Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 11
Jonathan Scott 31 janvier 2006
1. (a)
µ 2 6 6 2
¶
(b) (2) (c)
3 6 3
−1 −2 −1
1 2 1
(d)
µ 0 −3 3 4
¶
2. (a) On effectue le calcul : poura, b∈Fet p, q∈P3(F), on a
T(ap+bq) = ((ap+bq)(−1), D(ap+bq)(1))
= (ap(−1) +bq(−1), a(Dp)(1) +b(Dq)(1))
= a(p(−1),(Dp)(1)) +b(q(−1),(Dp)(1))
= aT p+bT q.
Ici on a utilis´e que l’evaluation et la d´eriv´eeD sont lin´eaires.
(b) T(1) = (1,0), T(x) = (−1,1) = (−1)(1,0) + (0,1), T(x2) = (1,2) = (1,0) + 2(0,1), et T(x3) = (−1,3) = (−1)(1,0) + 3(0,1). Alors
[T]B0,B=
µ 1 −1 1 −1
0 1 2 3
¶ .
Donc
[T(4−3x+x2−x3)]B0 = [T]B0,B[4−3x+x2−x3]B
=
µ 1 −1 1 −1
0 1 2 3
¶
4
−3 1
−1
= µ 9
−4
¶ .
(c) T(1) = (1,0), T(1−x) = (2,−1) = −(−2,1), T((1−x)2) = (4,0), etT((1−x)3) = (8,0).
Donc
[T]C0,C =
µ 1 0 4 8 0 −1 0 0
¶ .
Il faut savoir la matrice colonne de 4−3x+x2−x3 par rapport `aC.
4−3x+x2−x3 = a0+a1(1−x) +a2(1−x)2+a3(1−x)3
= (a0+a1+a2+a3) + (−a1−2a2−3a3)x+ (a2+ 3a3)x2−a3x3 alors
4 = a0+a1+a2+a3
−3 = −a1−2a2−3a3
1 = a2+ 3a3
−1 = −a3.
Il s’ensuit que a3= 1, a2=−2,a1= 4, eta0= 1. Alors
[4−3x+x2−x3]C =
1 4
−2 1
.
Donc
[T(4−3x+x2−x3)]C0 = [T]C0,C[4−3x+x2−x3]C
=
µ 1 0 4 8 0 −1 0 0
¶
1 4
−2 1
= µ 1
−4
¶ .
3. (a) Si
a
µ 1 0 0 1
¶ +b
µ 1 0 0 −1
¶ +c
µ 0 1 1 0
¶ +d
µ 0 1
−1 0
¶
=
µ 0 0 0 0
¶
alorsa+b= 0 eta−b= 0, aussi c+d= 0 etc−d= 0. Il s’ensuit que a=b=c=d= 0 et C est lin´eairement ind´ependente. De la mˆeme mani`ere, on trouve que
µ a b c d
¶
= 1 2
µ (a+d)
µ 1 0 0 1
¶
+ (a−d)
µ 1 0 0 −1
¶
+ (b+c)
µ 0 1 1 0
¶
+ (b−c)
µ 0 1
−1 0
¶¶
doncC engendre Mat(2,2,F) est est une base.
Ensuite on consid`ere l’´equation
a(1 +x+x2) +b(x+x2) +c(1 +x2) =α+βx+γx2.
On trouve quea+c=α,a+b=β, eta+b+c=γ. Doncc=γ−β,b=γ−α, eta=α−γ+β.
En particulier, si α=β=γ= 0, alorsa=b=c= 0. DoncC0 est lin´eairement ind´ependente et elle engendreP2(F). Par cons´equent, elle en est une base.
(b) On utilise les calculs de (a). On trouve que µ 1 0
0 0
¶
= 1 2
µ 1 0 0 1
¶ +1
2
µ 1 0 0 −1
¶ ,
µ 0 1 0 0
¶
= 1 2
µ 0 1 1 0
¶ +1
2
µ 0 1
−1 0
¶ , µ 0 0
1 0
¶
= 1 2
µ 0 1 1 0
¶
−1 2
µ 0 1
−1 0
¶ ,
et µ
0 0 0 1
¶
= 1 2
µ 1 0 0 1
¶
−1 2
µ 1 0 0 −1
¶ .
Donc
[Id]C,B=
1/2 0 0 1/2
1/2 0 0 −1/2
0 1/2 1/2 0
0 1/2 −1/2 0
.
