Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 13
Jonathan Scott 28 janvier 2006
1. (a) On suppose queλ∈Ret quev= µ x
y
¶
∈R2 non-nul tel queTA(v) =λv. Alors µ 1 a
0 1
¶ µ x y
¶
= λ
µ x y
¶
µ x+ay y
¶
= µ λx
λy
¶ .
Alorsx+ay =λx et y =λy. Si y = 0 alors x=λx. On a suppos´ev6=0, alors x6= 0 donc λ= 1. De mˆeme, siy 6= 0,λ= 1. Alors λ= 1 est la seule valeur propre deTA. Pour trouver les vecteurs propres, on remarque quex+ay=x, doncay= 0. Puisquea6= 0 par hypoth`ese, y= 0. Un calcul montre que si y= 0, alorsTA(v) =v. Doncv∈E1 si et seulement siy= 0, c-`a-d
E1=
½µ x 0
¶
∈R2|x∈R
¾ . (b) TA est uncisaillement (shear en anglais).
2. (a)
µ cosθ −sinθ sinθ cosθ
¶ µ cosθ −sinθ sinθ cosθ
¶
=
µ cos2θ−sin2θ −cosθsinθ−sinθcosθ sinθcosθ+ cosθsinθ −sin2θ+ cos2θ
¶
=
µ cos(2θ) −sin(2θ) sin(2θ) cos(2θ)
¶ . En g´en´eral,
An =
µ cos(nθ) −sin(nθ) sin(nθ) cos(nθ)
¶ ,
ce qu’on montre par r´ecurrence sur n. Pourn= 1 c’est par d´efinition. Supposons que An−1=
µ cos((n−1)θ) −sin((n−1)θ) sin((n−1)θ) cos((n−1)θ)
¶ . Alors
An = (An−1)A
=
µ cos((n−1)θ) −sin((n−1)θ) sin((n−1)θ) cos((n−1)θ)
¶ µ cosθ −sinθ sinθ cosθ
¶
=
µ cos((n−1)θ) cosθ−sin((n−1)θ) sinθ −cos((n−1)θ) sinθ−sin((n−1)θ) cosθ sin((n−1)θ) cosθ+ cos((n−1)θ) sinθ sin((n−1)θ) sinθ+ cos((n−1)θ) cosθ
¶
=
µ cos(nθ) −sin(nθ) sin(nθ) cos(nθ)
¶ .
1
(b) On suppose queλ∈Ret quev= µ x
y
¶
∈R2 non-nul tel queTA(v) =λv. Alors µ cosθ −sinθ
sinθ cosθ
¶ µ x y
¶
= λ
µ x y
¶
µ (cosθ)x−(sinθ)y (sinθ)x+ (cosθ)y
¶
= µ λx
λy
¶ . Alors
(cosθ)x−(sinθ)y=λx (1)
et
(sinθ)x+ (cosθ)y=λy. (2)
D’abord on suppose que sinθ = 0. En ce cas, cosθ =±1. AlorsA =I ou A=−I. Dans le premier cas,λ= 1 est la seule valeur propre et tout vecteur dansR2en est un vecteur propre.
Dans le seconde cas,λ=−1 est la seule valeur propre et encore, tout vecteur un est un vecteur propre.
On suppose maintenant que sinθ6= 0. De (1), y=cosθ−λ
sinθ x.
On substitue cette expression dans (2) pour obtenir (sinθ)x+(cosθ−λ)2
sinθ x= 0,
ou £
(sin2θ) + (cosθ−λ)2¤ x= 0.
Six= 0 alors (1) signifie quey= 0, contradiction. Alors (sin2θ) + (cosθ−λ)2= 0. Mais c’est la somme de carr´es r´eels, alors chaque terme est forc´ement nul. En particulier, sin2θ= 0, alors sinθ= 0, contradiction.
En conclusion, si sinθ6= 0 (c-`a-d siθ6=kπ, pour un certaink∈Z), alorsTAn’a pas de valeur propre.
(c) On a vu dans l’exercice 3 de la s´erie 10 queTAest une rotation dans le plan.
3. (a)
A2 =
µ cosθ sinθ sinθ −cosθ
¶ µ cosθ sinθ sinθ −cosθ
¶
=
µ cos2θ+ sin2θ cosθsinθsinθcosθ sinθcosθ−cosθsinθ sin2θ+ cos2θ
¶
=
µ 1 0 0 1
¶ .
(b) Soit v = µ x
y
¶
∈ R2 un vecteur non-nul et λ ∈ R un scalaire tel que TAv = λv. Alors v=A2v=λ2v. Doncv6=0⇒λ=±1.
