Espaces vectoriels
Exercice 1. Sev deK3 engendr´es par deux vecteurs
On consid`ere les vecteurs deK3 : ~a= (1,2,1),~b= (1,3,2),~c= (1,1,0), d~= (3,8,5).
SoientF = vect(~a,~b) etG= vect(~c, ~d). Comparer F et G.
Exercice 2. Somme de sous-espaces
SoientF, G, H trois sous-espaces d’un espace vectorielE. ComparerF∩(G+ (F∩H)) et (F∩G) + (F∩H).
Exercice 3. F∩G=F0∩G0
SoientF, G, F0, G0 des sev d’un evE.
Montrer que siF∩G=F0∩G0 alors F+ (G∩F0)
∩ F+ (G∩G0)
=F.
Exercice 4. E n’est pas union de sous-espaces stricts
SoitE unK-ev non nul etF1,. . ., Fn des sev stricts de E. On veut montrer queE6=F1∪. . .∪Fn : 1) Traiter le casn= 2.
2) Cas g´en´eral : on supposeFn 6⊂F1∪. . .∪Fn−1 et on choisit~x∈Fn\(F1∪. . .∪Fn−1) et~y /∈Fn. a) Montrer que : ∀ λ∈K,λ~x+~y /∈Fn.
b) Montrer que : ∀ i6n−1, il existe au plus unλ∈Ktel que λ~x+~y∈Fi. c) Conclure.
Exercice 5. Etude de libert´´ e
Etudier la libert´´ e des familles suivantes : 1) E={fcts :R−→R},F= (sin,cos).
2) E={fcts :R+∗−→R},F= (fa :x7−→xa), a∈R. 3) E={fcts :R−→R},F= (fa :x7−→ |x−a|), a∈R.
Exercice 6. Nombres alg´ebriques
On consid`ere queRest unQ-espace vectoriel.
1) Montrer que la famille 1,√ 2,√
3
est libre.
2) Montrer que la famille (lnp) o`upd´ecrit l’ensemble des nombres premiers positifs est libre.
Exercice 7. Modification des vecteurs d’une famille libre
SoitE un espace vectoriel, (~x1,. . ., ~xn) une famille libre de vecteurs deE, etα1,. . ., αn des scalaires.
On pose~y=
n
P
i=1
αi~xi, et~xi0
=~xi+~y. ´Etudier `a quelle condition la famille (~x10
,. . ., ~xn0
) est libre.
Exercice 8. Polynˆomes trigonom´etriques
SoitE l’evRR,F le sev engendr´e par les fonctionsfn : x7→cos(nx),n∈N, etGle sev engendr´e par les fonctions gn : x7→cosnx,n∈N. Montrer queF =G.
Exercice 9. Suppl´ementaire commun, X MP∗ 2005
1) SoitA={P∈R[X] tqP = (1−X)Q(X2) avecQ∈R[X]}.
a) Montrer queAest unR-ev et que l’on a R[X] =A⊕ { polynˆomes pairs }.
A-t-onR[X] =A⊕ {polynˆomes impairs}?
b) Que peut-on dire si l’on remplaceQ(X2) par une fonction f paire ?
2) Soient E1,E2 deux sev d’un ev E tels queE1 et E2 sont isomorphes etE =E1⊕E2. Montrer queE1 etE2
ont un suppl´ementaire commun.
ev.tex vendredi 15 septembre 2006
Solutions
Exercice 1.
F =G.
Exercice 2.
Il y a ´egalit´e.
Exercice 3.
L’intersection contientF. Soit~u∈ F+ (G∩F0)
∩ F+ (G∩G0)
: ~u=~a+~b=~a0+~b0 avec~a, ~a0 ∈F,~b∈G∩F0 et~b0 ∈G∩G0. Alors~b−~b0=~a0−~a∈F∩G=F0∩G0, donc~b∈G0, donc~b∈F0∩G0 ⊂F.
Exercice 7.
CNS ⇐⇒
n
P
i=1
αi6=−1.
Exercice 9.
1) a) SoitP ∈R[X] que l’on d´ecompose enP =P1(X2) +XP2(X2) . AlorsP = (P1+P2)(X2)−(1−X)P2(X2) = (1−X)P1(X2) +X(P1+P2)(X2), ce qui prouve que les deux sommes sont ´egales `aR[X]. Ces sommes sont facilement directes.
b) Cela ne change pas A : les ´el´ements de A sont ceux dont les parties paire et impaire sont oppos´ees (au facteurX pr`es), ind´ependament du fait (vrai) que ces parties sont des polynˆomes.
2) Soitf un isomorphisme deE1 surE2 etF ={x−f(x) tqx∈E1}. AlorsE=E1⊕F =E2⊕F.
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