Algèbre linéaire, corrigé de la série 27

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Algèbre linéaire, corrigé de la série 27

Jonathan Scott 19 juin 2006

1. SoitE la base standard. On poseU = [I]B,E. Alors [TA]B =U⁻¹AU. (a) U =

·4 5 2 3

¸

, alorsU⁻¹=¹₂

· 3 −5

−2 4

¸

. Donc [TA]B =

·−12 −13

10 11

¸ . (b) U =

· 1 12

−1 9

¸

,U⁻¹=₂₁¹

·9 −12

1 1

¸

, [TA]B =₂₁¹

·129 −405

5 186

¸ .

(c) U =



1 0 1 0 1 1 1 1 0



,U⁻¹= 1 2



1 −1 1

−1 1 1

1 1 −1



, [TA]B=



 6 3 3

−3 − −1

10 5 5



.

2. (a) On remarque queσ∈Sn si et seulement si σ⁻¹∈Sn, etσ⁻¹ est unique pour uneσ donn´ee.

De plus,σ⁻¹ est paire si et seulement siσest paire. Donc, detA^∗ = X

σ∈S_n

(−1)^{N I(σ)}(A^∗)1σ(1)· · ·(A^∗)nσ(n)

= X

σ

(−1)^{N I(σ)}A¯_σ(1)1· · ·A¯_σ(n)n

= X

σ⁻¹

(−1)^{N I(σ)}A¯1σ⁻¹(1)· · ·A¯nσ⁻¹(n)

= X

σ⁻¹

(−1)^{N I(σ)}A1σ⁻¹(1)· · ·Anσ⁻¹(n)

= detA.

(b) det(cA) =P

σ(−1)^{N I(σ)}(cA)_1σ(1)· · ·(cA)_nσ(n)=cⁿP

σ(−1)^{N I(σ)}A_1σ(1)· · ·A_nσ(n)=cⁿdetA.

(c) On suppose le résultat de l’exercice suivant. Supposons que~ì(A) =~ì(A). Alors si l’on permute la ligneiet la lignejdansA, rien ne change. Alors, selon 2(d), detA=−detA, ou 2 detA= 0, i.e. detA= 0.

Ensuite, on constate que si A⁰ est obtenue de A en multipliant la ligne i par a ∈ F, alors detA⁰=a·detA. En effet,

detA⁰ = X

σ

(−1)^{N I(σ)}A⁰_1σ(1)· · ·A⁰_iσ(i)· · ·A⁰_nσ(n)

= X

σ

(−1)^{N I(σ)}A1σ(1)· · ·(aAiσ(i))· · ·Anσ(n)

= aX

σ

(−1)^{N I(σ)}A_1σ(1)· · ·A_nσ(n)

= adetA.

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En particulier, si~`i(A) =~0, alors detA= 0·detA= 0.

Or, supposons que~ì(A) =a·~`j(A). Si a= 0 alors detA= 0. Supposons quea6= 0. SoitB la matrice obtenue deA en multipliant la lignej para. Alors~ì(B) =~`j(B). Par conséquent, detB = 0. Donc detA= (1/a) detB = 0.

Le raisonnement pour les colonnes est pareil.

(d) On constate que siτ∈Sn, alors l’applicationTτ :Sn→Sn,σ7→σ◦τ, est une bijection (son inverse estT_τ−1). AlorsT_τ est une permutation deS_n. Donc, sif :S_n→F est une fonction (e.g.f(σ) = (−1)^{N I(σ)}A_1σ(1)· · ·A_nσ(n)pour une certaine matriceA), alors

X

σ

f(σ) =X

Tτσ

f(Tτσ).

