercher un sous-espace N tel que M ⊕N =H. Donner la distance de l’´el´ement (1,0,0, ...) `aM.

Exercice 6 :

Dire si les suites suivantes sont convergentes dans `², et si c’est le cas, calculer leur limite.

1. x(n) = (_n¹,0,0,0, . . .),

2. x(n) = (1,1/2,1/3, . . . ,1/n,0,0, . . .), 3. x(n) = (1,1/√

2,1/√

3, . . . ,1/√

n,0,0, . . .), 4. x(n)_m = 1 si n=m, 0 sinon,

5. x(n)_m = _m¹ +_nm¹3, 6. x(n)m = _m¹ +_nm¹1/3. Exercice 7 :

Prouver que la boule unit ferme de `²(N,C) n’est pas compacte.

Exercice 8 :

On se propose de d´emontrer que l’espace `²(N,R) est complet pour la norme usuelle issue du produit scalaire,

kxk=

+∞

X

k=0

|x_k|²

!1/2

.

Soit (v(n))n≥0 une suite de Cauchy d’´el´ements de `²(N,R). Etant donn´e > 0, il existe donc N()∈N tel que, si n, l≥N(), alors : kv(n)−v(l)k ≤.

1. Montrer que l’on a alors, pour tout k∈N et tous n, l≥N(), |v(n)_k−v(l)_k| ≤. 2. Montrer que limn→∞v(n)_k =v_k existe pour tout k ∈N.

3. Montrer qu’il existe K ∈N tel que P

k≥Kv(N())²_k1/2

≤. 4. Montrer que pour tout L≥K, on a P

L≥k≥Kv_k²1/2

≤2.

5. En d´eduire que l’on a v ∈ `²(N), que limn→∞kv(n)−vk = 0 et donc que l’espace

`²(N) est complet pour la norme k · k.

Exercice 9 :

Soit H un espace de Hilbert, et T une application lin´eaire continue sur H. Montrer les relations suivantes :

1. ker(T^∗) = Im(T)^⊥. 2. Im(T^∗)⊂ker(T)^⊥. Exercice 10 :

1. Soit (α_n)n∈N une suite born´ee de nombres complexes et T l’application lin´eaire de

`<sup>2</sup> =`²(N,C) dans lui-mˆeme d´efinie par T(x) = (α_nx_n)n∈N, pour x= (x_n)n∈N∈ `². V´erifier queT est continue, et calculer son adjoint.

2. SoitSl’application de`<sup>2</sup> =`²(N,C) dans lui-mˆeme d´efinie parS(x) = (0, x₀, x₁, . . .).

V´erifier queS est continue et calculer son adjoint.

Exercice 11 :

Soit H =L²([0,1]). Pour f ∈H, on pose T f(x) = Rx

0 f(t)dt.

1. Montrer queT est un op´erateur continu sur H.

2. Calculer l’adjoint deT. Exercice 12 :

Soit E l’espace pr´ehilbertien des suites complexes (u_n)n∈N satisfaisant

∃N ∈N, ∀n≥N, u_n = 0 muni du produit scalaire < u, v >=

+∞

X

n=0

u_nv_n.

1. Montrer que l’application φ : E → C d´efinie par φ(u) = P+∞

n=1 un

n est une forme lin´eaire continue sur E.

2. Existe-t-il un ´el´ement a deE tel que, pour toutu de E, on aitφ(u) = hu, ai?

3. Que peut-on en d´eduire sur E?