Ce vecteur est orthogonal au vecteur  u , de coordonnées : ab u 1

D2910 L'ambassade des pôles hyperboliques Solution proposée par Pierre Renfer

On choisit l'unité de longueur telle que l'équation de l'hyperbole équilatère soit : xy1

Question 1 et question 2

Soient a et b les abscisses des point A et B, où a et b sont strictement positifs.

Les coordonnées des points A, B et de leur milieu I sont : a 1 a

A

b 1 b B 



2ab a b

2 b a

I 



Les coordonnées du vecteur





BA sont :

ab b a

b a

BA 

 



Ce vecteur est orthogonal au vecteur



u , de coordonnées :

ab u 1





Un point M de la médiatrice  de {AB] a donc des coordonnées de la forme :

2ab ab a b

2 b a M



 



 

) 1 b a b ( a

) b a

AB ( _{2 2} ^{2 2}

2

2     et MI² ²(a²b²1)

Donc : (a b 1)

b a 4

) b a ( 4

MI AB MA

MA _{2 2} ^{2 2}

2 2

2 2

2

2  





 













Le cercle de centre M, passant par A et B, a pour équation :

) 1 b a b ( a 4

) b a ( ab

2 b ab a

2 y b

x a _{2 2} ^{2 2}

2 2

2 2











 





 



 



 







 



 



 







C'est-à-dire : 0

ab 1 b ) a

b a ( 2 ab y

2 b ab a

2 2 x

b 2 a

y x

2 2 2

2       



 



  









 



 







En remplaçant y par 1/x, on obtient l'équation aux abscisses des points communs au cercle et à l'hyperbole :

0 1 ab x

2 b ab a

2 ab x

1 b ) a

b a ( 2 2 x

b 2 a

x ²

2 2 3

4   



 



  













    







 



 





Le polynôme du quatrième degré se factorise en : 



 



   







 ab

x 1 2 x ) b x ( ) a x

( ²

Le dernier facteur du second degré admet comme racines les abscisses c et d de C et D :

ab 1 c ab

2 

 



 et

ab 1 d ab

2 

 





Le vecteur





DC a pour coordonnées :

ab ) 1 ab ( 2

ab 1 2 ab

DC

2 2









 



Ce vecteur est colinéaire au vecteur



v , de coordonnées :

ab v 1



La direction de ce vecteur est fixe.

C'est la direction symétrique de celle de (AB) par rapport à la première bissectrice, c'est-à-dire par rapport à l'axe focal de l'hyperbole.

Le milieu J de {CD] a pour coordonnées :

J ab







L'équation de la droite (CD) est : 0 ab x y 2 ab ab

ab y

1

x      









Si (x_M,y_M) sont les coordonnées de M, la distance de M à la droite (CD) est : 1

b ab a

2 b a 1

b a

ab 2 y x

ab _{2 2}

2 2

M

M    









 



Question 3

Si MI, alors 0 et l'équation de (CD) est : abxy0 La droite (CD) passe donc par l'origine

Les abscisses c et d de C et D sont :

ab

c  1 et

ab d 1

Les coefficients directeurs des tangentes en C et D à l'hyperbole sont : ab d

1 c

1

2 2  



C'est le coefficient directeur du vecteur



u , orthogonal à (AB).