Or, supposons queA⁰ est obtenue deAen permutant les lignesietj,i < j. On poseτ(i) =j, τ(j) =i, etτ(k) =ksik6=i, j. Alors

detA⁰ = X

σ

(−1)^{N I(σ)}A⁰_1σ(1)· · ·A⁰_iσ(i)· · ·A⁰_jσ(j)· · ·A⁰_nσ(n)

= X

σ

(−1)^{N I(σ)}A1σ(1)· · ·Ajσ(i)· · ·Aiσ(j)· · ·Anσ(n)

= X

στ

−(−1)^{N I(στ)}A1στ(1)· · ·Ajστ(j)· · ·Aiστ(i)· · ·Anστ(n)

= −detA

o`u on a utilis´e le fait queN I(στ) =N I(σ)±1 puisqueτ est une transposition.

Supposons que A⁰ est obtenue de A en permutant deux colonnes, i et j disons. Soit B la matrice obtenue de A^∗ en permutant les deux lignes i et j. Alors A⁰ = B^∗. Donc detA⁰ = detB =−detA^∗=−detA^∗=−detA.

3. (a) N I(σ) = #{(1,3),(2,3)}= 2, alorsσest paire.

(b) N I(σ) = #{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}= 4, alorsσest paire.

(c) N I(σ) = #{(1,2),(1,4),(1,5),(1,7),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7),(6,7)}= 15, alorsσest impaire.

(d) Soiti < j. On constate queN I((ij)◦σ) = 1 +N I(σ) modulo 2. En effet, on poseρ= (ij)σ, k = σ⁻¹(i) et ` = σ⁻¹(j). Alors ρ(k) = j, ρ(`) = i, et ρ(a) = σ(a) si a 6= k, `. De plus, σ(k) = i < j =σ(`) mais ρ(k) =j > i=ρ(`). Sik < `, alors on a ajout´e une inversion, i.e.

N I(ρ) =N I(σ)+1. Par contre, sik > `, alors on a enlev´e une inversion, etN I(ρ) =N I(σ)−1.

Maintenant, on montre par r´ecurrence que (a1· · ·am) est paire simest impaire et paire sim est paire. Si m= 2, alors (a1a2) est une transposition, qui est impaire. Supposons qu’on sait la parit´e de (a1· · ·am−1). On remarque que (a1· · ·am) = (a1am)(a1· · ·am−1). Sim est pair, alorsm−1 est impair, donc (a1· · ·am−1) est paire, donc (a1· · ·am) est impaire. Pareillement, simest impair, alors (a1· · ·am) est paire.

4. (a) V =R²,T(x, y) = (−y, x). AlorsT²(x, y) = (−x,−y) =−(x, y). DoncT²a une valeur propre, λ=−1, de multiplicit´e 2. Alors Tr(T²) =−2<0.

(b) SoitB une base deV de vecteurs propres deT. Alors [T]_B=





λ1 0

. ..

0 λn



. Par cons´equent,

Tr(T²) =λ²₁+· · ·+λ²_n≥0.

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5. Puisque P◦P =P,P est un projecteur. Donc V = (ImP)⊕(kerP). De plus, si λest une valeur propre, alors λ= 0 ou λ = 1. En effet, kerP est évidemment l’espace propre de 0. Si v ∈ ImP, alors v = P w pour un certain w ∈ V, donc P v =P(P w) = P w =v. Par conséquent, ImP est l’espace propre de 1. TrP est la multiplicité de λ= 1, ce qui est la dimension de ImP, forcément un nombre naturel.

6. (a) SoitB une base deV. On poseA= [T]B. Alors [cT]B=c[T]B =cA. De plus, TrT = TrAet Tr(cT) = Tr(cA). Or, Tr(cA) =P_n

i=1cAii=cP_n

i=1Aii =c·TrA=c·TrT.

(b) On prendS=T ∈L(R²),T(x, y) = (−y, x). Alors (TrT)²= 0 tandis que TrT²=−2.

(c) On prend S = IdV, T = −IdV. Alors detS = 1, detT = (−1)^dim^V. Si n est impair, alors detS+ detT = 2, tandis que det(S+T) = det(0) = 0.

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