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1) Cas des hyperplans : soit u un vecteur non nul de E et H l’hyperplan (Vect {u})

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Lycée La Prat’s Pour le vendredi 27 janvier Classe de PT

Devoir de Mathématiques numéro 4

Exercice 1

1) Cas des hyperplans : soit u un vecteur non nul de E et H l’hyperplan (Vect {u})

. Exprimer pour xE, la distance d(x, H ) en fonction de < x, u > et de kuk.

2) On note H l’ensemble des matrices de M

n

( R ) dont la trace est nulle.

a) Justifier que H est un hyperplan de M

n

( R ) et déterminer H

. b) Si M est une matrice de M

n

( R ), déterminer la distance d(M, H).

Exercice 2

Pour θ ∈ R , on pose A

θ

= cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

1) Montrer par un calcul que l’on a ∀k ∈ N , A

kθ

= A

. Interpréter géométriquement ce résultat.

2) Soit B ∈ M

n

( R ), avec n ∈ N

. Montrer que pour tout k ∈ N , (

t

B )

k

=

t

(B

k

).

3) En déduire que ∀k ∈ Z , A

kθ

= A

.

4) Soit p ∈ N

. Déterminer une matrice M ∈ M

2

( R ) telle que M

p

= 0 −1

1 0

!

Exercice 3

Déterminer la nature de l’endomorphisme u de R

3

canoniquement associé à l a matrice M = 1 3

2 −2 −1

1 2 −2

2 1 2

Exercice 4

Soit E un espace euclidien de dimension n et B = (e

1

, . . . , e

n

) une base orthonormale de E.

Le produit scalaire est noté < ., . >, et la norme k.k.

1) Soit X et Y les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y de E dans la base B . Rappeler l’expression de < x, y > à l’aide de X et Y .

2) Soit f ∈ L (E), de matrice A dans la base B . On note f

l’endomorphisme dont la matrice dans la base B est

t

A.

a) Vérifier que l’on a ∀(x, y) ∈ E

2

, < f (x), y >=< x, f

(y) >.

b) Établir que f

est l’unique endomorphisme de E vérifiant ∀(x, y) ∈ E

2

, < f (x), y >=< x, f

(y) >.

3) Soit p un projecteur orthogonal de E.

a) Montrer que, pour tout (x, y) ∈ E

2

, < p(x), y >=< p(x), p(y) >.

b) En déduire que p = p

. 4) Soit p un projecteur.

a) Montrer que Im p

⊂ (Ker p)

.

b) Soit y ∈ (Ker p)

. Montrer que, pour tout xE, < xp(x), y >= 0.

En déduire que y = p

(y) puis que (Ker p)

⊂ Im p

. c) Montrer que si p = p

, alors p est un projecteur orthogonal.

5) Soit f ∈ L (E). Montrer que Ker f

= (Im f )

. En déduire que f et f

ont même rang.

6) On suppose désormais que f ∈ L (E) possède au moins une valeur propre λ réelle, et on se propose de démontrer qu’il existe un hyperplan E stable par f .

a) Montrer que λ est valeur propre de f

.

b) On considère un vecteur propre u de f

associé à la valeur propre λ. Montrer que (Vect u)

est un hyperplan de E et qu’il est stable par f .

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