Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 16
Jonathan Scott 17 mars 2006
1. (a) h(2,0),(0,0)i = 4 tandis que 2h(1,0),(0,0)i = 2 alors elle n’est pas bilin´eaire. Elle n’est pas sym´etrique non plus : h(1,2),(3,4)i = 12+ 1·4 + 42 = 21 tandis que h(3,4),(1,2)i = 32+ 3·2 + 22= 19.
(b)
h(x1, x2) + (x01, x02),(y1, y2)i = h(x1+x01, x2+x02),(y1, y2)i
= ((x1+x01)−(x2+x02))(y1+y2)
= (x1−x2)(y1+y2) + (x01+x02)(y1+y2)
= h(x1, x2),(y1, y2)i+h(x01, x02),(y1, y2)i
et pareillement dans la deuxi`eme place. De plus,ha(x1, x2),(y1, y2)i=h(ax1, ax2),(y1, y2)i= (ax1−ax2)(y1+y2) =a(x1−x2)(y1+y2) =ah(x1, x2),(y1, y2)i. Pareillement dans la deuxi`eme place. Alors elle est bilin´eaire.
Par contre, h(2,1),(1,1)i= (2−1)(1 + 1) = 2 tandis que h(1,1),(2,1)i= (1−1)(2 + 1) = 0 alors elle n’est pas sym´etrique.
(c) h−,−i est bilin´eaire puisque la multiplication dans F l’est. De plus, hq, pi = q(1)p(1) = q(1)p(1) =hp, qi. Donc h−,−iest sym´etrique. Ensuite, hp, pi=p(1)p(1) =kp(1)k2 ≥0 alors h−,−i est positive. Par contre 1−z 6= 0 maish1−z,1−zi= 0. Alorsh−,−i est d´eg´en´er´ee ; elle n’est pas un produit scalaire.
(d) h−,−iest lin´eaire dans le premier facteur mais pas dans le deuxi`eme (par ex., prendref(x) = x2 et g(x) =h(x) = 1∀x∈F, alorsf(g(3) +h(3)) = 46= 2 =f(g(3)) +f(h(3))). Elle n’est pas sym´etrique non plus (par ex. prendref(x) =x2,g(x) = 2f orallx∈F; doncf(g(3)) = 4 maisg(f(3)) = 2).
(e) On utilise la lin´eairit´e deT pour montrer queh−,−iest bien bilin´eaire. C’est facile `a montrer que c’est sym´etrique et positive.
Supposons que h~v, ~vi = 0. Alors kT~vk2 = 0 ⇒ T~v = 0 ⇒~v ∈ kerT. Donc h−,−i est non- d´eg´en´er´ee, et donc un produit scalaire, si et seulement siT est injective.
2. (a) Par les propri´et´es ´el´ementaires des int´egraux, Z b
a
[αf(t) +βg(t)]dt=α Z b
a
f(t)dt+β Z b
a
g(t)dt
pour toutα, β∈Ret f, g∈C([a, b]). Alors Z b
a
:C([a, b])→R
1
est une application lin´eaire. Donc, pourf, g, h∈C([a, b]), hf+g, hi =
Z b
a
(f(t) +g(t))h(t)dt
= Z b
a
(f(t)h(t) +g(t)h(t))dt
= Z b
a
f(t)h(t)dt+ Z b
a
g(t)h(t)dt
= hf, hi+hg, hi
alorsh−,−i est lin´eaire dans le premier facteur. Pareillement, pourα∈Retf, g∈C([0,1]),
hαf, gi = Z b
a
(αf)(t)g(t)dt
= Z b
a
α(f(t)g(t))dt
= α
Z b
a
f(t)g(t)dt
= αhf, gi alorsh−,−i est homog`ene dans le premier facteur.
Ensuite, pourf, g∈C([a, b]),
hg, fi = Z b
a
g(t)f(t)dt
= Z b
a
f(t)g(t)dt
= hf, gi
alors la forme est sym´etrique. Il s’ensuit que la forme est lin´eaire et homog`ene dans le deuxi`eme facteur.
Il reste de montrer que la forme est positive et d´efinie. Soitf ∈C([a, b]). Alorsf2(t) =f(t)2≥0 pour toutt∈[a, b]. Donchf, fi ≥0, ethf, fi= 0⇒f(t) = 0 pour toutt∈R, par la definition de l’int´egrale comme limite des sommes de Riemann. (En fait, si l’int´egrale d’une fonction g est nulle, cela signifie que g est nullepresque partout. Mais on a suppos´e quef est continue, doncf2 est continue, alorsf2= 0 presque partout implique quef2= 0 partout.)
(b) On effectue le calcul :
hsin(x),cos(x)i = Z π
−π
sintcostdt
=
·1 2sin2t
¸π
−π
= 0 o`u on a utilis´e la substitutionu= sint,du= costdt.
3. (a) On ´ecritA= (aij) etB= (bij). Alors
[(AB)∗]ij = (AB)ji= Xn
k=1
ajkbki= Xn
k=1
ajkbki
2
et
(B∗A∗)ij= Xn
k=1
(B∗)ik(A∗)kj= Xn
k=1
bkiajk.
Donc (AB)∗=B∗A∗.
(b) La forme est lin´eaire dans le premier facteur car la multiplication matricielle est distributive par rapport `a l’addition de matrices et (ζA)B=k(AB) pour toutζ∈C,A, B∈Mat(n, n,C).
En particulier, (ζv)Aw∗=ζ(vAw∗), donchζv,wiA=ζhv,wiAet la forme est homog`ene dans le premier facteur. De plus,hu+v,wiA= (u+v)Aw∗=uAw∗+vAw∗=hu,wiA+hv,wiA
et la forme est additive dans le premier facteur. Ensuite, hw,vi = (wAv∗)∗ = v∗∗A∗w∗ = vAw∗ = hv,wiA car v∗∗ = v et A∗ = A. Donc la forme est sym´etrique, ce qui implique qu’elle est ´egalement conjugu´e-lin´eaire dans le deuxi`eme facteur. En conclusion, la forme est bien bilin´eaire et sym´etrique.
(c)
hv,wiA = ¡
i 2 3 + 5i¢
1 +i 2i 0
−2i 3−i 1
0 1 1 + 2i
−3 0
−4i
= ¡
i 2 3 + 5i¢
−3−3i 2i 8−4i
= i(−3−3i) + 2(2i) + (3 + 5i)(8−4i)
= 47 + 29i.
(d) Supposons que Av∗ = λv∗, v 6= 0 (nous ´ecrivons v∗ au lieu de v pour avoir une matrice colonne). PuisqueA est d´efinie positive, on a
0≤ hv,viA=vAv∗=v(λv∗) =λ(kv1k2+· · ·+kvnk2).
Puisque kv1k2+· · ·+kvnk2 est r´eel et positif, il s’ensuit queλest r´eel et positif.
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