Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 9

Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 9

Jonathan Scott 13 d´ecembre 2005

1. (a) Pourn≥0, on poseI(tⁿ) = (1/(n+1))tⁿ⁺¹. Alors (D◦I)(tⁿ) =D((1/(n+1))tⁿ⁺¹) = (1/(n+ 1))D(tⁿ⁺¹) = (1/(n+ 1))(n+ 1)tⁿ=tⁿ. Puisque D◦I est l’identit´e sur une base deP(F), elle est l’identit´e.

(b) On rappelle que la compos´ee d’applications lin´eaires est encore lin´eaire, alorsD^k(p+ q) =D^kp+D^kq etD^k(ap) =aD^kp pour a∈F,p, q∈P(F) et k≥1. Donc

T(p+q) = ((p+q)(0),(D(p+q))(0), . . . ,(Dⁿ(p+q))(0))

= ((p+q)(0),(Dp+Dq)(0), . . . ,(Dⁿ⁻¹p+Dⁿq)(0))

= (p(0) +q(0),(Dp)(0) + (Dq)(0), . . . ,(Dⁿp)(0) + (Dⁿ⁻¹q)(0))

= (p(0),(Dp)(0), . . . ,(Dⁿp)(0)) + (Dq)(0), . . . ,(Dⁿq)(0))

= T p+T q et

T(ap) = ((ap)(0),(D(ap))(0), . . . ,(Dⁿ(ap))(0))

= ((ap)(0),(aDp)(0), . . . ,(aDⁿp)(0))

= (a(p(0)), a((Dp)(0)), . . . , a((Dⁿp)(0)))

= aT p.

AlorsT est bien lin´eaire.

Un calcul v´erifie que

D^kt^j =

½ j(j−1)· · ·(j−k+ 1)t^j−k k≤j,

0 k > j.

Donc (D^kt^j)(0) = j! si j = k et 0 sinon. Donc un inverse est d´efini sur la base (e₁, . . . , e_n+1) deFⁿ⁺¹ par

Se_j = (1/(j−1)!)t^j−1 pourj = 1, . . . , n+ 1.

(o`u on suit la convention que 0! = 1.) (c) Par d´efinition,

(F f)(a₁x₁+· · ·+a_nx_n) =a₁f(x₁) +· · ·+a_nf(x_n).

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F est lin´eaire car (f +g)(x_i) = f(x_i) +g(x_i) et (af)(x_i) = a(f(x_i)) pour tout i.

L’inverse est trouv´e tout simplement par r´estriction. SiT :V →W, alorsF⁻¹(T) =f, o`u f(x_i) =T x_i pour touti.

2. Soit (v₁, . . . , v_n) une base deV. On d´efinitT :L(V,F)→V parT f =P_n

j=1f(v_j)v_j. L’ap- plicationT est bien lin´eaire car chaquef l’est. Pour montrer que T est un isomorphisme, il suffit de trouver un inverse. Pour i = 1, . . . , n, soit Sv_i : V → F l’application lin´eaire d´efinie sur la base par

(Sv_i)(v_j) =

½ 1 sii=j, 0 sinon.

Alors lesSv_i d´eterminent une application lin´eaire S:V →F.

Soit f ∈ L(V,F). Alors S(T f)(v_j) = (S(P_n

i=1f(v_i)v_i))(v_j) = (P_n

i=1f(v_i)Sv_i)(v_j) = P_n

i=1f(v_i)(Sv_i)(v_j) =f(v_j). Donc S(T f) =f. Par cons´equent,ST = Id_L(V,F). R´eciproquement,T(Sv_i) =P_n

j=1(Sv_i)(v_j)·v_j =v_i, doncT S= Id_V. En conclusion,S =T⁻¹ etT est un isomorphisme.

3. (a) L’addition vectorielle deV ×W est commutative et associative car celles deV et de W le sont. L’´el´ement neutre additif est (~0_V,~0_W). L’oppos´e de (~v, ~w) est (−~v,−~w).

L’´el´ement neutre multiplicatif 1∈ Fv´erifie bien 1(~v, ~w) = (1~v,1w) = (~v, ~~ w). Finale- ment, la distributivit´e de la multiplication scalaire par rapport `a l’addition vectorielle dansV et dansW l’implique dans V ×W.

(b) L’´enonc´e s’ensuit des d´efinitions.