2
(c) Supposons tout d’abord que sinθ = 0, donc cosθ = ±1. Alors A =
µ 1 0 0 −1
¶
ou A = µ −1 0
0 1
¶
. Dans le premier cas, on prend (par exemple) v1 =e1 et v2 =e2. On voit que Ae1=e1etAe2=−e2, alorsTA est une r´eflexion dans l’axe desx. De mani`ere pareille, dans le deuxi`eme cas,Ae1=−e1 etAe2=e2, alorsTA est une r´eflexion dans l’axe desy.
Maintenant supposons que sinθ6= 0. On calcule les espaces propres pour les valeurs propres 1 et −1. Pourλ= 1, on a
(cosθ)x+ (sinθ)y=x alors
y=x1−cosθ sinθ .
Posonsθ= 2α. Alors 1−cosθ= 1−cos2α+ sin2α= 2 sin2αet sinθ= 2 sinαcosα, alors y=x 2 sin2α
2 sinαcosα =xtanα.
(On remarque que cosα 6= 0 car sinθ 6= 0.) Si l’on prend, pour exemple, x = cosα, alors v1=
µ cosα sinα
¶
est un vecteur propre pourλ= 1.
Pour λ=−1, on a
(sinθ)x−(cosθ)y=−y alors
x=−y1−cosθ
sinθ =−ytanα.
On prend y= cosα. Doncv2=
µ −sinα cosα
¶
est un vecteur propre pourλ=−1.
Puisque v1 et v2 sont des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes, ils sont lin´eairement ind´ependants et ils forment une base deR2. PuisqueTAv1=v1et TAv2=−v2, TA est une r´eflexion dans la droitey= (tanα)x.
4. (a)
· 1
√2
µ 1 i i 1
¶¸ · 1
√2
µ 1 −i
−i 1
¶¸
= 1
2
µ 1−i2 −i+i i−i −i2+ 1
¶
= 1
2
µ 2 0 0 2
¶
= I2
alorsU−1= 1 2
µ 1 −i
−i 1
¶ . (b) Soitλ∈Cetv=
µ x y
¶
∈C2,v6=0, tels queTAv=λv. Alors µ y
−x
¶
= µ λx
λy
¶ .
Doncy =λx=λ(−λy) =−λ2y. Siy = 0 alors x=−λy = 0 maisv6=0, alors y 6= 0. Donc λ2+ 1 = 0, c-`a-d queλ=±i.
3
Pourλ=i, on ay=ix, doncv1= µ 1
i
¶
est un vecteur propre. Pourλ=−i, on ay=−ix, doncv2=
µ i
−i2
¶
= µ i
1
¶
est un vecteur propre. Les valeurs propresiet−isont distinctes, alors (v1,v2) est une base deC2. On remarque queU = (1/√
2)(v1 v2).
(c)
U AU−1 = µ 1
√2
¶2µ 1 i i 1
¶ µ 0 1
−1 0
¶ µ 1 −i
−i 1
¶
= 1
2
µ 1 i i 1
¶ µ −i 1
−1 i
¶
= 1
2
µ −2i 0 0 2i
¶
=
µ −i 0 0 i
¶ .
Ensuite,
Uv1= 1
√2
µ 1 i i 1
¶ µ 1 i
¶
= 1
√2 µ 0
2i
¶
= µ 0
i√ 2
¶
et
(U AU−1)(Uv1) =
µ −i 0 0 i
¶ µ 0 i√ 2
¶
= µ 0
−√ 2
¶
=iv1. De mˆeme,
Uv2= 1
√2
µ 1 i i 1
¶ µ i 1
¶
= 1
√2 µ 2i
0
¶
= µ i√
2 0
¶
et
(U AU−1)(Uv2) =
µ −i 0 0 i
¶ µ i√ 2 0
¶
= µ √
2 0
¶
=−iv2.
Alors Uv1 et Uv2 sont des vecteurs propres des valeurs propres distinctes. Il s’ensuit qu’ils forment une base deC2.
5. Soit λ ∈ F une valeur propre pour T, alors il existe v ∈ V, v 6= 0, tel que T v = λv. Or, S(T(S−1(Sv))) = S(T v) = λS(v), donc λ est une valeur propre pour S ◦T ◦S−1 et Sv est un vecteur propre pourS◦T◦S−1.
R´eciproquement, supposons que λ est une valeur propre pourS◦T◦S−1 avec le vecteur propre Sv∈V. DoncT v=S−1(S(T(S−1(Sv)))) =S−1(λSv) =λv. Alorsλest une valeur propre pour T avec le vecteur propre v.
6. On pose n= dimV. Soientv1, . . . , vn des vecteurs propres associ´es aux valeurs propres distinctes λ1, . . . , λn deT. Puisqueλ1, . . . , λn sont distinctes, (v1, . . . , vn) est une base deV.
Or, pouri= 1, . . . , n, on poseµi la valeur propre deS associ´ee `avi. Alors S(T vi) =λiSvi=λiµivi=T(Svi).
Donc,S◦T et T◦S co¨ıncident sur une base deV. AlorsS◦T =T◦S.
4
