Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2013-2014
Mardi 18 mars - Dur´ee 1h30
Questions de cours. (4 points)
1. Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie tels que E est la somme directe de F etG.
(a) Donner une d´efinition de “Somme directe d’espaces vectoriels”.
(b) Quelle relation a-t-on entre les dimensions de E, F etG?
2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. On suppose que G n’est pas inclus dansF. D´emontrer que si F ∪G est un sous-espace vectoriel de E alors F est inclus dans G.
Exercice 1 (4 points)
DansR4, on consid`ere le sous-espace vectorielF engendr´e par{a, b, c}et le sous-espace vectoriel G engendr´e par {d, e} o`u :
a=
1 2 3 4
, b=
2 2 2 6
, c =
0 2 4 4
, d=
1 0
−1 2
, e=
2 3 0 1
.
D´eterminer des bases des sous-espaces vectoriels F, Get F +G.
D´eterminer la dimension de F ∩G et d´eterminer une base F ∩G.
Exercice 2 (6 points)On consid`ere ici le planR2 muni du rep`ere orthonorm´e direct (O,~i,~j).
Pour tout nombre r´eel λ on d´efinit la droite Dλ par l’´equation cart´esienne suivante (1−λ2)x+ 2λy+ (1 +λ2) = 0.
1. Soit λ∈R, donner un vecteur directeur de Dλ.
2. Soient u et v deux vecteurs de R2. Que signifie g´eom´etriquement que le d´eterminant de ces 2 vecteurs est nul?
3. Soient λ et µ deux nombre r´eels. Montrer que Dλ est parall`ele `a Dµ si et seulement si
“λ=µouλµ=−1”.
4. Soit M le point de coordonn´ees (α, β) avec α6= 1.
(a) Montrer qu’il existe un nombre r´eel λ tel que M ∈Dλ si et seulement si α2+β2 −1>0.
(b) A quelle condition a-t-on unicit´e?
(c) Que repr´esente l’ensemble des points M lorsqu’il y a unicit´e?
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Exercice 3 ( 8 points)
Soit E l’espace vectoriel des polynˆomes `a cœfficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.
On d´efinit l’application φ deE dans R2 qui `a un polynˆome P associe φ P
= (P(0), P(1)).
1. Donner la dimension de E et en donner une base B.
2. Montrer que φ est une application lin´eaire.
3. (a) D´eterminer le noyau de φ et en d´eterminer une base BN.
(b) En utilisant le th´eor`eme du rang donner la dimension de l’image de φ.
(c) En deduire que φ est surjective.
4. D´eterminer P1 un ant´ec´edent de (1,0) parφ.
5. D´eterminer les polynˆomes P de E tel que φ(P) = (0,1). On appellera P2 l’un de ces polynˆomes.
6. Soit C constitu´ee de la base BN compl´et´ee par P1 et P2. Montrer que C est une base de E.
7. Soit P un polynˆome de E de coordonn´ees (a, b, c, d) dans cette nouvelle base C. Donner l’expression de φ(P) en fonction de ces coordonn´ees.
8. D´eterminer les polynˆomes P de E tels que P(0) = 1 et P(1) = 2.
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