(c) P_V((~v, ~w) + (~v⁰, ~w⁰)) = P_V(~v +~v⁰, ~w +w~⁰) = ~v +~v⁰ = P_V(~v) + P_V(~v⁰). Aussi, P_V(a(~v, ~w)) = P_V(a~v, a ~w) = a~v = aP_V(~v, ~w), alors P_V est lin´eaire. Pareillement pour P_W.

4. (a) Soient S, S⁰ ∈L(U, V) et u ∈U. Alors T_](S+S⁰)(u) = (T ◦(S+S⁰))(u) =T((S+ S⁰)(u)) = T(Su+S⁰u) = T(Su) +T(S⁰u) = (T ◦S)(u) + (T ◦S⁰)(u) =T_](S)(u) + T_](S⁰)(u) = (T_](S) +T_](S⁰))(u). Aussi, T_](aS)(u) = (T ◦(aS))(u) = T((aS)(u)) = T(a·Su) =aT(Su) = (aT_](S))(u). DoncT_] est lin´eaire.

(b) Soient S, S⁰ ∈L(W, Z) etw ∈W. Alors T^](S+S⁰)(w) = (S+S⁰)(T w) = S(T w) + S⁰(T w) =T^](S)(w) +T^](S⁰)(w) = (T^](S) +T^](S⁰))(w). Aussi,T^](aS)(w) = ((aS)◦ T)(w) = (aS)(T w) =a(S(T w)) = (aT^](S))(w). Donc T^] est lin´eaire.

5. (a) Soientv, v⁰ ∈V. AlorsT(v+v⁰) = (T₁(v+v⁰), T₂(v+v⁰)) = (T₁v+T₁v⁰, T₂v+T₂v⁰) = (T₁v, T₂v) + (T₁v⁰, T₂v⁰) = T v+T v⁰. Soit a ∈ F. Alors T(av) = (T₁(av), T₂(av)) = (aT₁v, aT₂v) = a(T₁v, T₂v) = aT v. Donc T est lin´eaire. Aussi,P_i◦T(v) = T_i(v) par construction.

(b) Pour i = 1,2, on d´efinit ϕ_i : L(V, W₁ ×W₂) → L(V, W_i) par ϕ_i(T) = (P_i)_](T) (voir l’exercice 4(a) pour la notation). Par (a), il existe une application lin´eaire ϕ : L(V, W₁×W₂)→L(V, W₁)×L(V, W₂) telle queP_L(V,Wi)◦ϕ=ϕ_i. Siϕ(T) = 0 alors ϕ_i(T) = 0 pour i= 1,2. Cela signifie que (P_i)_](T) = 0, c-`a-d que P_i◦T = 0. Donc T(v) = (0,0) pour tout v ∈V et T = 0. Par cons´equent, ϕ est injective. Par (a), ϕ est surjective. Donc ϕest un isomorphisme.

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6. (a) L’expression v₁+v₂ est unique, alorsT est bien d´efinie. T ◦J_i = T_i par d´efinition.

T(a(v₁ +v₂)) = T(av₁ +av₂) = T₁(av₁) +T₂(av₂) = aT₁v₁ +aT₂v₂ = a(T₁v₁ + T₂v₂) = aT(v₁ +v₂). Aussi, T((v₁+v₂) + (v⁰₁+v₂⁰)) = T((v₁ +v⁰₁) + (v₂+v₂⁰)) = T₁(v₁+v⁰₁) +T₂(v₂+v₂⁰) =T₁v₁+T₁v₁⁰ +T₂v₂+T₂v⁰₂=T₁v₁+T₂v₂+T₁v₁⁰ +T₂v₂⁰ = T(v₁+v₂) +T(v⁰₁+v⁰₂). Donc T est lin´eaire.

(b) Par 4(b), J_i : V_i → V₁ ⊕V₂ induit une application lin´eaire J_i^] : L(V₁ ⊕V₂, W) → L(V_i, W) pour i = 1,2. Par 5(a), J₁^] et J₂^] d´etermine une application lin´eaire θ : L(V₁⊕V₂, W)→L(V₁, W)×L(V₂, W) telle queP_L(Vi,W)◦θ=J_i^]. SiT :V₁⊕V₂ →W est lin´eaire et θ(T) = 0, alorsJ_i^](T) =T◦J_i = 0 pouri= 1,2. AlorsT(v₁) = 0 pour tout v₁ in V₁ et pareillement pour V₂. Il s’ensuit que T = 0 et donc θ est injective.

De plus, (a) signifie que θest surjective. On conclut que θest un isomorphisme.

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