(b) Montrer que f s’annule une et une seule fois surJ

Problème N^o2 : Méthode de la sécante

On suppose donnée une fois pour toute une fonctionf : [a, b]→Rde classe C² sur un segment.

Partie N^o1 : Préliminaires

Dans cette première partie, on établit quelques résultats préliminaires qui seront très utiles dans la suite du problème.

1. (a) On suppose qu’il existe α ∈]a, b[tel que f(α) = 0 etf⁰(α) 6= 0. Montrer qu’il existe J un segment de [a, b]centré enα et qu’il existe M, m >0 tels que

— pour toutx∈J,|f⁰⁰(x)|6M,

— pour toutx∈J,|f⁰(x)|>m.

(b) Montrer que f s’annule une et une seule fois surJ.

Quitte à remplace[a, b]parJ, on suppose dorénavant, et cela jusqu’à la fin du problème, que f est de classe C² sur[a, b]et,

— qu’il existe un uniqueα∈]a, b[tel quef(α) = 0,

— pour toutx∈[a, b],|f⁰⁰(x)|6M et|f⁰(x)|>m >0.

2. En considérant l’application

ψ:t7→f(t)−f⁰(t)(t−α) +1

2 ×(t−α)²×A, oùA est à choisir judicieusement, montrer que

∀z∈[a, b], ∃c_z ∈]a, b[/ f(z) = (z−α)f⁰(z)−1

2 ×(z−α)²×f⁰⁰(cz).

Indication : Utiliser le théorème de Rolle.

3. Soienty∈[a, b]tel que y6=α.

Pour tout t∈[a, b]\ {α}, on poseϕ(t) = ^f(t)_t−α −^f(y)_y−α −¹₂×(t−y)×B où B est une constante à déterminer plus tard.

(a) Montrer que ϕse prolonge par dérivabilité enα . (b) En choisissant convenablement B, montrer que

∀x∈[a, b]\ {α}, ∃c_x ∈]a, b[/ f(x)

x−α − f(y) y−α = 1

2 ×(x−y)×f⁰⁰(c_x).

Indication : Utiliser le théorème de Rolle.

Partie N^o2 : Convergence de la méthode de la sécante Dans cette partie, on présente la méthode de la sécante et on démontre sa convergence.

1. La méthode de la sécante consiste à approximer α, le zéro def.

Rappeler le principe de la méthode Newton. Rappeler son théorème de convergence qui lui sied si bien. Rappeler enfin les inconvénients de la méthode de Newton.

2. On pose δ= min(^2m_M, α−a, b−α)>0etI = [α−δ, α+δ]. Montrer queI ⊂[a, b].

3. Soient u, v∈I distincts. On construit une suite (x_n) de la manière suivante. On pose x₀ =u etx₁ =v.

S’il existe n∈N tel quexn etxn+1 soient construits,

— et, sixn=xn+1 alors on pose xn+2=α.

1

— et sinon, on définitxn+2comme l’abscisse de l’intersection de la droite passant par les points de coordonnées (x_n, f(x_n))et(x_n+1, f(x_n+1)) avec l’axe des abscisses, si cette intersection existe.

Illustrer la méthode à l’aide d’un graphique.

4. Dans cette question, on montre que la suite (xn) est bien définie et est à valeurs dans I, en particulier dans [a, b].

Pour cela, on raisonne par récurrence forte.x₀ etx₁ sont toujours bien définis et à valeurs dans I. On se donne ensuite un entier ntel que x0, x1,· · · , xn, xn+1 soient construits dansI.

(a) Montrer que si xn=xn+1 alorsxn=α.

La suite (x_n) est alors stationnaire égale àα à partir d’un certain rang et « l’on peut dire que nous sommes chanceux »¹.

Il en est de même sixn+1 =α.

(b) On suppose dorénavant que xn, xn+1 etα sont deux à deux distincts. Montrer que l’inter- section adéquate existe et que

xn+2=xn+1−f(xn+1) xn+1−xn

f(xn+1)−f(xn).

(c) En déduire que

xn+2−α= (xn+1−α)(xn−α)

f(xn+1)

xn+1−α−_x^f(xn)

n−α

f(xn+1)−f(xn).

(d) Montrer enfin qu’il existe c_n, d_n∈]a, b[tel que

xn+2−α= (xn+1−α)(xn−α)× f⁰⁰(cn) 2f⁰(d_n). (e) En déduire que x_n+2 ∈I.

A l’issue de la question précédente, on a montré que la suite (x_n) est bien définie, à valeurs dansI et vérifie

∀n∈N, xn+2 =xn+1−f(xn+1) xn+1−xn

f(xn+1)−f(xn). 5. Montrer que

∀n∈N, |x_n+2−α|6|x_n+1−α| × |x_n−α| × M 2m. 6. On pose, pour tout n∈N,_n= _2m^M × |x_n−α|. Montrer que,

∀n∈N, n+2 6n+1×n. 7. Notons ϕ= ¹⁺

√5

2 le nombre d’or et posonsK = max(0, ^1/ϕ₁ ). Montrer que,

∀n∈N, _n6K^ϕn.

A l’issue de la question précédente, on en déduit que

∀n∈N, |x_n−α|6 2m

M K^ϕn. (?)

8. Enoncer le théorème démontré. Le comparer à la méthode de Newton.

1. Comprenez pourquoi !

2

9. Écriver une fonction en langage Python prenant en entréef,x0,x1 etet retournant en sortie le premier x_n tel que |x_n−x_n+1|6.

Partie N^o3 : Optimalité de la vitesse de convergence établie Dans cette partie, on démontre que l’inégalité (?) est asymptotiquement optimale.

On considère f :x7→x²−1,a= 0.5,b= 2,u= 0.5etv= 1.5.

1. Vérifier que les hypothèses du théorème de convergence de la méthode de la sécante sont bien vérifiées. Que vautα?

2. Montrer que, pour tout n∈N,

xn+2−1 = (xn−1)(xn+1−1) xn+xn+1

.

3. Montrer que, pour tout n∈N,0.56xn61.5.

4. Conclure.

Partie N^o4 : Non-convergence si initialisation trop éloignée

Dans cette partie, on démontre que la convergence de la méthode de la sécante n’a plus lieu si x₀ ou x₁ est choisi trop éloigné deα.

Pour cela, on définit la fonction f :x7→xe^x et on pose u= 1 etv=−4.

1. Vérifier que les hypothèses du théorème de convergence de la méthode de la sécante sont bien vérifiées. Que vautα?

2. Montrer que, pour tout n>2,x_n+1 6x_n6−3.

Données numériques calculées avec Python : x₂ ≈ −3.86 et x₃ ≈ −5.27.

3. Conclure.

* * * FIN DU SUJET * * *

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