Algèbre linéaire, corrigé de la série 21

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Algèbre linéaire, corrigé de la série 21

Jonathan Scott 28 avril 2006

1. (a)

kx+yk² = hx, xi+ 2hx, yi+hy, yi (1) kx−yk² = hx, xi −2hx, yi+hy, yi (2) donc (1)−(2) nous donne

kx+yk²− kx−yk²= 4hx, yi.

(b)

kx+yk² = hx, xi+hx, yi+hy, xi+hy, yi (3) kx−yk² = hx, xi − hx, yi − hy, xi+hy, yi (4) ikx+iyk² = ihx, xi+hx, yi − hy, xi+ihy, yi (5) ikx−iyk² = ihx, xi − hx, yi+hy, xi+ihy, yi (6) alors (3)−(4) + (5)−(6) donne

kx+yk²− kx−yk²+ikx+iyk²−ikx−iyk²= 4hx, yi.

2. On pose A = [T]B =

·a c b d

¸

. Puisque B est orthonormale, A^∗ = [T^∗]B. Alors A^∗A = AA^∗. Explicitement,

·a b c d

¸ ·a c b d

¸

=

·a c b d

¸ ·a b c d

¸

·a²+c² ab+cd ab+cd b²+d²

¸

=

·a²+b² ac+bd ac+bd c²+d²

¸ .

Alorsa²+b²=a²+c²⇒b²=c²⇒c=±b. Sic=balorsT est auto-adjoint, contradiction. Alors c=−b. Du coefficient (1,2), on trouve maintenant queab−bd=−ab+bd, donc 2b(a−d) = 0. Or, b6= 0 carT n’est pas auto-adjoint, donca=d.

3. SiUest muni d’un produit scalaire par rapport auquelT est auto-adjoint, alors le théorème spectral réel nous dit qu’il existe une baseB deU de vecteurs propres deT.

Réciproquement, supposons qu’il existe une baseB = (v1, . . . , vn) deU telle queT vi=λivi pour touti. Nous construisons un produit scalaire tel que cette base est en fait orthonormale. On définit hvi, vji= 1 sii=j, 0 sinon. Ceci détermine une forme bilinéaireh, i:U×U →R. Supposons que u∈U. On écrit u=a1v1+· · ·anvn. Donchu, ui=a²₁+· · ·+a²_n ≥0, ethu, ui= 0 si et seulement si a1 = · · · = an = 0, c.-à-d. siu = 0. Donc on a bel et bien définit un produit scalaire sur U. Or, si u=P_n

i=1aivi et w= P_n

j=1bivi, alors hT u, vi =P

i,jaibjhT vi, vji=P

i,jaibjλihvi, vji = P_n

i=1aibiλi. Pareillement,hu, T wi=P_n

i=1aibiλi=hT u, wi. DoncT est auto-adjoint.

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(2)

4. On consid`ere la r´eflexion R dans le vecteurw~ ∈ R², w~ 6=~0. On peut supposer que kwk~ = 1. On choisitw~⁰ ∈(span(~w))^⊥de norme 1. (Rappelons que dim(span(w))~ ^⊥= 1.) AlorsR ~w= 2Pw~w−~ w~ = 2w~−w~ =w~ et R ~w⁰ = 2Pw~w~⁰−w~⁰=~0−w~⁰ =−w~⁰. Doncw~ etw~⁰ sont des vecteurs propres deR.

De plus, (w, ~~ w⁰) est une base orthonormale deR². Par cons´equent,R est diagonalisable.

5. Soit S ∈ L(R²) une isom´etrie. Il existe une base (~u1, ~u2) de R² telle que [S]B =

·±1 0

0 ±1

¸ ou [S]B =

·cosα −sinα sinα cosα

¸

. Dans ce dernier cas, S est ´evidemment une rotation de l’angle α. Si [S]B =I2 alorsS est une rotation de l’angle 0. Si [S]B =−I2 alorsS est une rotation de l’angle π. Si [S]B =

·−1 0

0 1

¸

alorsS est une r´eflexion dans~u2. Si [S]B=

·1 0 0 −1

¸

alorsS est la r´eflexion dans~u1.

6. Faux. SoitV =R² avec le produit scalaire euclid´een. On d´efinitS∈L(R²) parS(1,0) =S(0,1) = (1,0). Alors kS(1,0)k =kS(0,1)k= 1, mais kS(1,−1)k = 0 6=√

2 = k(1,−1)k. Donc S n’est pas une isom´etrie.

7. Une isométrie est normal, donc il existe une base orthonormale B = (~u1, ~u2, ~u3) de R³ telle que [S]B est diagonale en blocs, avec chaque bloc de taille 1×1 ou 2×2. Puisque la dimension est 3, au moins un bloc est de taille 1×1. Sans perte de généralité, on peut supposer que ce bloc est dans la première colonne. Donc ~u1 est un vecteur propre de S, c.-à-d. que S~u1 =λ~u1. MaisS est une isométrie, donc 1 =k~u1k=kS~u1k=|λ|. Alorsλ=±1. En tout cas,S²~u1=~u1.

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