Ensuite, 1 = (1 +x+x2)−(x+x2),x= (1 +x+x2)−(1 +x2), etx2=−(1 +x+x2) + (x+ x2) + (1 +x2). Donc
[Id]C0,B0 =
1 1 −1
−1 0 1
0 −1 1
.
Pour [T]B0,B, on fait plusieurs petits calculs : T
µ 1 0 0 0
¶
= 4, T
µ 0 1 0 0
¶
= 2 +x, T
µ 0 0 1 0
¶
=−x+ 3x2, et
T
µ 0 0 0 1
¶
=x2, alors
[T]B0,B=
4 2 0 0 0 1 −1 0
0 0 3 1
.
Finalement, T
µ 1 0 0 1
¶
= 4 +x2= 3(1 +x+x2)−3(x+x2) + (1 +x2) T
µ 1 0 0 −1
¶
= 4−x2= 5(1 +x+x2)−5(x+x2)−(1 +x2) T
µ 0 1 1 0
¶
= 2 + 3x2=−(1 +x+x2) + (x+x2) + 3(1 +x2) et
T
µ 0 1
−1 0
¶
= 2 + 2x−3x2= 7(1 +x+x2)−5(x+x2)−5(1 +x2).
Alors
[T]C0,C =
3 5 −1 7
−3 −5 1 −5
1 −1 3 −5
.
(c) Toujours des calculs : T
µ 1 0 0 0
¶
= 4 = 4(1 +x+x2)−4(x+x2),
T
µ 0 1 0 0
¶
= 2 +x= 3(1 +x+x2)−2(x+x2)−(1 +x2), T
µ 0 0 1 0
¶
=−x+ 3x2=−4(1 +x+x2) + 3(x+x2) + 4(1 +x2), et
T
µ 0 0 0 1
¶
=x2=−(1 +x+x2) + (x+x2) + (1 +x2), alors
[T]C0,B=
4 3 −4 −1
−4 −2 3 1
0 −1 4 1
.
Or,
[T]C0,C[Id]C,B =
3 5 −1 7
−3 −5 1 −5
1 −1 3 −5
1/2 0 0 1/2
1/2 0 0 −1/2
0 1/2 1/2 0
0 1/2 −1/2 0
=
4 3 −4 −1
−4 −2 3 1
0 −1 4 1
= [T]C0,B. Egalement,´
[Id]C0,B0[T]B0,B =
1 1 −1
−1 0 1
0 −1 1
4 2 0 0 0 1 −1 0
0 0 3 1
=
4 3 −4 −1
−4 −2 3 1
0 −1 4 1
= [T]C0,B.
4. Soit C ∈ Mat(n, n,F). On rappelle que l’inverse de C est l’unique matrice D qui v´erifie CD = DC =I. Or, (B−1A−1)(AB) = B−1((A−1A)B) = B−1(IB) = B−1B = I et (AB)(B−1A−1) = A((BB−1)A−1) =A(IA−1) =AA−1=I, alorsB−1A−1= (BA)−1.
5. (a) On remarque que [IdV]B,B = [IdV]B0,B0 =In. Donc [IdV]B,B0[IdV]B0,B = [IdV]B,B = In et [IdV]B0,B[IdV]B,B0 = [IdV]B0,B0 =In. Alors ([IdV]B0,B)−1= [IdV]B,B0.
(b) Pour 1≤i≤n, on poseei la matrice colonne avec 1 dans le rangi et les 0 ailleurs. On note B = (v1, . . . , vn). Alors [vi]B = ei. Or, on v´erifie que Aei est le i-i`eme colonne de A. Donc le i-i`eme colonne de A est [vi]B0. Il s’ensuit que A = [IdV]B0,B, donc A est inversible avec A−1= [IdV]B,B0.
(c) SoitC0= (w1, . . . , wn) une base quelconque de V. On ´ecrit
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . .. ... an1 an2 · · · ann
.
On pose, pour 1≤i≤n,
vi =a1iw1+a2iw2+· · ·+aniwn.
Alors [vi]C0 est lei-i`eme colonne deA. Si (v1, . . . , vn) n’est pas lin´eairement ind´ependente, alors An’est pas inversible, contradiction. DoncC= (v1, . . . , vn) est une base deV, etA= [IdV]C0,C.
