UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2015-2016 Unit´e d’Enseignement MAT 231
Examen du mercredi 29 juin 2016 Dur´ee : 2h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.
Dans ce sujet,K d´esigne un corps.
Autour du cours
1. Montrer qu’un endomorphisme diagonalisable n’ayant qu’une valeur propre est une ho- moth´etie.
2. Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
a. Montrer que siP est un polynˆome annulateur def, alors toute valeur propre de f est une racine de P.
b. D´efinir le polynˆome minimal de f.
Exercice 1
On notera B0 = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4. On consid`ere l’endomorphisme f de
R4 dont la matrice dans la base B0 est :
A=
3 1 0 0
−4 −1 0 0
3 1 2 1
1 1 −1 0
.
1. Les sous-espacesF = vect(e1, e2), G= vect(e3, e4) de R4 sont-ils stables par f? 2. Montrer que f ne poss`ede qu’une seule valeur propre.
3. En d´eduire sans calcul de vecteur propre que f n’est pas diagonalisable. Indication : raisonner par l’absurde et utiliser le cours.
4. Montrer que l’espace propre de f associ´e `a son unique valeur propre est de dimension 2 et en donner une base (u1, u2) telle que u2 appartienne `a G.
5. Trouver un vecteur u3 deG tel que (u2, u3) soit une base deG etf(u3) =u2+u3. 6. Soitu4 =−e1+ 2e2. Montrer que (u1, u2, u3, u4) forme une base deR4et donner la matrice def dans cette base.
Exercice 2
Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3, f un endomorphisme de E v´erifiant f3 = 0 et rgf = 2.
1. Montrer que Imf ⊂Kerf2.
2. Montrer que Imf ⊂/Kerf et en d´eduire que dim (Kerf2) = 2.
3. a. D´eduire de la question pr´ec´edente qu’il existe un vecteur x0 deE tel que f2(x0)6= 0.
b. Montrer que (x0, f(x0), f2(x0)) est une famille libre, donc une base de E.
c. Ecrire la matrice de´ f dans cette base.
Exercice 3
Soitn ≥3 un entier. On consid`ere les polynˆomesP(X) =Xn−X2+X−1 etQ(X) = Xn−1.
1. Montrer que X−1 divise P(X) et Q(X).
2. Montrer que X + 1 ne divise pas P(X) et donner le reste de la division euclidienne de P(X) par X+ 1.
3. Montrer que le p.g.c.d. deP(X) et Q(X) est X−1.
4. Que peut-on dire d’un endomorphisme f de R4 tel que P(f) =Q(f) = 0 ?
