Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 20

Alg`ebre lin´eaire, corrig´e de la s´erie 20

Jonathan Scott 20 avril 2006

1. On consid`ere TA, TB :F<sup>2</sup>→F<sup>2</sup>, o`uA=

·1 2 2 0

¸

et B=

·0 1 1 0

¸

. ´Evidemment,A=A^∗ etB =B^∗, alorsTA et TB sont auto-adjoints. MaisAB=

·2 1 0 2

¸ 6=

·2 0 1 2

¸

= (AB)^∗, donc TA◦TB n’est pas auto-adjoint.

2. D´emonstration par r´ecurrence. ´Evident pour k = 1. Supposons que (T^k−1)^∗ = (T^∗)^k−1. Alors (T^k)^∗= (T^k−1T)^∗=T^∗(T^k−1)^∗=T^∗(T^∗)^k−1= (T^∗)^k, ce qui termine l’´etape de r´ecurrence.

3. (a) Pour tout v ∈V, kT vk=kT^∗vk. Alors kT vk = 0⇔ kT^∗vk = 0. Par cons´equent,T v = 0⇔ T^∗v= 0. Donc kerT = kerT^∗.

(b) ImT^∗= (kerT)^⊥= (kerT^∗)^⊥= ImT.

4. (a) On d´emontre la proposition par r´ecurrence. Pourk= 1 c’est la d´efinition d’op´erateur normal.

Supposons, pour un certaink≥2, queT^∗commute avecT^k−1, c.-`a-d. queT^∗T^k−1=T^k−1T^∗. AlorsT^∗T^k =T^∗T^k−1T =T^k−1T^∗T =T^k−1T T^∗=T^kT^∗, ce qui termine la r´ecurrence.

(b) La preuve est par r´ecurrence. Pourk= 1 c’est ´evident. Supposons queT^k−1est normal,k≥2.

Alors (T^k)^∗T^k= (T^k−1T)^∗T^k−1T =T^∗(T^k−1)^∗T^k−1T =T^∗T^k−1(T^k−1)^∗T =T^k−1T^∗(T^∗)^k−1T = T^k−1T^∗T(T^∗)^k−1=T^k−1T T^∗(T^∗)^k−1=T^k(T^∗)^k =T^k(T^k)^∗. On a utilis´e les exercices 2 et 4a.

5. Tout d’abord, le noyau. On utilise la r´ecurrence. Sik= 1 c’est ´evident. Supposons, pour un certain k > 1, que kerT^k−1 = kerT. Soit v ∈ kerT. Donc T v = 0, d’o`u T^kv = T^k−1(T v) = 0, alors v ∈ kerT^k. Par cons´equent, kerT ⊆ kerT^k. R´eciproquement, supposons que v ∈ kerT^k. Alors T(T^k−1v) = 0, doncT^k−1v∈kerT = (ImT^∗)^⊥ = (ImT)^⊥, en utilisant le r´esultat de l’exercice 3b et le fait queT est normal. Or,k−1>0, alorsT^k−1v∈ImT. DoncT^k−1v∈ImT∩(ImT)^⊥= 0.

Par cons´equent,T^k−1v= 0, c.-`a-d. quev∈kerT<sup>k−1</sup>= kerT par hypoth`ese, ce qui termine l’´etape de r´ecurrence.

Ensuite, l’image. Soitk ≥1.T^kv =T(T^k−1v) alors ImT^k ⊆ImT. R´eciproquement, on consid`ere T v; il faut montrer qu’il existe u ∈ V tel que T v = T<sup>k</sup>u. Or, V = ImT<sup>k−1</sup> ⊕(ImT<sup>k−1</sup>)<sup>⊥</sup>. Mais (ImT<sup>k−1</sup>)<sup>⊥</sup> = ker(T<sup>k−1</sup>)<sup>∗</sup>. Selon l’exercice 4b, T<sup>k−1</sup> est normal. Donc, par l’exercice 3a, (ImT<sup>k−1</sup>)<sup>⊥</sup>= kerT<sup>k−1</sup>. De plus, kerT<sup>k−1</sup>= kerT par la premi`ere partie de cet exercice. Alors, on peut ´ecrirev∈V sous la formev=T^k−1u+w, o`uu∈V etw∈kerT. DoncT v=T(T^k−1u+w) = T^ku.

6. (1,2,3) et (2,5,7) sont des vecteurs propres de 0 et 1, respectivement.T est suppos´e auto-adjoint, donc normal. Alors les vecteurs propres des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Mais h(1,2,3),(2,5,7)i= 336= 0. Donc un tel op´erateur n’existe pas.

7. SiT est auto-adjoint, alors on a vu dans le cours que toute valeur propre deT est r´eelle.

R´eciproquement, supposons que T est un op´erateur normal tel que toute valeur propre deT est r´eelle. Par le th´eor`eme sp´ectral, il existe une base orthonormale (e1, . . . , en) de V qui consiste en vecteurs propres deT. On poseT ei=λiei. Par hypoth`ese,λi∈R. Alors pour touti,T^∗ei= ¯λiei= λiei=T ei. Puisque (e1, . . . , en) est une base deV, il s’ensuit que T^∗=T.

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8. Puisque T est normal, il existe une base orthonormale (e1, . . . , en) de V de vecteurs propres de T. On pose T ei = λiei. Pour tout i, il existe µi ∈ C tel que µ²_i = λi. On d´efinitS ∈ L(V) par Sei = µiei pour tout i. Donc (S◦S)ei = S(Sei) = S(µiei) = µiSei = µ²_iei = λiei = T ei. Par cons´equent,T =S◦S.

Remarquons que cette preuve marche pour n’importe quel op´erateur diagonalisable ; on n’a pas utilis´e le fait que la base est orthonormale.

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